北师大版八年级下册4 角平分线第1课时教案

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设

情境

【复习回顾】

教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.

问题1：什么是点到直线的距离？

预设：从直线外一点，到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

问题2：角平分线是如何定义的？

预设：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.

问题3：如何使用尺规画出一个角的角平分线？

已知：∠AOB，如右图.

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC. 

作法：1.以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于D，交OB于E，则OD=OE．

2.分别以D，E为圆心．大于          的长度为半径作弧．两弧在∠AOB内交于点C．

3.作射线OC．

OC就是∠AOB的平分线． 

回忆学过的知识并回答问题

思考并回答问题

通过复习前面学习过的角平分线相关知识，为新课的探究学习打下基础.

环节二

探究

新知

【合作探究】

你还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？

教师活动：引导学生回忆之前学习的内容，轴对称图形中关于角的知识内容.

预设：角平分线上的点到角两边的距离

相等.

    通过角的轴对称性，利用折纸的方法结合对称的性质得到的.

已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.

求证：PD=PE.

证明：∵ ∠1=∠2 ，OP=OP，

∠PDO= ∠PEO=90°，

∴ △PDO≌△ PEO   (AAS)

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).

【归纳】

角平分线性质定理

角平分线上的点到这个角两边的距离

相等.

几何语言:

如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE.

定理应用所具备的条件：

1.角的平分线；

2.点在该平分线上；

    3.垂直距离.

定理的结论：

距离(线段)相等.

【教师活动】和学生一起总结证明线段相等的方法：

全等三角形

等腰三角形

线段的垂直平分线

等量代换

角平分线

【议一议】

你能写出角平分线定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它.

教师活动：先展示角平分线定理，引导学生按照前面学习的线段垂直平分线性质定理的逆命题的书写方法完成这个问题.注意提示说明添加的“在角的内部”这一条件.

预设：角平分线定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

    是真命题

已知：如图， 点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.

求证：OP平分∠AOB.

    证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，

  ∴ ∠ODP=∠OEP=90°.

  ∵  PD=PE，OP=OP，

  ∴Rt △DOP≌ Rt △ EOP   (HL)

  ∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).

∴OP平分∠AOB．

【归纳】

角平分线的判定定理：

在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

几何语言：如图，PD⊥OA， PE⊥OB， PD＝PE，则OP平分∠AOB．

定理应用所具备的条件：

1.点在角的内部

2.点到角两边的距离

3.距离相等

定理的结论：

点在角平分线上(两角相等)

【教师活动】和学生一起总结证明角相等的方法：

平行线

全等三角形

等腰三角形

等量代换

角平分线

    角平分线的性质定理与判定定理的对比

回忆前面学习的知识，思考并反馈.

学生尝试写出已知和证明并书写完整的证明过程.

总结归纳角平分线性质定理的相关内容.

回忆前面学习的知识，归纳证明线段相等的方法.

思考并回答问题

尝试证明角平分线的判定定理

　　总结归纳角平分线判定定理的相关内容.

　　回忆前面学习的知识，归纳证明角相等的方法.

学生在七年级上册曾经探索并认识这一结论，这里先让学生回忆探索过程，然后自主思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程.

让学生从定理内容、几何语言、定理条件及结论进行归纳总结角平分线的性质定理.

引申知识点，和学生一起归纳证明线段相等的方法，培养学生对知识的统筹归纳能力.

让学生用类比的方法构造角平分线的性质定理的逆命题.

让学生从定理内容、几何语言、定理条件及结论进行归纳总结角平分线的判定定理.

引申知识点，和学生一起归纳证明角相等的方法，培养学生对知识的统筹归纳能力.

环节三

应用

新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长

分析：由已知分析可知AD是∠BAC的角平分线，因此可以计算出∠EAD=30°，而△AED是直角三角形，“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，由此可以求出DE的长度.

解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且DE=DF.

  ∴点D在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)，即AD平分∠BAC.

  ∵∠BAC= 60°，     ∴∠BAD=30°.

  在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD =10,

  ∴DE=(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).

　　学生思考，交流反馈，提出问题并尝试用自己的方法解决验证.

通过解决例题让学生理解角平分线性质定理及判定定理，注意引导学生阅读、理解题意.

环节四

巩固

新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

【随堂练习】

1.已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（    ）

A．P为∠CAB、∠CBA两角平分线的交点　

B．P为∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点

C．P为AC、AB两边上的高的交点　　

D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点

2.如图，AD，AE分别是△ABC中∠BAC的内角平分线和外角平分线，它们有什么位置关系？

3.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB.

答案：

1.       B   

2. 解：AD⊥AE.∵∠BAC+∠CAF=180°，

∠DAC=∠BAC，∠CAE=∠CAF，

∴ ∠DAE=∠DAC+∠CAE

=(∠BAC+∠CAF)=90°，

∴AD⊥AE.

3.证明：过M点作ME⊥AD，垂足为E.

∵DM平分∠ADC，MC ⊥CD， ME⊥AD

∴ME=MC(角平分线上的点到角两边的距离相等)

又∵BM=CM， ∴ME=MB，

∵ ME⊥AD，MB ⊥AB，ME=MB，

∴AM平分∠DAB(在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).

　　自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.

环节五

课堂

小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置

作业

教科书 习题1.9 第2、3题

　　课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.