初中北师大版4 角平分线第2课时教案设计
展开《角平分线》教学设计
第2课时
一、教学目标
1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.
2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
3.在角平分线性质定理及判定定理的学习过程中,体会抽象、类比、分类的数学思想.
4.经历探索、猜测、证明的过程,进一步体会证明的必要性,增强证明意识和能力.
二、教学重难点
重点:证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.
难点:角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学 环节 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 |
环节一 知识 回顾 | 【复习回顾】 教师活动:教师提出问题,引导学生思考回答. 问题1:角平分线的性质定理是什么? 预设: 角平分线性质定理 角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 几何语言: 如图,OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,则PD=PE. 问题2:角平分线的判定定理是什么? 预设: 角平分线的判定定理: 在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 几何语言:如图,PD⊥OA, PE⊥OB, PD=PE,则OP平分∠AOB. 问题3:三角形的边的垂直平分线有什么性质?三角形三条边的垂直平分线有什么性质? 预设:三角形的边的垂直平分线上的点到这条边两个顶点的距离相等. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 教师活动:进一步提出思考问题,三角形的三条角平分线又有什么性质呢? |
回忆学过的知识并回答问题
思考并回答问题
回忆思考并回答问题 |
通过复习前面学习过的角平分线相关知识,巩固角平分线的性质定理和判定定理,为新课的探究学习打下基础.
提出三角形三条边的垂直平分线,是为了让学生类比思考三角形三条角平分线的性质,从而引入新课. |
环节二 典例 探究 | 【典型例题】 教师提出问题,学生先独立思考,解答.然后再小组交流探讨,教师巡视,如遇到有困难的学生适当点拨,最终教师展示答题过程. 例2 求证:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 分析:两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.证明前要先将题目转化为几何语言,画出图形.然后再结合前面学到的角平分线的判定定理和性质定理进行证明. 求解过程: 已知:如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为D,E,F. 求证:点P在∠A的平分线上,且PD=PE=PF. 证明:∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PE=PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). 【归纳】 教师活动:根据上面例题的解决过程,和学生一起总结归纳三角形三条角平分线交点的性质,简单介绍三角形的内心. 三角形内心 三角形三条角平分线交于一点,这一点称为三角形的内心.三角形的内心到三角形三条边的距离相等. 应用: 三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等是三角形的一个重要特征,该交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形,利用三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积,求角平分线交点到三边距离或者求三角形的面积,体现等面积法的运用 【应用问题】 如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在哪里?与同伴交流讨论一下. 预设:集贸市场Q应该建在三条线段AB,AC,BC对应的角平分线的交点处. 【典型例题】 例3 如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E. (1)已知CD=,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. 分析: (1)由已知可知△ABC是等腰直角三角形,可以利用角平分线的性质定理及勾股定理求出BD的长,从而求出BC的长,即AC的长. (2)利用角平分线的性质定理及三角形全等可以证明AC=AE,再通过证明△BDE为等腰直角三角形可以得到DE=BE,从而证出AB=AC+CD. 问题求解: (1)解:∵AD是△ABC的角平分线, ∴ DE=CD=(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC=BC, ∴∠B=∠BAC (等边对等角). ∵ ∠C=90°, ∴∠B=(180°-90°)=45° . ∴∠BDE=90°-45°=45° . ∴ BE=DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中, (勾股定理) ∴ AC=BC=CD+BD= . (2)证明:在 Rt △ACD和Rt △AED中, ∵CD=DE,AD=AD, ∴Rt △ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE(全等三角形的对应边相等) ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. |
学生思考,交流反馈,提出问题并尝试用自己的方法解决验证
学生尝试写出已知和证明,并书写完整的证明过程.
和老师一起总结归纳三角形的内心性质
结合上面的总结归纳内容,思考并解决问题
思考,交流反馈,提出问题并尝试用自己的方法解决并验证
尝试正确书写解题及证明过程. |
通过解决例题让学生理解角平分线性质定理及判定定理,注意引导学生阅读、理解题意.
总结介绍三角形的内心的相关知识,为后续学习三角形的内接圆做铺垫.
总结归纳角平分线交点可以解决的三角形的相关内容.并通过一道应用问题进行说明巩固.
本例需要运用前面所学的多个定理,而且将计算和证明融合在一起,目的是使让学生进一步理解、掌握这些知识和方法,并能综合运用它们解决问题
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环节三 方法 归纳 | 【归纳】 教师结合上面的例题讲授,鼓励学生先自主思考并讨论总结角平分线定理的应用场景及内容,然后做整体归纳总结. 角平分线性质定理和判定定理的应用: 1.角平分线和平行线都可以得出角相等,由角相等可以得出线段相等,进而可以进行线段之间的转化,达到证明线段之间和差倍分关系的目的. 2.角平分线的性质是证明边相等的重要依据,常与直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理等综合应用,在应用中常用到“构造法”和“转化思想”. 角平分线有关问题的常见辅助线做法: |
学生思考,自主交流反馈,后和老师一起总结归纳
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结合例题学习内容对角平分线相关问题方法的归纳总结,便于学生形成一定的方法论.
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环节四 巩固 练习 | 教师给出练习,随时观察学生完成情况并相应指导,最后给出答案,根据学生完成情况适当分析讲解. 【随堂练习】 1.在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的( ) A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.以上均不对 2.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=_______. 3.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E. 求证:DE=BD+CE. 4.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为点M,N. 求证:FE=FD. 答案: 1. B 2.4:5:6 3.证明:∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠CBO. ∵DE∥BC,∴∠CBO=∠DOB. ∴∠ABO=∠DOB. ∴BD=OD. 同理可证OE=CE, ∴DE=OD+OE=BD+CE. 4.证明:连接BF,由题意易知BF即为∠ABC的平分线,则FM=FN, 在Rt△ABC中,∵∠B=60°, ∴∠BAC=30° ,∴∠DAB=∠BAC=15°. ∴∠FDN=∠DAB+∠ABC=75°, ∠FEM=∠BAC+∠ACE =30°+∠ACB=30°+45°=75°. ∴∠FEM=∠FDN. 在△FEM与△FDN中,FM=FN, ∴Rt△FEM≌Rt△FDN.∴FE=FD. |
自主完成练习,然后集体交流评价. |
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养学生独立完成练习的习惯.
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环节五 课堂 小结 | 思维导图的形式呈现本节课的主要内容: |
回顾本节课所讲的内容 | 通过小结总结回顾本节课学习内容,帮助学生归纳、巩固所学知识. |
环节六 布置 作业 | 教科书 习题1.10 第2、3题 |
课后完成练习 | 通过课后作业,教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况,以便对教学进度和方法进行适当的调整. |
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