第一次月考重难点特训（一）之平面图形的认识（二）压轴题-七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第一次月考重难点特训（一）平面图形的认识（二）压轴题
【重难点题型】
1．（2022秋·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：；；；；．其中正确的结论有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：平分，
，
，，
，
，
，故正确；
，
，
平分，，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
平分，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，故正确；
由得，，
，
，
，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过作，可设，由，可设，设，而平分，可得，可得，由，可得， 可得答案．
【详解】解：如图，过作，
∴设，

∵，
∴，
∴设，
∵平分，
∴，
设，而平分，
∴，
∵，
∴，
由平角的定义可得：，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴


．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线是解本题的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解．
【详解】∵平分∠ABC，平分∠ACD，
∴＝∠ABC，＝∠ACD，
∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A，
同理可得＝＝∠A，
∴＝∠A，
∵，
∴＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
4．（2022秋·八年级课时练习）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据垂直定义得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根据角平分线定义得出∠DBE=∠FBE，求出∠CBE=∠ABE，∠ACB=∠ECB，根据平行线的性质得出∠ABC=∠ECB，根据平行线的判定得出ACBE，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案．
【详解】解：∵BC⊥BD，
∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，
∵∠ABE+∠FBE=180°，
∴∠ABE+∠FBE=90°，
∵BD平分∠EBF，
∴∠DBE=∠FBE，
∴∠CBE=∠ABE，
∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，
∵CB平分∠ACE
∴∠ACB=∠ECB，
∵ABCD，
∴∠ABC=∠ECB，
∴∠ACB=∠EBC，
∴ACBE，
∵∠DBC=90°，
∴∠BCD+∠D=90°，
∴①②③正确；
∵根据已知条件不能推出，
∴④错误；
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
5．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 _____．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④．

【答案】①②④
【分析】由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．
【详解】解：，的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，故①正确，
平分，
，
，，
，故②正确；
，，，
，
平分，平分，

，，
，
，
，故③错误；
，
，
，
．故④正确，
综上正确的有：①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
6．（2023春·七年级课时练习）如图，直线分别与直线，相交于点，，且．点在直线，之间，连接，，射线是的平分线，在的延长线上取点，连接，若，，则的度数为___________．

【答案】##度
【分析】过分别作的平行线，，则，设，则，，设，分别表示出，，利用等式的性质得到，进而即可求解．
【详解】解：如图，过分别作的平行线，，则，

设，则，
∵射线是的平分线，
∴，
∵，
，，
设
∴，
∴①，
∵
∵②
∴由①②可得
∵


，
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（2023春·七年级课时练习）如图①，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为第次操作，分别作和的平分线，交点为．如图②，若，则的度数是__．

【答案】
【分析】先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数．
【详解】解：如图①，过作，

，
，
，，
，
；
如图②，和的平分线交点为，
．
和的平分线交点为，
；
如图②，和的平分线，交点为，
；

以此类推，，
当时，等于．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
8．（2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，直线与直线、分别交于点、，，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，连接，是上一点使，作平分，交于点，，则_________．

【答案】30度##
【分析】根据，与的角平分线交于点，可得，即可得，则有，进而可得，，，即有，结合平分，可得，进而可得，问题随之得解．
【详解】∵，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
9．（2022秋·重庆·八年级重庆八中校考开学考试）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为___________．

【答案】
【分析】先由三角形内角和定理求得，再由折叠性质求得，最后由“准直角三角形”定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处，
∴，
当为“准直角三角形”时，或，
∴或，
∴或，
①当时，即，
∴，
∴，
∴，
此时，
∴不是“准直角三角形”；
②当时，即，
∴，
∴，
∴，
此时，
∴是“准直角三角形”；
综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义，折叠的性质，三角形内角和定理．理解新定义，掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，平分，，，则___________．

【答案】##30度
【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，作于，作于，

则，
设，则，，
平分，
，
设，则，
，
，，
，
，，
，，
又，
，
解得，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
11．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）将一块三角板（，）按如图所示方式放置，使顶点C落在的边上，．经过点D画直线，交边于点M．

(1)如图1，若．
①求 的度数；
②试说明：平分 ；
(2)如图2，平分，交边于点F，试探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①；②见详解
(2)；理由见详解

【分析】（1）①根据，可得，再根据，即可得出结论；②计算出角度即可；
（2）设，根据平行线的性质和角平分线定义把，表示出来即可；
【详解】（1）①∵，
∴°，
∵，
∴，
②∵，，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴平分．
（2）设如图

∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵平分，
∴ ，
∵
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
12．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践

(1)问题情境：图1中，，，，求的度数．
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为______；（直接写出答案）
(2)问题迁移：图2中，直线，P为平面内一点，连接、．若，，试求的度数；
(3)问题拓展：图3中，直线，则、、之间的数量关系为______．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）过P作，通过平行线性质可得，再代入，即可求出；
（2）过P作，根据平行线性质可得， ，即可求出的度数；
（3）过P作，则，根据平行线性质可得，，又，即可求出．
【详解】（1）如图1，过P作，

，
，，
，，
，，
，
故答案为：；
（2）过P作，

，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，过P作，则，

，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质内容，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
13．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）已知，，，点P在与之间．

(1)如图1，直接写出的度数．
(2)Q是平面上的点，设，和的角平分线交于点E．
解答下列问题，答案可用含的代数式表示．
①如图2，若点Q在射线上且在直线的下方，求的度数．
②若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)①②或

【分析】（1）过点作，得到，推出，即可得解；
（2）①利用角平分线，得到，，利用外角的性质，得到以及，进行求解即可；
②分在直线上方和在直线下方，两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：过点作，则：，

∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图：

由（1）知：，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴；
②当在直线上方时，如图，交于点，

∵，
∴，
同法（1）可得：，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
当在直线下方时，如图，交于点，交于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
同①可得：
∴；
综上：的度数为或．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握两直线平行，内错角相等，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．注意分类讨论．
14．（2023秋·广东揭阳·八年级统考期末）已知如图．

(1)由图①易得、、的关系____________（直接写结论）；由图②易得、、的关系_____________（直接写结论）．
(2)从图①图②任选一个图形说明上面其中一个结论成立的理由．
(3)利用上面（1）得出的结论完成下题：
已知，，与两个角的角平分线相交于点．若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)

【分析】（1）观察图形即可求解；
（2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案；过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出答案；
（3）根据角平分线定义得：，，由得：，再根据四边形的内角和可得结论．
【详解】（1）解：由图①易得、、的关系．
由图②易得、、的关系．
故答案为：；；
（2）如图①所示：过点作，

，，
，
，，
，
；
如图②所示：过点作，

，，
，
，，A
；
（3）如图③，过点作，

、分别是和的平分线，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，通过平行线的性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线．
15．（2023春·广东阳江·七年级校考阶段练习）先阅读再解答：

(1)如图1，，试说明：；
(2)已知：如图2，，求证：；
(3)已知：如图3，，．求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析

【分析】（1）过点E作，由平行线的性质可得，进而可求解；
（2）过点E作，由平行线的性质可得，进而可求解；
（3）延长和反向延长相交于点G，由平行线的性质可得，进而可得，利用平行线的判定条件可证明，再根据平行线性质可证明结论．
【详解】（1）解：过点E作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点E作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：延长和反向延长相交于点G，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，灵活运用平行线的性质证明是解题的关键．
16．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图，，点为平面内一点．

(1)如图①，当点在与之间时，若，则_________；
(2)如图②，当点在点右上方时，、、之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）
(3)如图③，平分，平分，若，则_________．
【答案】(1)65
(2)，证明见解析
(3)

【分析】（1）过点P作，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得到，，从而得到结论；
（2）延长交于点E，则，再由平行线性质可得
，即可证明；
（3）由角平分线推出，延长交于点H，如图，则，由平行线的性质可得，，进而解题可得结果．
【详解】（1）已知图①，当点P在与之间时，若，，则，理由如下：过点P作，如图：

则
，
，
，
∴；
故答案为：
（2）如图②，当点在点右上方时，、、之间存在数量关系为：，
证明：延长交于点E，如图：

则，
，
∴
∴；
（3）已知图③，平分，平分，若，则，理由如下：
∵平分，若，
∴
延长交于点H，如图，

则，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线，三角形的外角，作辅助线构造同位角和内错角是解题的关键．
17．（2020春·山东济南·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，，则求的度数；

（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为 ；
（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）如图1，根据平行公理和平行线的性质即可得出结论；
（2）如图2，延长交于点，则可得到，则，连接并延长到点，则可得，，可得到和的关系，从而求解；
（3）由（2）即可得出结论；
（4）如图3，过作于， 于，则，根据平行线的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，，等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，过作，

