初中数学北师大版八年级下册2 提公因式法第2课时教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

知识回顾

【知识回顾】

问题一：什么叫提公因式法？

预设：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.

问题二：提公因式法因式分解的一般步骤是什么？

预设：找公因式→提公因式→确定另一个公因式→写成积的形式

练一练：把下列各式因式分解：

(1)ax+2bx； 

(2) yx+y2x2.

解：(1)ax+2bx=x·a+x·2b=x(a+2b)； 

(2) yx+y2x2=yx·1+yx·yx=yx(1+yx).

其中一个因式由单项式变成了多项式，怎么计算呢？

学生思考、回忆并积极回答问题.

复习旧知，既是对已学知识的巩固，也是为新知的学习做铺垫.

环节二 典例探究

【典型例题】

例2 把下列各式因式分解：

(1)a(x–3)+2b(x–3)；(2)y(x+1)+y2(x+1)2.

提示：把“x–3”“x+1”都看做一个整体进行因式分解.

解：(1)a(x–3)+2b(x–3)

=(x–3)·a+(x–3)·2b

=(x–3)(a+2b)； 

(2)y(x+1)+y2(x+1)2

=y(x+1)·1+y(x+1)·y(x+1)

=y(x+1)[1+y(x+1)]

=y(x+1)(yx+y+1).

例3 把下列各式因式分解：

(1)a(x–y)+b(y–x)；

(2)6(m–n)3–12(n–m)2.

分析：根据提公因式分解因式的一般步骤逐步计算；提公因式的时候，注意公因式是多项式的情况要整体提出；提公因式的时候，还要注意加括号后各项符号的变化.

解：(1)a(x–y)+b(y–x)

     =a(x–y)–b(x–y)

     =(x–y)(a–b).

(2)6(m–n)3–12(n–m)2

 =6(m–n)3–12(m–n)2

 =6(m–n)2(m–n–2).

【做一做】

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“–”，使等式成立；

(1)2–a=     (a–2)；  (2) y–x=     (x–y)；

(3)b+a=    (a+b)；   (4)(b–a)2=     (a–b)2；

(5) –m–n=  (m+n)；   (6)–s2+t2=     (s2–t2).

答案：–  –  +  +  –  –

问题：你发现了什么规律？

【总结】

添括号：

如果括号前是“＋”，那么括号内的每一项都不改变符号；

如果括号前是“－”，那么括号内的每一项都改变符号.

把–4m3+12m2–6m因式分解.

分析：这个多项式的最大公因式是“2m”.

解：–4m3+12m2–6m

     = –(4m3–12m2+6m)

    = –(2m·2m²–2m·6m+2m·3)

    = –2m(2m²–6m+3)

总结：

当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“–”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“–”号时，多项式的各项都要变号.

学生尝试用学过的知识思考并回答.

学生思考并积极回答.

学生自主完成并集体交流、总结.

学生自主完成并积极回答问题.

进一步巩固利用提公因式法进行因式分解，同时学习、掌握公因式为多项式的情况.

通过做一做，回顾添括号的法则，并借助例3的讲解学习如何将添括号知识应用在因式分解中.

趁热打铁，通过练习及时巩固新知.

环节三 方法归纳

【方法归纳】

提公因式法因式分解的注意事项：

• 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式各项都变号；
• 多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项；
• 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开.

学生小组交流，汇总并回答问题.

总结概括提公因式法因式分解的注意事项，加深学生对因式分解的理解，同时也培养学生的语言表达能力可概况能力.

环节四 巩固练习

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

把下列各式因式分解：

(1)x(a+b)+y(a+b)；

(2)3a(x–y)–(x–y)；

(3)–a2 +ab–ac；(4)–2x3+4x2+2x；    

(5)6(p+q) 2–12(q+p)；

(6)a(m–2)+b(2–m)；

(7)2(y–x)2+3(x–y)；  

(8)mn(m–n)–m(n–m)2.

解：(1)x(a+b)+y(a+b)

     =(a+b)(x+y)；

(2)3a(x–y)–(x–y)

 =(x–y)(3a–1)；

(3)–a2 +ab–ac

 = –(a2 –ab+ac)

 = –a(a–b+c)；

(4)–2x3+4x2+2x

 = –(2x3–4x2–2x)

 = –2x(x2–2x–1)；

(5)6(p+q) 2–12(q+p)

 =6(p+q) 2–12(p+q)

=6(p+q)(p+q–2)；

(6)a(m–2)+b(2–m)

 =a(m–2)–b(m–2)

 =(m–2)(a–b)；

(7) 2(y–x)2+3(x–y)

 =2(x–y)2+3(x–y)

 =(x–y)(2x–2y+3)

(8) mn(m–n)–m(n–m)2

  =mn(m–n)–m(m–n)2

 =m(m–n)(2n–m).

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第98页习题4.3第1、2、3题.

学生课后自主完成.

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.