11.2 反比例函数的图象与性质-八年级数学下册同步培优讲练综合（苏科版）

11.2 反比例函数的图象与性质 同步培优讲练综合1、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2、反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较（4）反比例函数y＝中的意义①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.一、反比例函数的图象【例1】若反比例函数的图象位于（   ）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限【答案】B【解析】解：∵反比例函数解析式为，，∴函数图象过二、四象限，故B正确．故选：B．【例2】已知反比例函数则该反比例函数的图象在___________象限．【答案】第二、四【解析】解：∵反比例函数，∴该反比例函数的图象在第二、四象限，故答案为：第二、四．【例3】双曲线y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）A．k≤3 B．k＜3 C．k＞3 D．k≥3【答案】B【解析】解：∵双曲线y＝的图象分布在第二、四象限，∴k﹣3＜0，解得：k＜3．故选：B．二、反比例函数的性质【例1】若点，在反比例函数的图象上，则a___________b（填“”“”或“”）【答案】【解析】解：在反比例函数中，，该函数的图象分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，点，在反比例函数的图象上，且都在第三象限，，，故答案为：．【例2】反比例函数的图象经过点，，，则_________（填“＜，＝，＞”）【答案】【解析】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数经过第二、四象限又反比例函数的图象经过点，，∴点在第二象限，点在第四象限，∴，故答案为：．【例3】已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（　　）A．图象必经过点B．图象位于第二、四象限C．图象关于原点对称D．在每一个象限内，y随x的增大而减小【答案】D【解析】解：对于反比例函数 ，当时，，因此图象必经过点，故A选项结论正确，不合题意；，因此图象位于第二、四象限，故B选项结论正确，不合题意；反比例函数的图象关于原点对称，故C选项结论正确，不合题意；在每一个象限内，y随x的增大而增大，故D选项结论不正确，符合题意；故选D．【例4】关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ）A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点【答案】A【解析】解：，∵，∴图象过二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大；∵，∴反比例函数图象与坐标轴无交点；∵，∴图象经过点；综上，选项B、C、D正确，不符合题意；选项A错误，符合题意；故选A．三、比例系数k的几何意义【例1】如图，是反比例函数图象上第二象限内的一点，若的面积为，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由反比例函数的几何意义可得，，，图象在第二象限，即，，故选：A．【例2】已知函数的图像经过点，那么k的值是____________．【答案】4【解析】解：依题意：把代入得：解得：故答案为：4．【例3】如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L．（1）若L过点，则___________；（2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有___________个．【答案】          23【解析】解：（1）每个台阶的高和宽分别是2和3，，，，，，，，，过点，，故答案为：；（2）若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，若曲线过点，时，，曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，即，，，与，，，，在曲线L的两侧，，整数的个数为：个，故答案为：23；【例4】如图所示，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，点P在x轴上，若，则k的值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】解：反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是．则，，．∵，∴，即，∴，则．故选B．【例5】如图，点A是函数图象上一点，点B是图象上一点，点C在x轴上，连结．若轴，，则____；【答案】5【解析】解：连接，∵点A是函数图象上一点，点B是图象上一点，∴，，又∵轴，∴，，∵，∴，又∵，∴，故答案为：5．四、一次函数与反比例图像【例1】一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A. 根据一次函数图像在第一、二、三象限，则，即，则双曲线在第一、三象限，与A选项不符，故A选项不符合题意；B. 根据一次函数图像在第一、二、三象限，则，即，所以双曲线在第一、三象限，故B选项符合题意；C. 根据一次函数图像在第一、三、四象限，则，即，所以双曲线在第二、四象限，与C选项不符，故C选项不符合题意；D. 根据一次函数图像在第二、三、四象限，则，即，所以双曲线在第一、三象限，与D选项不符，故D选项不符合题意．故选B．【例2】在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（   ）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：当时，函数的图像过一、二、四象限，函数的图像过一、三象限，当时，函数的图像过一、二、三象限，函数的图像过二、四象限，观察图形可知，只有D选项符合题意，故选：D．【例3】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：当时，则，∴反比例函数图象在一、三象限，函数的图象经过一、三、四象限，故A、B选项都不符合题意；当时，则，∴反比例函数图象在二、四象限，函数的图象经过一、二、四象限，故C选项符合题意，D选项不符合题意．故选：C．【例4】如图，直线与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（    ）．A． B．或 C．或 D．【答案】B【解析】解：根据图象，可得：不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围，又∵直线与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，∴不等式的解集是或．故选：B五、综合性解答题【例1】．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5．(1)求值；(2)当时，求函数值的取值范围．【答案】(1)10(2)【解析】（1）解法一：∵点在双曲线上，轴，，∴，∴．又∵，∴．解法二：设点的坐标为∵轴，∴，∵，∴．∴．（2）∵．∴双曲线的表达式为．当时，．由图象可知，当时，．【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点.