初中数学苏科版七年级下册9.4 乘法公式优秀课后练习题

这是一份初中数学苏科版七年级下册9.4 乘法公式优秀课后练习题，文件包含专题07乘法公式与多项式的因式分解重难点题型专训解析版docx、专题07乘法公式与多项式的因式分解重难点题型专训原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。

题型一 运用平方差公式进行运算问题
题型二 运用完全平方公式进行运算问题
题型三 乘法公式在几何图形中的应用
题型四 整式的混合运算
题型五 提公因式法分解因式
题型六 运用公式法分解因式
题型七 十字相乘法
题型八 分组分解法
题型九 因式分解的应用
【经典例题一 运用平方差公式进行运算问题】
知识点一、平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
【例1】（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2023春·七年级课时练习）计算，结果的个位数字是（ ）
A．6B．5C．8D．7
【变式2】（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）若，则的值为________．
【变式3】（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）；
(2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知，，则______；
②计算：．
【经典例题二 运用完全平方公式进行运算问题】
知识点一、完全平方公式
完全平方公式：
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
知识点二、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
知识点三、补充公式
；；
；.
【例2】（2023春·七年级课时练习）观察下列各式及其展开式：请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
；
；
；
；
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·海南海口·八年级校考期中）若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为( )
A．0B．1C．2D．3
【变式2】（2022秋·山东东营·九年级东营市东营区实验中学校考期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” 则展开式中所有项的系数和是________．
【变式3】（2022秋·重庆璧山·八年级校考期末）在学习分式这一章节时，璧山中学的小宏在网上查找资料时看到了这样一个的问题：“已知，求的值．”小宏在向老师请教之后，给出了如下做法：
∵，∴，故．
又∵，（分子分母同时除以）且，∴原分式的值为．
(1)若，根据小宏的解答，求的值．
(2)小宏在解决上述问题后，结合学过的完全平方公式有了新的想法：
∵恒成立，且，
∴也是恒成立的．
∴．”
小宏根据上述结论得到：“就应该恒成立，∴的最小值为．”
结合两段材料，求的最小值，并求此时的取值．
【经典例题三 乘法公式在几何图形中的应用】
【例3】（2021春·浙江·七年级期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
【变式1】（2020春·江苏南京·七年级统考期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式2】（2021·安徽芜湖·统考二模）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：？
【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：
【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出______=______（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】根据以上结论，计算：的结果为________．
【变式3】（2022秋·四川巴中·八年级校考阶段练习）如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ；
(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ；
(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ；
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．
【经典例题四 整式的混合运算】
【例4】（2023春·七年级课时练习）已知实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（ ）
A．3B．23C．25D．29
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是______．
【变式3】（2023秋·北京海淀·七年级人大附中校考期末）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律：
(1)表中p的值是 ；
(2)观察表格可以发现：
若时，，则时，．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．
①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
②已知代数式参照代数式取值延后，请直接写出的值．
【经典例题五 提公因式法分解因式】
知识点一、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
知识点二、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
【例5】（2021春·河北邢台·七年级统考期末）已知，那么代数式的值是（ ）
A．2000B．－2000C．2001D．－2001
【变式训练】
【变式1】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）已知a、b、c是正整数，且，，则等于（ ）
A．1B．1或7C．－1D．－1或－7
【变式2】（2022秋·山东威海·八年级统考期中）已知，，，那么代数式的值是______．
【变式3】（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程
解：设①，将①带入原式后，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；
(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；
(3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解
【经典例题六 运用公式法分解因式】
知识点一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
知识点二、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【例6】（2020·内蒙古包头·九年级统考学业考试）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
【变式1】（2020·山西·八年级统考阶段练习）多项式与的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为________．
【变式3】（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务．
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．
把分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，再将此项减去，即可得
．这种方法叫填项法．
任务：
请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．
(1)；
(2)．
【经典例题七 十字相乘法】
知识点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在，则
特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
知识点二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
【例7】（2022秋·全国·八年级专题练习）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（ ）
A．1B．5C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·全国·八年级专题练习）因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）．
A．B．
C．D．
【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下面材料：
分解因式：．
因为，
设．
比较系数得，．解得．
所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
【变式3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）利用多项式乘以多项式的法则，可以计算，
反过来．
请仔细观察，一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1，具有这种特点的二次三项式可利用进行因式分解．
根据上述阅读，解决下列问题：
(1)已知关于x的二次三项式有一个因式是，求另一个因式和k的值；
(2)甲，乙两人在对二次三项式进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为，乙看错了常数项，分解的结果为，求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．
【经典例题八 分组分解法】
知识点一、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：
知识点二：添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.
【例8】（2022秋·八年级单元测试）已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48B．36C．96D．无法计算
【变式训练】
【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2019的值为（ ）
A．-2019B．-2020C．-2022D．-2021
【变式2】（2022·北京·九年级专题练习）阅读下面材料：
分解因式：．
因为，
设．
比较系数得，．解得．
所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
【变式3】（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）观察下列多项式的分解因式做法：
①；
②；
③
…
(1)模仿以上做法，对分解因式；
(2)观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
(3)根据以上结论，试求的值．
【经典例题九 因式分解的应用】
【例8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）已知，则多项式的值为（ ）
A．24B．18C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法生成的密码可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是__________．
【变式3】（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
原式．
求代数式的最小值．
可知当时，有最小值．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)填空： ； ；
(2)利用配方法分解因式：（注意：用其它方法不给分）
(3)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
【培优检测】
1．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）已知是完全平方式，则常数k等于（ ）
A．8B．C．16D．8或
2．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）设，是实数，定义一种新运算：．则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③
A．①②③B．①②C．②③D．①③
3．（2022秋·重庆渝北·八年级重庆市两江育才中学校校考期末）已知，，则代数式的值为（ ）
A．8B．18C．19D．25
4．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知有理数a，b，c满足，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）把多项式分解因式，结果是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知，，，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（2022秋·山东淄博·九年级统考期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知满足，则的值为（ ）
A．1B．－5C．－6D．－7
9．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知已知，，且，则值为 _______．
10．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）若，，则的值为________．
11．（2022秋·山东泰安·八年级校联考期中）已知，，，则多项式的值为______．
12．（2021春·江苏常州·七年级校考期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和．现有这三种纸片各8张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_________．
13．（2022春·福建三明·七年级校考阶段练习）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．
14．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________.
15．（福建省漳州市2022—2023学年八年级上学期期末考试数学试卷）将两数和（差）的平方公式：，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，
．
请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)将边长为x的正方形和边长为y的正方形按如图所示放置，其中点D在边上，连接，，若，，求阴影部分的面积．
16．（2022秋·广西南宁·八年级校考期中）阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；
∴______0（填“>”，“<”，“=”）
(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．
17．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）【实践探究】
小明在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：
(1)现取其中两个拼成一个大长方体，如图2，据此写出一个多项式的因式分解：________________．
【问题解决】
(2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，需要②号长方体________个，③号长方体_____个，据此写出一个多项式的因式分解：____________________．
【拓展与延伸】
(3)如图3，在一个边长为的正方体中挖出一个边长为的正方体，据此写出______________．
18．（2022秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）阅读理解并解答：
【方法呈现】
(1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
【尝试应用】
(2)求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．
(3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
19．（2023秋·河北邯郸·八年级校考期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：___________；
(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值；
(3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．

…
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
10
5
2
1
2
5
17
p
5
2
1
2
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式