，
，
，
，
，，
；
（2）如图2，

延长交于点，则可得到，
则，
连接并延长到点，则可得，，
所以，
所以，
所以；
（3）由（2）可得：，
故答案为：；
（4）如图，

过作于，于，
则，
，，，，
平分，平分，
，，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是利用三角形的外角的性质找到和之间的关系．
18．（2023春·七年级课时练习）已知，的平分线与的平分线相交于点F．

(1)在图1中，求证：
①；
②；
(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；
(3)当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）
【答案】(1)证明见详解；
(2)，证明见详解；
(3)

【分析】（1）①根据平行线的性质可得：，
②根据平行线的性质可得：，
（2）设，，则，，，根据（1）和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论；
【详解】（1）证明：①如图１，过点作

，
，
，


，

证明：②如图１，过点作


，


，
即
（2）解：关系式为，
证明：设，
，时，且平分，平分，
，

由（１）得，
，
，
，
即，
，

（3）解：设则
，，
由（１）可得
，
，
，
，
，
即的度数（用含m，n的式子表示）表示为
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．

(1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数；
问题迁移
(2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动．
①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
【答案】(1)110°
(2)①，理由见解析；②或

【分析】（1）过P作，由，得，，即得，把，，代入即可求出；
（2）①过P作交于E，由，得，，故；
②分两种情况：当P在延长线时，此时；当P在之间时，此时．
【详解】（1）解： 过P作，如图：

∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
过P作交于E，如图：

∵，
∴，
∴，，
∴ ；
②当P在延长线时，过P作交的延长线于E，如图：

∵，
∴，
∴，，
∴，
此时；
当P在之间时，过P作交的延长线于E，如图：

∵，
∴，
∴，，
∴，
此时．
【点睛】本题考查平行线的性质及其运用，解题的关键是作平行线，构造内错角、同旁内角转化角．
20．（2023春·七年级课时练习）（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．

【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；（2）；（3）或
【分析】（1）如图②，过点E作，根据推理步骤逐步写出答案即可；
（2）如图，过点P作，先求出，再求，求得即可；
（3）当点P在线段上，过点P作，先证明，再证明，得；当点P在线段的延长线上时，与点在线段上的情况类似．
【详解】（1）如图②，过点E作．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
∵，，
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；．
（2）如图，过点P作，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在线段上，过点P作，

∴，
∵，
∴，
∴
∴；
当点P在线段的延长线上时，

过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、角的和差运算等知识点；熟练掌握平行线的判定与性质、正确作出辅助线是解答本题的关键．
21．（2023春·七年级课时练习）如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点．

(1)当时，求．
(2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系．
(3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)t为6或12或21或24或30

【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由，得到，由，则，由角平分线和平行线性质得到，即可得到答案；
（2）由得到，由即可得到结论；
（3）分五种情况画图求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
∵，
∴；
（3）由（1）知，，，
∴，
如图1，当时，，

∵，
∴此时是旋转了，
此时，；
如图2，当时，

∵，
∴此时是旋转了，
此时，；
如图3，当时，

∵，
∴此时是旋转了，
此时，；
如图4，当时，设与相交于点S，

∴，
∴，
∴此时是旋转了，
此时，；
如图5，当时，

∴，
∴此时是旋转了，
此时，；
∴当的其中一边与的某一边平行时，t为6或12或21或24或30．
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转等知识，分情况讨论是解题的关键．
22．（2022秋·广东云浮·八年级新兴实验中学校考期中）综合与探究：小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧，在中，与的平分线相较于点P．

(1)如图1，如果，求的度数．
(2)在（1）的条件下，如图2，作的外角，的平分线交于点Q，求的度数．
(3)如图3，作的外角，的平分线交于点Q，延长线段，交于点E，在中，是否存在一个内角等于另一个内角的2倍，若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当或或时，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍

【分析】（1）先求，然后根据角平分线定义可求，最后根据三角形内角和定理即可求的度数；
（2）在（1）的条件下，可求，然后根据角平分线定义可求，最后根据三角形内角和定理即可求的度数；
（3）在中，可求，，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵与的平分线相较于点P，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵的外角，的平分线交于点Q，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知：，
∵，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①当时，则，∴；
②当时，则，∴，∴；
③当时，，∴；
④当时，，∴；
故当或或时，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
23．（2023春·江苏·七年级专题练习）[问题背景]

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明．
[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）
(2)如图2，、分别平分、，
①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
[问题探究]
(3)如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，
①若，，则的度数为___________；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间数量关系．
[拓展延伸]
(4)在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为___________；（用x、y的代数式表示）
(5)在图5中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论___________．
【答案】(1)见解析
(2)① ，②
(3)①，②
(4)
(5)