(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图象，请你直接写出满足条件：的的取值范围.【答案】(1)；(2)或【解析】（1）解：∵把代入得：，∴反比例函数的解析式是，∵代入反比例函数得：，∴的坐标是，把、代入一次函数得：，①-②，得，把代入①，得，，∴方程组的解集为，∴一次函数的解析式是；（2）解：从图象可知：的的取值范围是当或．【例3】如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．(1)求出直线的表达式；(2)根据图象直接写出不等式的解；(3)在x轴上有一点P使得的面积为9，求出点P的坐标．【答案】(1)(2)或(3)或【解析】（1）解：将点代入反比例函数表达式并解得：，故反比例函数表达式为：，将点B的坐标代入，解得：，故点B，将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故直线的表达式为：；（2）由图像知的解为或；（3）设直线与x轴的交点为E，当时，，故点，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则，解得，∴当P点在E点右侧时，，点P的坐标为；当P点在E点左侧时，，点P的坐标为，故点P的坐标为或．【例4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点．(1)求反比例函数的解析式与点的坐标；(2)连接、，求的面积；(3)点是反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标．【答案】(1)，点(2)(3)【解析】（1）点在一次函数的图象上，，点，点在反比例函数的图象上，，；联立，解得：，，点；（2）设与轴的交点为点，则点，，；（3）设点，，，，，（舍），．【例5】如图，反比例函数的图象与的图象相交于点C，过直线上点作轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且．(1)求反比例函数的解析式．(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：∵点在直线上，∴，∴，∴，∵轴于点B，，∴，即，∵点D在上，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）解：联立得：，解得或（舍去），∴，∴．1．若反比例函数经过点，则_______．【答案】【解析】∵反比例函数经过点，∴，解得：．故答案为：2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是______．【答案】或【解析】由图像知，当或时，一次函数在反比例函数上方，即，故答案为：或3．函数与函数在同一个直角坐标系中的大致图象可能是（    ）．A． B．C． D．【答案】C【解析】时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项C符合;时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．故选C．4．在同一平面坐标系内函数与的大致图象是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：当中，该函数图象的两个分支在第一，三象限内，则的图象过第一、二、三象限，只有B选项符合；当中，该函数图象的两个分支在第二，四象限内，则的图象过第一、二、四象限，没有选项符合；故选：B．5．如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（    ）A．2 B． C．m D．4【答案】A【解析】解：设点A坐标为，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，∴点B坐标为，∴，∵点A在点第一象限，∴．故选：A6、已知点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（　　）A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2【答案】A【解析】∵反比例函数y＝中的k＝5＞0，∴反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y的值随x的值增大而减小．∵（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，即这两点都位于第一象限，∴y1＞y2．故选：A．7、已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三点都在反比例函数y＝的图象上，则下列关系正确的是（　　）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【答案】D【解析】解：∵反比例函数y＝中，k＝﹣a2﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵3＞1＞0，∴B、C在第四象限，∴y2＜y3＜0，∵﹣2＜0，∴A在第二象限，∴y1＞0，∴y2＜y3＜y1．故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接．若的面积为，则的值是______．【答案】16【解析】解：四边形是矩形，，，设点的坐标为，点、点分别为、边的中点，，，、在反比例函数的图象上，，，，即，，．故答案为：．9．如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，连接，若的面积为2，则________．【答案】【解析】解：依题意得，，，的图像在第二象限，，，故答案为：10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为(2)或【解析】（1）解：设反比例函数解析式为，∵反比例的图象过点，即，∴∴反比例函数的解析式为，又∵点在函数的图象上，∴∴又∵一次函数过、两点，即， 解之得．∴一次函数的解析式为；（2）由图可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．11．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．(1)求反比例函数的解析式及的值；(2)观察图像，直接写出不等式的解集．【答案】(1)反比例函数的解析式为，(2)或【解析】（1）解：把代入中，得，，反比例函数的解析式为．点在反比例函数的图像上，．（2）解：根据观察图像可知，当或时，一次函数图像在反比例函数图像上方，故不等式的解集为：或．12．如图，一次函数（，b为常数，）与反比例函数（常数，，）的图象交于点，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象说明，当取何值时，；(3)连接，，求的面积．【答案】(1)；(2)(3)【解析】（1）解：把代入得：，解得：，即反比例函数的表达式是，把代入得：，解得：，即点的坐标是，把、的坐标代入得：，解得：，，所以一次函数的表达式是；（2）解：从图象可知：当时，；（3）解：设直线交轴于，交轴于，当时，，当时，，即，，，，的面积．正比例函数反比例函数解析式图 像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置，一、三象限，二、四象限，一、三象限，二、四象限增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而增大