初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形第1课时教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【知识回顾】

在“平行线的证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.

提出问题：你还记得有哪8条基本事实吗？

预设：

1.两点确定一条直线.

2.两点之间线段最短.

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

4.同位角相等，两直线平行.

5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.

7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.

8.三边分别相等的两个三角形全等.

教师活动：其中6、7、8属于判断两个三角形全等的基本事实，你能结合这些事实将结论“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”进行证明吗？

回顾思考并回答.

通过此活动，一方面帮助学生回忆旧知识，另一方面引出本章证明的主要依据.

环节二 探究新知

【想一想】

提出问题：

我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗?

提示：需要根根要证明的结论，先写出已知和求证，然后再进行证明.

预设：

已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.

求证：△ABC≌△DEF.

证明：在△ABC和△DEF中，

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°，

∴∠C=180°–∠A–∠B，∠F=180°–∠D–∠E.

又有∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F.

又有BC=EF， ∴△ABC≌△DEF.

提出问题：由此你能得到什么结论呢？

预设：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.

追问：全等三角形有什么性质吗？

预设：全等三角形的对应边相等、对应角相等.

【议一议】

问题：还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？

预设：

①等腰三角形的两底角相等.(简述为：等边对等角)

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)

追问：你能选择其中一条性质进行证明吗？

例如选择：等腰三角形的两底角相等.

证明过程如下：

已知：如下图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.

教师提示：我们曾经利用折叠的方法说明了等腰三角形的两个底角相等.

折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.因此通过做底边上的中线，就可以得到两个三角形全等，从而证明这两个底角相等.

【观察思考】

方法一：利用全等三角形证明

思路：若证角相等，可以利用两个角所在的三角形全等.

可以构造辅助线  底边BC的中线AD  ；             

①创造条件： BC=CD，AD=AD；

②已知条件：AB=AC；

③全等三角形：△ABC≌△ACB .

提示：辅助线还可以是顶角的角平分线或者底边上的高线.

证明：取底边BC的中点，连接AD

∵AB=AC，BC=CD，AD=AD,

∴△ABD≌△ACD（SSS）.

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.

定理：等腰三角形的两个底角相等.

简述为“等边对等角”

问题：你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流.

方法二：不添加辅助线也可以证明“等边对等角”.

把一个等腰三角形看成两个三角形.任意一个三角形都能和它本身重合，即一定有AB=AC，∠A=∠A，AC=AB.

证明：在△ABC和△ACB中，

∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，

∴△ABC≌△ACB（SAS）.

∴∠B=∠C.

【思考】

问题：在图中，由△ABD≌△ACD，还可以得到什么结论？

答案：①∠BAD=∠CAD，②AD⊥BC

线段AD除了是底边上的 中线 ，还是顶角的  角平分线   ，底边上的 高线 . 

结论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

简述为“三线合一”

【延伸】

教师活动：给出“三线合一”结论，让学生分组探究证明过程，小组组长进行回答，教师加以总结归纳，在给出一种示例的证明过程.

如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.

思路：通过构造全等三角形证明.

(已知高线证明）如下图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.

求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD.

证明：在△ABC和△ACB中，

∵AD⊥BC,

∴∠ADB=∠ADC,

∵AB=AC，AD=AD，

∴Rt△ABC≌Rt△ACB（HL）.

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD.

自主完成.

分析思考等腰三角形两个底角相等怎么证明.

回忆轴对称知识，接着利用翻折找出全等三角形，并且利用全等三角形的相关性质证明对应角相等.

将翻折图形抽象成简单的几何图形，利用该原理做辅助线，完成证明过程.

用不添加辅助线的方法证明原图形和对称后原图形全等，理清证明思路和过程.

利用图形观察，除了等边对等角还有什么数量关系关系，并且自主探讨逆定理的证明.

学生分组讨论，小组代表回答.

教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.

结合前面的解题思路对于等腰三角形的性质进行证明，同时让学生将学过的知识进行迁移和运用.

引导学生完成证明的书写过程，推导相关定理，培养同学的总结归纳能力.

培养学生的思维严谨性，拓展思路.

让同学们在全等图形中的结论中理解三线合一的概念，掌握三线合一的结论和延伸，并且能够自行进行逆定理的证明.

培养学生的合作交流的能力.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师活动:教师通过提问的方式，先带领同学理解问题抽象，让同学们找到解决问题的思路，之后提问同学补充解答过程，最后由教师完善解题步骤.

例1：在△ABC中，AD=AE，BD=CE，求证AB=AC.

思路：已知两条边，需要添加∠ADB=∠AEC,利用SAS证明全等.

证明：利用全等三角形证明

∵AD=AE

∴∠ADE=∠AED（等边对等角）

∵∠ADE+∠ADB=∠AED+∠AEC=180°

∴∠ADB=∠AEC

∵AD=AE，BD=CE

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴AB=AC

例2：在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数.

思路：通过角度计算找出等腰三角形.

证明：∵AB=AC

∴∠B=∠C（等边对等角）

∵AB=BD

∴∠2=∠3（等边对等角）

∵∠2=∠1+∠C

（三角形一个外角等于不相等的两个内角和）

∴∠2=∠1+∠B

∵∠2+∠3+∠B=180°（三角形内角和）

∴∠B=180° – 2∠2

∴∠2=∠1+180°–2∠2

∴3∠2=∠1+180°

∵∠1=30°

∴∠2=70°

学生自主学习、尝试独立解答，并交流讨论，尽量用多种方法证明AB=AC.

学生观察、整理、完善证明过程的书写.

.

利用等腰三角形的性质定理对角度进行计算，思考完善证明过程.

通过例题讲解让学生理解等腰三角形的性质定理的应用.培养学生的综合能力.

通过证明步骤的书写，严格要求证明过程严谨性，从而使得学生获得思维上的提升.

环节四 巩固新知

【随堂练习】

教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.       利用作等腰三角形顶角的平分线的方法，证明等腰三角形的两个底角相等.

提示：利用“SAS”证明

答案：如图，在△ABC中，AB=AC，证明∠B=∠C.

证明：过A作∠BAC的角平分线交BC于D.

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∵AB=AC，AD=AD

∴△ABC≌△ACB（SAS）

∴∠B=∠C

2.根据等腰三角形性质定理填空：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC.

（1）∵AD⊥BC，

   ∴∠     =∠      ，     =     ；

（2）∵AD是底边上的中线，

     ∴     ⊥     ，∠     =∠     ；

（3）AD是顶角的平分线

     ∴     ⊥      ，      =      .

答案：（1）BAD  CAD  BD  CD;（2）AD  BC  BAD  CAD；（3）AD  BC  BD  CD

3.如图，D是等腰△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC.

答案：

∵EB=EC，∴∠EBD=∠ECD

又∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠ACD，即AB=AC

∵EB=EC，∠1=∠2，AB=AC

∴△ABE≌△ACE（SAS)

∴∠3=∠4

∴AD⊥BC（等腰三角形“三线合一”）

注意：不可以用“SSA”证明

教师重点强调第3题的全等条件的寻找，不要用混.

自主完成练习，然后集体交流评价.

及时巩固所学知识，同时了解学生的学习效果，增强学生应用知识的能力.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

在教师的引导下，回顾反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法.

培养学生总结知识的能力，巩固新知，形成本节课重点内容框架.

环节六

布置作业

教科书第4页习题1.1

第1、2、3题

学生课后自主完成.

通过作业能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.