【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可；
（2）①设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
②由①的结论即可得到数量关系；
（3）①如图3中，设∠CBJ=∠JBF=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
②与（3）中①相同；
（4）如图4中，设∠CAP=α，∠CDP=β，则∠PAB=3α，∠PDB=3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ=x，∠ADP=∠PDE=y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，

∵，，，
∴；
（2）解：①如图2中，

设，，
则有，
∴，
∴，
∴；
②由①得：；
（3）解：①如图3中，设，，

则有，
∴，
∴；
故答案为： ；
②设，
则有，
∴；
（4）解：如图4中，设，，则，，

则有，
∴ ，
∴，
故答案为；
（5）解：如图5中，延长交于J，设，

则有，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，“8字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
24．（2022秋·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在中，，平分，于D．猜想的数量关系．

(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值，得到下面几组对应值：
度
10
20
30
20
20
度
70
70
60
60
80
度
30
a
15
20
30

上表中　 　，于是得到的数量关系为 　 　．
【变式应用】
(2)小明继续探究，在图2中，，其他条件不变，若把“于点D”改为“F是线段上一点，于点D．”．求的度数，并写出与的数量关系．

【思维发散】
(3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点P在线段上”改为“点F是延长线上一点”其余条件不变，当时，度数为 　 　．

【能力提升】
(4)在图4中，若点F在的延长线上，于点D，，其余条件不变，分别作出和的角平分线，交于点P，试用x，y表示　 ．
       
【答案】(1)25；；
(2)20；；
(3)28 ；
(4)．

【分析】（1）求出和的大小即可得到的值，再通过找规律的形式得出三者的关系，
（2）过点A作于M，先求得，再由平分，求得，从而即可求得，同理可求得；
（3）过点A作于点M，先证明，得，再由（2）得，即可求解；
（4）过点A作于点M，先求得，进而由、分别平分和，得，，由，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，．
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，
故答案为∶25；；
（2）解：如图，过点A作于M，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
同时，
∴可得出，
∴；
（3）解：如下图，过点A作于点M，

∵，，
∴，
∴，
由（2）得，
∵，
∴，
故答案为∶28．
（4）解：如下图，过点A作于点M，

∵，，
∴，，
∴，
由（2）得，
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要是考查三角形的内角和定理、直角三角形的两锐角互余、平行线的判定及性质以及角平分线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
25．（2022秋·全国·八年级专题练习）【概念认识】如图①，在中，若，则射线BD，BE叫做的“三分线”． 其中，射线BD是“邻AB三分线”，射线BE是“邻BC三分线”．

【问题解决】
(1)如图②，在中，，若的三分线BD交AC于点D，则 ；
(2)如图③，在中，BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，且，求的度数；
【拓展延伸】
(3)在中，是的外角，的三分线与的三分线交于点P． 若，直接写出的度数． （用含 α、β 的代数式表示）
【答案】(1)或
(2)
(3)或或或

【分析】（1）分为两种情况：当BD是“邻AB三分线”时，当是“邻BC三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可；
（2）求出，根据BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线求出，，求出，再求出即可；
（3）画出符合的所有情况，①当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，②当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，③当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，④当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，
∵，
∴；
当是“邻BC三分线”时，
；
故答案为：或；

（2）∵，
∴，
∴，

∵BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，
∴， ，
∴，
∴，
∴；
（3）分为四种情况：
情况一：如图1，

当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
由外角可得：，
∴；
情况二：如图2，

当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
由外角可知：，
∴；
情况三：
当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
当时，如图3，

由外角可得：，
∴；
当时，如图4，

由外角及对顶角可得：，
∴；
情况四：如图5，

当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
由外角可得：，
∴；
综合上述：的度数是或或或．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用了分类讨论思想．
26．（2022春·吉林·七年级校考期末）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点．

(1)如图，求证：
(ⅰ)；
(ⅱ)．
(2)如图，，，则与之间的关系为______；
(3)当，且时，直接写出的度数用含、的式子表示．
【答案】(1)(ⅰ)见解析；(ⅱ)见解析
(2)
(3)

【分析】根据平行线的性质可得：；
(ⅱ)根据平行线的性质可得：；
设，，则，，，，根据和四边形内角和得等式可得结论；
同将倍换为倍，同理可得结论．
（1）
证明：(ⅰ)如图，过点作，

，
，
，，
，
，
；
(ⅱ)如图，过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）
解：结论：，理由是：
设，，则，，，，
由得：，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（3）
解：设，，则，，，，
由可得：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
27．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：

