北师大版八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组5 一元一次不等式与一次函数教案

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设

情境

【复习回顾】

教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.

问题1：解一元一次不等式的一般步骤是什么？

预设：解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：

(1)去分母；    (2)去括号；   (3)移项；

(4)合并同类项；(5)系数化为1.

注意：在(1)和(5)中，如果乘数或除数是负数，要改变不等号的方向.

问题2：列一元一次不等式解应用题的一般步骤是什么？

预设：具体步骤如下：

1.审：认真审题，分清已知量、未知量及其之间的关系，找出题中的不等关系.

2.设：设适当的未知数，用x表示（或其他字母表示）      

3.列：根据题中的不等关系，列出不等式.

4.解：解出所得的不等式的解集，并检验是否符合题意.

5.答：写出答案（包括单位名称）.

问题3：在一次函数y=2x-5中，当y与0的关系变化时，方程和不等式怎样转化？

当             时，有方程 2x-5=0 ；

当             时，有不等式 2x-5>0 ；

当             时，有不等式 2x-5<0 .

预设：y=0     y>0      y<0

回忆学过的知识并回答问题

思考并回答问题

通过复习一元一次不等式与一元一次方程相关知识，为新课的探究学习打下基础.

提出一次函数与一元一次方程及不等式的问题，让学生思考三者之间的联系.

环节二

探究

新知

【合作探究】

试着在坐标系内作出一次函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题：

(1) x取哪些值时， y＝0？

(2) x取哪些值时， y>0？

(3) x取哪些值时， y<0？

(4) x取哪些值时， y>1？

教师活动：结合图象演示说明不同情况下，自变量x的取值范围及图象特征.

y>0:

y<0:

y>1:

预设：x=2.5时，y=0；

x>2.5时，y>0；

x<2.5时，y<0；

x>3时，y>1.

【想一想】

如果y= –2x–5，那么当x取哪些值时，y＜0？当x取哪些值时，y＜1？

预设：

(1)当x＞–2.5时，y＜0.(如下图)

(2)当x＞–3时，y＜1.(如下图)

教师活动：引导学生通过上面的合作探究，从数和形的角度分析归纳一次函数与一元一次不等式的关系.

【归纳】

一次函数与一元一次不等式的关系:

【做一做】

函数y1=2x-5和y2=x-2的图象如图所示，观察图象回答下列问题：

(1) x取何值时，y1=y2 ?

(2) x取何值时，y1>y2 ?

(3) x取何值时，y1<y2 ?

教师活动：先让学生画出两个函数图象，然后根据图象讨论分析出具体问题的答案.

预设：(1)y1=y2时，两个一次函数的图象交于一点，此点的横坐标就是方程2x-5=x-2的解x=3；即x=3时，y1=y2.

(2)一次函数y1=2x-5的图象在y2=x-2的图象上方的部分对应点的横坐标就是不等式2x-5>x-2的解；即x>3时，y1>y2.

(3)一次函数y1=2x-5的图象在y2=x-2的图象下方的部分对应点的横坐标就是不等式2x-5<x-2的解.即x<3时，y1<y2

【归纳】

一次函数、方程、不等式之间的关系：

1.两个一次函数图象的交点横坐标为对应一元一次方程的解.

2.过两函数交点做平行于y轴的直线，比较直线两旁函数图象的高低，位置高y值大，位置低y值小，x取值以直线与x轴交点为分界点.

3.可以运用函数图象解不等式 ，也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，二者相互渗透 ，互相作用.

【做一做】

兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己开始跑.已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

(1)何时弟弟跑在哥哥前面?

(2)何时哥哥跑在弟弟前面?

(3)谁先跑过20m?谁先跑过100m？你是怎样求解的？与同伴交流.

分析：设哥哥跑的时间为x，你能分别列出哥哥、弟弟跑的路程y(m)与时间x(s)之间的函数关系式吗?

预设：哥哥赛跑时所跑的距离y1(m)与哥哥跑的时间x(s)之间的关系式为：y1=4x

弟弟赛跑时所跑的距离y2(m)与哥哥跑的时间x(s)之间的关系式为：y2=9+3x

试画出这两个函数的图象，根据图象判断何时哥哥跑在前面，何时弟弟跑在前面.

所以，9s前弟弟跑在哥哥前面.9s后哥哥跑在弟弟前面.

(3)根据图象很容易得到：弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m.

【议一议】

在上面问题中，列出函数关系式后，不画图象，你能判断何时哥哥跑到前面吗？

教师活动：提示可以通过解不等式求解.组织学生进行讨论，鼓励学生广泛发表自己的见解.思考讨论后，提出小明的解答，让学生判断.

小明是这样想的：

哥哥、弟弟所跑的路程y(m)与时间x(s)的函数关系式分别是y=4x和y=9+3x.

