10.2 分式的基本性质-八年级数学下册同步培优讲练综合（苏科版）

10.2 分式的基本性质 同步培优讲练综合分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．，，其中C是不等于0的整式．一、判断分式变形是否正确【例1】下列变形正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A．，故A错误；B．，故B错误；C．，故C正确；D．，故D错误．故选：C．【例2】下列从左到右的变形中，一定正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、，故A不符合题意．B、当时，无意义，故B不符合题意．C、，故C不符合题意．D、，故D符合题意．故选：D．【例3】下列各式中，正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】A、已经是最简分式，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以即可得到，故本选项正确；故选D．【例4】下列各式从左到右的变形正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．二、利用分式的基本性质判断分式值的变化【例1】如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．缩小4倍 D．扩大4倍【答案】D【解析】解析：∵x和y都扩大2倍后变为2x和2y，∴∴分式的值扩大4倍【例2】分式中，x、y都扩大10倍，则分式的值（    ）A．扩大10倍 B．缩小10倍 C．保持不变 D．缩小5倍【答案】C【解析】解：把的x、y同时扩大10倍为：，故分式的值保持不变，故选：C．【例3】若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ）A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．扩大27倍【答案】C【解析】解：，即如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值扩大9倍，故选：C．三、将分式分子分母最高次项化为正数【例1】不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（        ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：原式===．故选：D．【例2】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==．故选D．【例3】不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】 故选D.【例4】不改变分式的值，使下列分式中分子和分母的最高次项的系数为正数．（1） （2） （3）【答案】见解析【解析】解析：（1）原式（2）原式（3）原式四、求分式的值成立的条件【例1】若分式的值为负整数，则所有满足条件的整数x的值的和为________；【答案】【解析】由，其中，当时，原式=，解得；当时，原式=，解得；当时，原式=，解得；当时，原式=，解得（舍去）．所以符合题意的x的值的和为．故答案为：．【例2】已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝______．【答案】2或4或-10或16【详解】解：＝若要值为整数，只需为整数即可，当x=2时，，当x=4时，，当x=-10，时，当x=16，时，综上分析可知，x=2或4或-10或16时，分式的值为整数．故答案为：2或4或-10或16．【例3】分式的值为负数的条件是（  ）A． B．且 C．且 D．，且【答案】D【解析】解：，因为分式的值为负数，∴ 或者∴ 且 故选： ．【例4】若值为正数，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．或【答案】D【解析】解：∵值为正数，∴或，解得：或，故D正确．故选：D．【例5】若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ）A．x>-2 B．x-2且x≠1 D．x>1【答案】C【解析】解：原式=，当x≠1时，（x-1）2＞0，当x+2＞0时，分式的值为正数，∴x＞-2且x≠1．故选：C．【例6】若x是整数，且的值也是整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】解：∵x是整数，且的值也是整数，∴或或或，∴或或0或．共有4个，故选：C最简分式与约分【例1】下列各式中，是最简分式的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：选项，是最简分式，故符合题意；选项，，不是最简分式，故不符合题意；选项，，不是最简分式，故不符合题意；选项，，不是最简分式，故不符合题意；故选：．【例2】下列分式中，是最简分式的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】A. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；    B. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；    C. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；    D. ，是最简分式，故该选项正确，符合题意；故选：D．【例3】下列分式是最简分式的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】A. ，不能再化简，为最简分式，符合题意；B.可化简为，不是最简分式，不符合题意；C.可化简为，不是最简分式，不符合题意；D. 可化简为，不是最简分式，不符合题意；故选A．【例4】约分：______．【答案】【解析】解：，故答案为：．【例5】约分：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：【例6】因式分解或约分：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．六、最简公分母与通分【例1】通分：(1)，(2)，．【答案】(1)和(2)和【解析】（1）∵两个分式分母分别为，未知数系数的最小公倍数为，∵a，b，c的最高次数为2，2，1，∴最简公分母为，将，通分可得：和；（2），∴最简公分母是，，．【例2】填空(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)x(3)(4)【解析】（1）解：；故答案为：；（2）解：；故答案为：x；（3）解：；故答案为：；（4）解：．故答案为：．【例3】分式、、的最简公分母是______．【答案】【解析】解：根据最简公分母的概念，、、最小公倍数为，的最高次幂为，的最高次幂为，故它们的最简公分母是．故答案为：．【例4】分式 与的最简公分母是______________．【答案】【解析】解：分式与的最简公分母是：，故答案为：．【例5】分式与的最简公分母是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：分式与的最简公分母，故选：A【例6】若，则A、B的值为（          ）．A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3【答案】B【解析】解：．∵，∴，∴，得：，∴．将代入①中，解得：，∴方程组的解为：．故选B．【例7】把，，通分的过程中，不正确的是（    ）A．最简公分母是 B．C． D．【答案】D【解析】A、最简公分母为，正确，该选项不符合题意；B、，通分正确，该选项不符合题意；C、，通分正确，该选项不符合题意；D、通分不正确，分子应为，该选项符合题意；故选：D．1．下列各式中，运算正确的有（    ）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】解：①，故①不符合题意；②，故②符合题意；③，故③不符合题意；④，故④不符合题意；故选：A．2．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、，故A不是“和谐分式”；B、，故B不是“和谐分式”；C、，故C是“和谐分式”；D、，原式的分子与分母都不能因式分解，故D不是“和谐分式”；故选：C．3、把分式中的a、b都扩大3倍，则分式的值（ ）A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．扩大6倍【答案】A【解析】解析：∵a、b都扩大3倍后变为3a、3b∴∴分式的值不变4、分式可变形为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解析：5、下列分式，，，，，其中最简分式的个数是（ B ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解析：，错误，错误，不能约分，正确，错误，错误6、下列分式是最简分式的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解析：A．，错误B．，错误C．，不能约分，正确D．，错误7、下列各式的变形中，不正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解析：A．，正确B．，正确C．，错误D．，正确8、分式：①，②，③，④中，最简分式有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D【解析】解析：①，分子分母中含有公因式，能约分为，不是最简分式；②，分子分母中含有公因式，能约分为，不是最简分式；③，分子分母中含有公因式7，能约分为，不是最简分式；④，分子分母中不含有公因式，不能再约分，是最简分式．9．若分式的值为正，则x的取值范围是______．【答案】且【解析】∵的值为正，又∵，∴且，且，故答案为：且．10．若的值为整数，则正整数a的值为______．【答案】1、2或5【解析】解：分式的值是整数，，∴为整数，∵a是正整数，∴可以为2、3或6，∴a的值为1、2或5，经检验，当，或，分母，∴a的值为1、2或5，故答案为：1、2或5．11．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________．【答案】【解析】解：．故答案为：12．约分：______；______；分式，，的最简公分母是______．【答案】               【解析】解：，，分式，，的最简公分母是，故答案为：①，②，③．13、分式，，的最简公分母是______．【答案】【解析】解析：∵，，，∴最简公分母是14．约分：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．15、填空：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）； （2）；（3）； （4）．【解析】解析：（1）分子分母都除以，得；（2）分子分母都除以x，得；（3）分子分母都除以，得；（4）分子分母都乘以x，得．