(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；
②；
③

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，继而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入数据得∠P的值；
（2）①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分别用∠2，∠3表示出∠PAD和∠PCD，再整理即可得解；
②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP和∠PCD，再整理即可得解；
③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分别用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD和∠PCD，再整理即可得解；
【详解】（1）解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=∠1+∠4，
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．

（2），理由如下：
①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，
∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，
∴∠PAB=∠2，
∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，
③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，
∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D
即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴．

②，理由如下：
如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，
由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，
∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，
在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，
即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥
在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，
即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦
⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴；

③，理由如下：
如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，
∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，
⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，
∴．

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
28．（2022春·河南濮阳·七年级校考期中）在中，

(1)如图（1），、的平分线相交于点．
①若，求的度数．
②若，则_________．
(2)如图（2），在中的外角平分线相交于点，，求的度数．
(3)如图（3），的、的平分线相交于点，它们的外角平分线相交于点．请回答：与具有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)①；②；
(2)；
(3)

【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的意义，首先求出，进而求出，即可解决问题；②方法同①；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出和，再根据角平分线的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）由（1）得，由（2）可得，两式相加即可得到结论．
（1）
解：①∵∠A=64°，
∴∠ABC+∠ACB=116°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，
∴，
∴，
∴，
②∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-n° ，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，  
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）
解：∵外角和的平分线相交于点Q，
∴




∴，
∵ ，
∴，
（3）
解：由（1）得，
由（2）可得，
∴
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识，灵活运用三角形内角和定理、外角的性质是解答本题的关键．
29．（2023春·七年级单元测试）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）
（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．

【答案】（1）平行；理由见解析；（2）MN与水平线的夹角为66°时，可使反射光线b正好垂直照射到井底；（3）t为5秒或95秒时，CD与AB平行
【分析】（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定；
（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1＝∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上42°即可得解；
（3）①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．
【详解】解：（1）平行．理由如下：
如图，∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6，
∴．

（2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1＝∠2，
∵入射光线a与水平线OC的夹角为42°，b垂直照射到井底，
∴∠1＋∠2＝180°−42°−90°＝48°，
∴∠1＝×48°＝24°，
∴MN与水平线的夹角为：24°＋42°＝66°．

（3）存在．
AB与CD在EF的两侧时，如图①所示：

∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°−60°−3t＝120°−3t，
∠BAC＝110°−t，
要使，
则∠ACD＝∠BAF，
即120°−3t＝110°−t，
解得t＝5；
此时（180°−60°）÷3＝40，
∴0＜t＜40，
∴t＝5符合题意；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，如图所示：

∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°−3t−60°＝300°−3t，
∠BAC＝110°−t，
要使，
则∠DCF＝∠BAC，
即300°−3t＝110°−t，
解得t＝95，
此时（360°−60°）÷3＝100，
∴40＜t＜100，
∴t＝95符合题意；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，如图所示：

∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝3t−（180°−60°＋180°）＝3t−300°，
∠BAC＝t−110°，
要使，
则∠DCF＝∠BAC，
即3t−300°＝t−110°，
解得t＝95，
此时t＞110，
∵95＜110，
∴此情况不存在．
综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．
30．（2023春·七年级单元测试）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°．
①【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由．
②【拓展延伸】
在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①26°，理由见解析；②∠P=α+β，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）【问题探究】由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解决问题．
【拓展延伸】由（1）的结论易求∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，再将已知条件代入化简即可求解∠P．
【详解】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AEB=180°，
∠C+∠D+∠CED=180°，
∴∠A+∠B+∠AEB=∠C+∠D+∠CED，
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）①解∶如图3，

∵AP平分∠FAD，CP平分∠BCE
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∴由（1）可得：∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，
∠P+∠PAB=∠B+∠4，
又∠1=∠PAB，
∴∠P+∠1=∠B+∠4，
又∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，
∴2∠P+∠1+180°-∠2=∠B+∠4+∠D+180°-∠3，
又∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°
②解：∠P=α+β．
理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，
∴∠BAP=∠CAB，∠BDP=∠CDB，
由（1）可得：∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，
∴∠P+∠CDB =∠C+∠CAB，①
∠P+∠CAB=∠B+∠CDB，②
①×2+②，得2∠P+∠CDB+∠P+∠CAB=2∠C+∠CAB+∠B+∠CDB，
∴3∠P=2∠C+∠B
∴∠P==α+β．
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．