初中数学苏科版八年级下册9.1 图形的旋转精品同步测试题

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【知识点1】旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
【知识点2】旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
【知识点3】作图步骤
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的各对应点．
一、旋转的概念
【例1】如图，是等边的边上一点．将旋转到的位置
（1）旋转中心是________点；
（2）旋转了________度；
（3）若是的中点，那么经过上述旋转变换后，点转到了什么位置？
【答案】（1）；（2）（3）若是的中点，以点为旋转中心，逆时针旋转后，点转到了的中点位置上．
【解析】解：解:(1)△ABC为等边三角形,CA=CB,
而△ACE旋转到△BCF的位置,
即CA旋转到CB,CE旋转到CF,
旋转中心为C点;
(2) △ABC为等边三角形,
∠ACB=60,
CA旋转到CB,
旋转角度为∠ACB,即旋转了60;
(3)若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.
【例2】如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】C
【解析】解析：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′
∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
【例3】下面四个图案中，不能由基本图案旋转得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
A、可由一个基本“花瓣”绕其中心经过7次旋转，每次旋转45°得到；
B、可由一个基本“菱形”绕其中心经过5次旋转，每次旋转60°得到；
C、可由一个基本”直角三角形”绕其中心绕其中心经过5次旋转，每次旋转60°得到；
D、不能由基本图案旋转得到．
故选D．
二、旋转的性质
【例1】如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，CD＝4，求AD的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到
∴
∴，
∴，即
∵是等边三角形
∴
∵
∴
∴．
（2）连接，如图：
∵由（1）可知，
∴是等边三角形
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴．
【例2】如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为______．
【答案】50°
【解析】
解析：如图，∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
【例3】如图所示，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于______°．
【答案】125°
【解析】
解析：∵∠B=35°，∠C=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠B=55°，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB1等于旋转角，且∠BAB1=180°﹣55°=125°，
∴旋转角的度数为125°．
【例4】如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ACB绕点B顺时针旋转得到△EDB，且点E在CB的延长线上，连接CD，则∠CDB=_____度．
【答案】15
【解析】
解析：∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=180°﹣30°=150°，
∵△ABC 绕顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，
∴∠ABE等于旋转角，即旋转角的度数为150°，
∵△ABC 绕顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，
∴BC=BD，∠CBD=∠ABE=150°，
∴△BCD为等腰三角形，
∴∠BDC=（180°﹣150°）=15°．
【例5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ B ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】
解析：如图，连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，∴PC=A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）
【例6】如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点MB．格点NC．格点PD．格点Q
【答案】B
【解析】
解析：∵△ABC经过旋转后得到△EFD，
∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，
∴旋转中心在AE的垂直平分线上，也在BF的垂直平分线上，
作AE的垂直平分线和BF的垂直平分线，它们的交点为N点，如图，
即旋转中心为N点．
【例7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为___42___cm．
【答案】42cm
【解析】
解析：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=CD=12cm，
在Rt△ACB中，，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm）
【例8】如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，若CD=8，AD=6，连接CC′，那么CC′的长是（ ）
A．20B．100C．D．
【答案】A
【解析】
解析：由旋转的性质可知，∠CAC′=90°，AC=AC′，
Rt△ACD中，由勾股定理得，
，
在Rt△CAC′中，由勾股定理得，
．
三、旋转的作图
【例1】在如图网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并直接写出A、C两点的坐标；
（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并直接写出点A2、B2、C2的坐标．
【答案】见解析
【解析】解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）如图，A点坐标为（0，1），C点的坐标为（﹣3，1）；
（3）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标烦恼为（0，﹣1），（3，﹣5），（3，﹣1）．
【例2】如图，已知和点请画出绕点顺时针旋转后得到的
【答案】见解析
【解析】
如图所示: 即为所求三角形.
【例3】①在图1中画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A1B1C1；
②在图2中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1；
③图3中△A1B1C1是△ABC绕着某一点O旋转得到的图形，请在图中画出旋转中心O．
【答案】见解析
【解析】
解析：如图
【例4】已知：如图，四边形ABCD及一点P，求作：四边形A′B′C′D′使得它是由四边形ABCD绕P点顺时针旋转150°得到的．
【答案】见解析
【解析】
解析：如图，四边形A′B′C′D′就是所求的图形．
【例5】已知：如图，若线段A1B1是由线段AB经过旋转变换得到的，仅用直尺和圆规作出旋转中心O点．
【答案】见解析
【解析】
解析：如图，点O为所作．
1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）
A．①②③④B．②③C．②③④D．③④
【答案】C
【解析】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确
无法判断BE＝CD，故①错误，
故选：C．
2、如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵为钝角，
∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴，故D选项正确，符合题意；
故选D．
3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，连接CC′，若∠CC′B′=32°，则∠B的度数为______．
【答案】77°
【解析】
解析：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′，
∴AC=AC′，∠CAC′=90°，∠B=∠AB′C′，
∴△ACC′是等腰直角三角形，
∴∠ACC′=45°，
∴∠AB′C′=∠ACC′+∠B′C′C=45°+32°=77°，
∴∠B=77°
4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转能与重合，若，则_________．
【答案】
【解析】解：∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AED，
∴AC=AD，
∴∠CDA=∠ACD =65°，
∴∠CAD=180°-2∠ACD=180°-2×65°=50°，
故答案为：
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________．
【答案】1
【解析】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，
根据勾股定理得，AB2+AC2=BC2，
∴．
又∵BD=3，
∴DC＝BC−BD＝．
过点D作DM⊥AC于点M，
由旋转的性质得∠DAE=90°，AD＝AE，
∴∠DAC+∠EAF=90°．
又∵∠DAC+∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠EAF．
在Rt△ADM和Rt△EAF中，．
∴（AAS），
∴AF=DM．
在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得，
DM2+MC2=DC2，
∴DM=1，
∴AF=DM=1．
故答案为：1．
6．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析
【解析】（1）证明：延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD，
∴．
（2）证明：延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD，
∴．
7．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到，请画出的图形；
(2)平移△ABC，使点A的对应点坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的的图形；（用黑水笔将图形描清楚）
(3)直接写出的面积 ．
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3
【解析】
（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：的面积为：，
故答案为：3．
8．任意画一个，作下列旋转：
（1）以点为中心，把逆时针旋转；
（2）以点为中心，把顺时针旋转；
（3）在外任取一点为中心，把顺时针旋转；
（4）以的中点为中心，把旋转．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【解析】
解：（1）△即为所求；
（2）△即为所求；
（3）△即为所求；
（4）△即为所求．
9．如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到，
（1）求旋转角的度数；
（2）求点P与点之间的距离；
（3）求的度数．
【答案】（1），（2）6，（3）．
【解析】
解：（1）∵由绕点A旋转得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：，
∴旋转角度数为；
（2）如图所示，连接，
∵，，
∴为等边三角形，
∴,
即点P与点之间的距离为6；
（3）在中，
由（1）得：，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴的度数为．