北师大版八年级下册3 公式法第2课时教案

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情景

【复习回顾】

教师活动：教师提出问题，学生思考并回答.

问题：你学过哪些因式分解的方法？

预设：提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)

追问：你会运用这些方法吗？

把下列各式分解因式:

(1)  ax4 - ax2  

预设答案：有公因式，先提公因式：

原式=ax2（x2-1）=ax2(x+1)(x-1)

(2)  x4-16

    预设答案：因式分解要彻底！

原式=(x2 +4)(x2 -4)

    =(x2 +4)(x +2)(x -2)

思考回答问题.

独立解答，并说一说.

复习已学过的因式分解的方法，一方面巩固已学知识，另一方面为新课的学习做准备.

环节二

探究新知

【探究】

教师活动：通过观察具体的式子，体验这些多项式所具有的完全平方式的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的完全平方式公式.

计算下列各式:

(1)(x+2)2= ________ ,

(2)(2x+1)2= ________，

(3)(x-3)2= ________ ,

(4)(3x-1)2= ________，

预设：（1）x2+4x+4；（2）4x2+4x+1

(3)x2-6x+9；(4)9x2-6x+1

根据上面算式填空:

(1) x2+4x+4=_____________,

(2)4x2+4x+1=_____________,

(3)x2-6x+9=_______________，

(4)9x2-6x+1=_____________.

预设：（1）(x+2)2；（2）(2x+1)2;

(3)(x-3)2;(4)(3x-1)2.

提问：你有什么发现呢？

预设：前四个形如(a±b)2=a2±2ab+b2，是整式的乘法，后两个形如a2±2ab+b2=(a±b)2，是因式分解，而且它们是左右调换的.

【归纳】

完全平方公式:

两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.

通常我们把运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法.

【想一想】

能用完全平方公式分解因式的多项式的特点？

预设：(1)是三项式(或可以看成三项)；

(2)有两个同号的数或式的平方； 

(3)中间是这两个数的积的±2倍.

简记口诀：

首平方，尾平方，首尾两倍在中央.

凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.

【做一做】

观察下面的拼图过程，验证完全平方和公式是否正确？

预设：a2+2ab+b2=(a+b)2)，是正确的.

提问：你能验证完全平方差公式吗？

填一填，并交流讨论.

熟悉完全平方公式及公式法的概念.

交流讨论，反馈结果.

计算两个图形的面积

让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，区分整式的乘法和因式分解，从而得出完全平方公式所具有的条件.

明确完全平方公式及公式法的概念.

通过讨论加深学生对公式的理解和运用，找到应用公式的特征.

通过拼图验证完全平方和公式，加深对公式的理解.

环节三

应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例3 把下列完全平方式因式分解：

(1) x2+14x+49；     (2)  (m+n)2 -6 (m+n)+9.

分析：(1)把x2看成是a2,49看成是b2，从而公式中的a为x,b为7,中间项刚好是它们乘积的2倍，再套用完全平方和公式；(2)把(m+n)2看成是a2,9看成是b2，从而公式中的a为m+n,b为3,中间项刚好是它们乘积的2倍，再套用完全平方差公式.

解：（1）原式=x2+2×7x+72 ＝ (x+7) 2 ；

（2）原式=＝(m+n)2-2(m+n)·3+32＝(m+n-3)2.

注意：a²± 2ab+b² = (a ± b)²中的a，b可以表示数、单项式，也可以是多项式.

例4  把下列各式因式分解：

(1) 3ax2＋6axy＋3ay2；      (2) -x2-4y2＋4xy.

分析：(1)有公因式3a需先提出来，剩下的x2＋2xy＋y2，再套用完全平方和公式；（2）有公因式-1需先提出来，剩下的x2-4xy＋4y2，再套用完全平方差公式.

 解：（1）原式= 3a（x2＋2xy＋y2）=3a（x＋y）²

（2）-x2-4y2＋4xy ＝-(x2＋4y2-4xy)

             ＝-(x2-4xy＋4y2)

             ＝-[x2-2·x·2y＋(2y)2]

             ＝-(x-2y)2.

注意：如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式，再运用完全平方式进行因式分解.

例5  把y(y+4)-4(y+1)因式分解.

分析:先去括号合并同类项后，再运用平方差公式因式分解.

解：y(y+4)-4(y+1)

＝ y2＋4y-4y-4

=y2-4

=(y+2)(y-2)   

例6  把(x2+1)2-4x2因式分解.

分析：先用平方差公式，再运用完全平方式进行因式分解.

解：(x2+1)2-4x2

＝ (x2+1)2- (2x)2

=(x2+2x+1)(x2- 2x+1)

=(x+1)2(x-1)2

【议一议】

多项式因式分解的一般步骤是什么？

预设：

①如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式；②如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法因式分解(即平方差公式和完全平方公式)；③如果上述方法都不能进行因式分解，那么可以先整理多项式，然后分解；④因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.（遵循“一提、二套、三检查”的原则）

明确例题的做法

尝试独立计算，再交流结果.

分组讨论，并进行归纳总结.

通过例题的解答，引导学生如何运用完全平方公式进行因式分解.

通过例4，引导学生如何处理不能直接因式分解的多项式，该怎样因式分解.

明确因式分解一定要彻底.

归纳总结得出对多项式进行因式分解的一般步骤.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)

A．x2＋x＋1          B．x2＋2x－1

C．x2－1             D．x2－6x＋9

答案：D

2. 已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(　　)

A．64     B．48     C．32    D．16

答案：A

3. 把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为(　　)

A．(3a－b)2           B．(3b＋a)2

C．(3b－a)2           D．(3a＋b)2

答案：C

4.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是(         )

A．4xy(x－y)－x3     

B．－x(x－2y)2

C．x(4xy－4y2－x2)

D．－x(－4xy＋4y2＋x2)

答案：B

4.利用因式分解进行简便计算：

(1)1002－2×100×99+99²；

(2)342＋34×32＋162.

解：(1)1002－2×100×99+992==(100-99)2=1                  

(2)342＋34×32＋162=(34＋16)2=2500

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五

课堂小结

以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容:

回顾本节课所讲的内容

通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

环节六

布置作业

教科书第103页习题4.5  第2、3、4题.

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.