当他俩并列时，4x=9+3x，此时x=9，

那么当x>9时，4x>9+3x，哥哥跑在前面；

当x<9时，4x＜9+3x，弟弟跑在前面.

你同意他的想法吗？

预设：同意.

【归纳】

一元一次不等式与一次函数在实际问题中的应用:

一次函数相关的应用问题一般有两种解决方法:直接解不等式法和图象法.

观察，思考并反馈.

观察，思考并反馈.

思考并回答问题.

归纳一元一次函数与一元一次不等式的关系.

画出两个函数的图象，分析图象并尝试独立解决问题后，小组进行讨论交流.

总结归纳

分析并尝试解决问题

思考说出自己的见解，可以与同学讨论.

总结归纳应用题的解题方法及步骤

让学生通过观察一次函数的图象并求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，让学生整体上感受利用一次函数的图象可以帮助解决一元一次不等式、一元一次方程的问题.

在教学中，要关注学生解决问题方法与策略的多样性，鼓励他们从不用的角度思考解决问题的方法.

让学生从“函数值”和“函数图象”两个方面理解不等式的解集与一次函数函数值及图象之间的关系.

让学生感受可以运用解不等式帮助研究函数问题，说明一次函数与一元一次不等式相互渗透、相互作用，感受函数、方程、不等式之间的联系.

总结归纳函数、方程、不等式之间的联系.

通过实际问题的解决进一步理解函数、方程、不等式之间的联系.

通过具体例子渗透函数、方程、不等式之间的内在联系，帮助学生整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用.

帮助学生归纳总结，形成方法论.

环节三

应用

新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例1 某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每月通话1min收费0.3元；乙种业务不收月租费，但每通话1min收费0.4元.你认为何时选择甲种业务对顾客更合适?何时选择乙种业务对顾客更合适?

分析：可先依据题意分别列出甲、乙种业务每个月的消费额与每个月的通话时长之间的函数关系式，然后再利用不等式比较两个函数的函数值大小关系即可.

解：设顾客每月通话时长为xmin，甲种业务每个月的消费额为y甲，乙种业务每个月的消费额为y乙，则有

 y甲=10+0.3x，y乙=0.4x；

当y甲＜y乙时，即 10+0.3x＜0.4x.

解得x＞100.

当y甲＞y乙时，即 10+0.3x＜0.4x.

解得x＜100.

所以，费用大于100元时，选择甲种业务对顾客更合适；费用小于100元时，选择乙种业务对顾客更合适.

例2 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客7.5折优惠.乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余游客8折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少?

分析： 可先依据题意分别列出甲、乙两家旅行社给予优惠后应支付的旅游费用y与参加旅游人数x之间的函数关系式，然后再利用不等式比较两个函数的函数值大小关系即可.

解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则

y1=200×0.75x，即 y1=150x；

y2=200×0.8（x-1），即 y2=160x-160.

  由y1=y2，得150x=160x-160，解得x=16.

当x<16时，150x>160x-160；

当x>16时，150x<160x-160.

因为参加旅游的人数为10至25人，所以，当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.

【归纳】

解决一元一次不等式与一次函数综合应用时往往还结合一元一次方程，主要用来解决现实生活中的决策问题，一般情况下分以下步骤进行解答:

(1)根据题意写出每个方案的函数关系式；

(2)分三种情况进行比较，解每种情况所对应的方程或不等式；

(3)利用方程的解或不等式的解集结合实际情况给出相应的决策.

学生思考，交流反馈，提出问题并尝试用自己的方法解决验证

总结解决应用问题的方法步骤

通过解决例题让学生理解感受函数、方程、不等式之间的关系，运用所学知识，解决问题.

归纳总结综合应用问题的解决方法.

环节四

巩固

新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

【随堂练习】

1.如图，直线y=kx+b交坐标轴于A(-2，0)，B(0，3)两点，则不等式kx+b>0的解集是(        )

A. x>3                B. -2<x<3

C. x<-2                D. x>-2

2.直线l1:y1=kx+b与直线l2：y2=x+a在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞x+a的不等式的解集为（    ）

A. x＞3       B. x＜3

C. x=3        D. 无法确定

3.某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打8折.这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠，请你帮助他们选择购票方案.

答案：

1.       D   
2.       B
3.       解：设该公司参观者中有女士x人，选择购买女士五折票时所需费用为y1元，选择购买团体票时所需费用为y2 元，则 (这里一张票的原价设为1元，也可以设为a元)      

y1= 0.5x+40-x，y2 = 40×0.8.

y1= y2 时有：0.5x+40-x=40×0.8，解得x=16.

所以当女士不足 16 人时，购买团队票合算；当女士恰好是 16人时，两种方案所需费用相同；当女士多于 16人时，购买女士五折票合算.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.

环节五

课堂

小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置

作业

教科书  习题2.6  第2题

教科书  习题2.7  第2、3题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.