专题02 认识三角形重难点题型专训-七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 认识三角形重难点题型专训 【题型目录】题型一 用七巧板拼三角形题型二 三角形的个数问题题型三 确定第三边的取值范围题型四 三角形三边关系的应用题型五 与三角形高有关的计算问题题型六 根据三角形的中线求长度、面积题型七 三角形中的折叠角度问题题型八 三角形有关的综合性问题【经典例题一 用七巧板拼三角形】【例1】（2022秋·全国·七年级期末）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（       ）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2020春·山西运城·七年级统考期末）如图，若已知七巧板拼图中的平行四边形的面积为则图中，最大正方形面积为（  ）A． B． C． D．【变式2】（2022秋·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）用边长为的正方形纸板，制成一个七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②)，其中阴影部分的面积为______________________．【变式3】（2022春·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）“四巧板”又称T字之迷，是一种类似七巧板的传统智力玩具．“四巧板”由一块长方形（拼图中的大写“一“字）分解的4块不规则形状组成．其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块．这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°和270°的角．如图是一副“四巧板”：请你用这四块图形拼成如图所示的“箭头”式样（示意图），只需在“箭头”中画出分割线，并写出相应的图形编号．      四巧板【经典例题二 三角形的个数问题】【例2】（2021春·全国·七年级专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    )A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n；【变式训练】【变式1】（2022春·七年级单元测试）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（　　  ）A．299 B．201 C．205 D．207【变式2】（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，由16个大小相同的小等腰直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，则图中共有______个各种大小的三角形．【变式3】（2020秋·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格：拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角形个数的关系，完成表格：概括提升：设纸片的边数为m，内部点的个数为n，得到三角形的个数是x，请直接写出x与m、n的关系：______________．【经典例题三 确定第三边的取值范围】三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。【例3】（2022秋·重庆綦江·八年级校考阶段练习）在中，，AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，求的三边长分别为（　　）A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3【变式训练】【变式1】（2022秋·四川绵阳·八年级校联考阶段练习）现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（    ）A． B． C． D．【变式2】（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为锐角，AB=16，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为8，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是____．【变式3】（2021秋·安徽六安·八年级校考期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3．（1）边BC的取值范围是 ；（2）△ABD与△ACD的周长之差为 ；（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．【经典例题四 三角形三边关系的应用】【例4】（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间距离最大为（    ）A．10 B．8 C．7 D．5【变式训练】【变式1】（2022秋·山西大同·八年级统考期中）老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，米．一个行人在马路上行走，当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于______米．【变式3】（2022秋·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．(2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．【经典例题五 与三角形高有关的计算问题】【解题技巧】图形的面积可以用两种面积公式求解，即可得到一个等量关系；【例5】（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ）A．1 B． C．2 D．4【变式训练】【变式1】（2021秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在 中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论： 的面积＝ 的面积；；；．其中结论正确的是（    ）A． B． C． D．【变式2】（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，D为中边上一点，，E是上一点，且的面积等于的一半，则_________．【变式3】（2022秋·全国·八年级期中）如图，在中，是的高．(1)如图1，是的平分线，若，，求的度数．(2)如图2，延长到点F，和的平分线交于点G，求的度数．【经典例题六 根据三角形的中线求长度、面积】【例6】（2022秋·八年级课时练习）在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（    ）A．7 B．11 C．7或11 D．8或10【变式训练】【变式1】（2023春·七年级单元测试）如图所示，中，，是的中线．若，，，则点D到的距离为（　　）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．3【变式2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，的面积为1，分别延长，，到，，，使，，，得到，再分别延长，，到，，，使，，，再得到，则的面积为 _____．【变式3】（2022秋·天津北辰·八年级统考期中）如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6，AC=8，BC=10，∠CAB=，试求：(1)△ACE和△ABE的周长的差．(2)AD的长：(3)直接写出△ABE的面积．【经典例题七 三角形中的折叠角度问题】【例7】（2021秋·天津静海·八年级校考阶段练习）如图，点M，N分别在，上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，，则的度数为（    ）A．148° B．116° C．32° D．30°【变式训练】【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为(    )A． B． C． D．【变式2】（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．【变式3】（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．【经典例题八 三角形有关的综合性问题】【例8】（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，若S5=则a的值为（    ） A．1 B．2 C．6 D．3【变式训练】【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（    ）A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°【变式2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，点在线段上，且，点在上，若，，，则的度数为________．【变式3】（2021春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）已知，，E为直线上一点，F为直线上一点，交于点G，且．(1)如图1，求证：．(2)如图2，和的数量关系是__________________．(3)如图3，在（2）的条件下，连接，相交于点H，和的平分线交于点P，若恰好平分，，，求的度数．【培优检测】1．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，，且，则的度数是（    ）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，在中，已知点D，E，F 分别为边，，的中点，且，则的面积等于（   ）A． B． C． D．3．（2022秋·全国·八年级期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设，则（　　）A．a B． C． D．4．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：65．（2022秋·八年级单元测试）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（    ）A．25 B．26 C．30 D．396．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是（    ）A． B． C． D．7．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，平分和，若，则（    ）A． B． C． D．8．（2022秋·四川广元·八年级统考期中）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2021秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为______．10．（2022秋·全国·七年级专题练习）一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，当是的一半时，_____°．11．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，，，，分别平分的外角，内角，外角；则以下结论：①；②；③；其中正确的结论有______________．12．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在边上的点D处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的x值__．13．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）如图，在中，的外角平分线交延长线于，的外角平分线交延长线于，且，则的度数是_____________．14．（2022秋·重庆·八年级重庆八中校考开学考试）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为___________．15．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，在中，点是边上一点，于点，连接，，，．求的度数．16．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在中，是的平分线，为线段上一个动点，于点，交的延长线于点．(1)若，，则_____________，_____________；(2)若，，求的度数；(3)若，，，求．（用含，的式子表示）17．（2022秋·全国·八年级专题练习）在中，．(1)如图1，、的平分线相交于点，则　 　 ；(2)如图2，的外角、的平分线相交于点，则　 ；(3)探究如图3，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，设，则的度数是 　 　．（用n的代数式表示）18．（2022秋·八年级单元测试）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，相交于点F，与的数量关系为 ．（2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由；（3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系．19．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点．(1)当时，求．(2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系．(3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．20．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，直线，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现之间的数量关系为 ；(2)如图2，当时，作等边，平分，交直线a于点M，平分，交直线b于点N，将绕点B转动，且始终在的内部时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；(3)点F为直线a上一点，使得，的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出与之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）内部点的个数123n得到三角形个数35内部点的个数123n得到三角形个数