初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线第1课时教案及反思

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设

情境

【复习回顾】

教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.

问题1：

线段的垂直平分线具有什么特征？

预设：

垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.

如图，MN是线段AB的垂直平分线，交AB于点O，则MN⊥AB，且AO=OB.

问题2：等腰三角形顶角平分线有哪些性质？

预设：由等腰三角形三线合一的性质可得等腰三角形的顶角平分线垂直底边，并且平分底边．

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD所在的直线即线段BC的垂直平分线 ．

回忆学过的知识并回答问题

思考并回答问题

通过复习前面学习过的线段的垂直平分线相关知识，为新课的探究学习打下基础.

环节二

探究

新知

【合作探究】

拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′，FB和FB′的关系.可以发现折痕EB=EB′，FB=FB′.

我们曾经用上面折纸的办法得到：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗？试一试.

教师活动：引导学生回忆之前学习的轴对称图形中关于线段平分线的知识内容.并带领学生梳理证明思路，注意强调“要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表”.让学生写出已知、求证，并自主证明，最后再进行总结.

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.

求证：PA = PB.

分析：要证明PA=PB，只需证明△PCA≌△PCB.

    注意：如果点P与点C重合，那么结论显然成立，因此证明过程中的点P与点C不重合.

    证明：∵MN⊥AB，

∴ ∠PCA=∠PCB=90 °.

∵ AC=BC，PC=PC，

∴△PCA≌△PCB（SAS）.

∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等).

【归纳】

线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

几何语言:

如图，直线MN⊥AB，垂足是点 C，且AC=BC，P是MN上的点，则PA=PB.

应用：经常用来证明两条线段相等.

【想一想】

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它.

教师活动：引导学生运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.

预设：

逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

    是真命题

已知：如图，线段AB，PA=PB.

求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

    证明：∵过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.

    ∵  PA=PB，

    ∴△PAB是等腰三角形. 

    ∴ PC是△PAB的中线(三线合一).

    ∴ AC=BC.

    ∴直线MN是线段AB的垂直平分线.

    ∴点P在线段AB的垂直平分线上.

【归纳】

线段垂直平分线的判定定理：

到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

几何语言：如图，线段AB，PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)．

应用:

经常用来证明点在直线上或直线经过某一点.

回忆前面学习的知识，思考定理内容.说出证明的思路和方法.

学生尝试写出已知和求证并书写完整的证明过程.

总结归纳线段垂直平分线性质定理的相关内容.

回忆前面学习的逆命题的相关知识，尝试写出线段垂直平分线性质定理的逆命题.

思考证明方法并尝试证明.

总结归纳线段垂直平分线判定定理的相关内容.

先让学生通过回忆折纸得出线段垂直平分线性质定理的过程，了解线段垂直平分线的特征，然后自主思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程.

让学生从定理内容、几何语言、应用几个方面进行归纳总结线段垂直平分线的性质定理.

引导学生对性质定理进行逆向思考，提出猜想，然后加以证明.这是获得新的几何结论的一种常用方法.

让学生从定理内容、几何语言、定理应用几个方面进行归纳总结线段垂直平分线的判定定理.

环节三

应用

新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.

求证：直线AO垂直平分线段BC.

分析：由已知AB=AC，OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理，可以分别证出点A和点O为线段BC垂直平分线上的点，从而证出结论.

证明：∵ AB = AC，

∴ 点A在线段BC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).

同理，点 O 在线段BC的垂直平分线上.

∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).

教师活动：进一步提出思考，你还有其他的证明方法吗？

方法2分析：可以用全等三角形证明:设AO交 BC于点D，先依据基本事实 SSS证明△ABO≌△ACO得到 ∠BAO=∠CAO，再证明△ABD≌△ACD，从而使问题得证.

证明：延长AO交BC于点D，

∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC，

∴△ABO≌△ACO(SSS).    

∴∠BAO=∠CAO，

∵AB=AC，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD(SAS). 

∴BD＝CD，∠ADB=∠ADC=90°.

即直线AO垂直平分线段BC.

教师活动：引导学生对比两种证明方法，会发现使用垂直平分线的判定定理证明更加简便.

【做一做】

(1)用尺规做出线段AB的垂直平分线.  

教师活动：让学生回忆前面学习过的作图知识，尝试作图，引导学生先写出已知及求作，作法不做要求，做出正确图形即可.

已知:线段AB，如图.    

求作:线段AB的垂直平分线.

作法:

1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D.

2. 作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.

(1)请你就尺规作线段AB的垂直平分线方法的正确性给出证明，并与同伴进行交流. 

预设：

证明： ∵AC=BC

∴ 点 C 在线段 AB 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).

同理，点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.

∴ 直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线(两点确定一条直线).

教师活动：进行总结说明，并提示CD与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.

学生思考，交流反馈，提出问题并尝试用自己的方法解决验证.

思考证明的其他方法，并尝试书写证明过程后讨论.

思考并尝试作图.

证明作图方法的正确性，并与同学讨论交流讨论.

通过解决例题让学生理解线段垂直平分线的性质定理及判定定理，注意引导学生阅读、理解题意.

一题多解，培养学生的发散思维.

对于用尺规作线段的垂直平分线，学生在七年级上册已经学过，这里可引导学生回顾，并让他们能够证明作图方法的正确性.

环节四

巩固

新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

【随堂练习】

1.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=          cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=        °.

2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)

A．AB垂直平分CD 

B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分 

D．以上都不正确

3.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D.

(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；

(2)若BC＝4，求△BCD的周长．

答案：

1.7   60   

2. A

3.解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD＝BD.      

∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.

(1)∵△BCD的周长为8，

∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)

＝8－5＝3.

(2)∵BC＝4，

∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD

＝5＋4＝9.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.

环节五

课堂

小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置

作业

教科书 习题1.7  第1、2、3题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.