苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形精练

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知识点1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
知识点2、菱形的性质
1、菱形的四条边都相等；
2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3、菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
知识点3、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
一、菱形性质的认识
【例1】下列命题是假命题的是（ ）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形B．菱形的对角线垂直平分
C．对角线相等的平行四边形是矩形D．矩形的对角线垂直平分
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分；
B．有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形；
C．正方形具有矩形和菱形的所有性质；
D．对角线相等的矩形是正方形，对角线垂直的菱形是正方形；
【例3】下列说法错误的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形
【例4】下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线平分一组对角D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
二、利用菱形的性质求角度
【例1】如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，则 ．
【例2】如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【例3】如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则______．
三、利用菱形的性质求线段
【例1】如图，四边形是菱形，，，于点，则等于（ ）
B．C．5D．4
【例2】如图，菱形的对角线交于点，，，于点，则 ．
【例3】如图，，是菱形的对角线，于点，若，，则的长为
A．2.4B．2.5
C．4.8D．5
利用菱形的性质求面积
【例1】如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的面积为，则阴影部分的面积为 ．
【例2】如图，菱形的对角线、相交于，点是线段的动点，连接．若，，则的最小值是 ．
【例3】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A．24B．48C．72D．96
【例4】菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【例5】如图，在菱形中，点A的坐标为（0，5），点C的纵坐标为1，直线的表达式为，交y轴于点E，若．则菱形的面积为___________．．
菱形的判定与性质
【例1】如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是
B．
C．D．
【例2】如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是 ．
【例3】如图，在中，对角线、相交于点，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是
B．
C． D．
菱形的判定解答题
【例1】D是的边上的一点，是边边的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：．
（2）已知，，当 时，四边形是菱形．
【例2】如图，四边形是平行四边形，延长，，使得，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，，当 时，四边形是菱形．
【例3】如图，点、分别在的边、的延长线上，且，连接、、、，与交于点．
（1）求证：、互相平分；
（2）若平分，求证：四边形是菱形．
【例4】已知：如图菱形ABCD，点E，F分别为边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=∠B=60°．
(1)求证：AE=AF；
(2)如果AB=8，设BE=x，AE=y，求y与x的函数关系式和定义域；
(3)在（2）的基础上，当x取何值时，与面积比值为7．
【例5】如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接，．
(1)求证：．
(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应t的值；如果不能，请说明理由．
(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
1．菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等B．对角线一定相等C．对角线平分对角D．是中心对称图形
2．下列不属于菱形性质的是（ ）
A．四条边都相等B．两条对角线相等
C．两条对角线互相垂直D．每一条对角线平分一组对角
3．如图，菱形的周长为，对角线、相交于点O，，垂足为E，，则为（ ）
B．C．D．4cm
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，点B在x的正半轴上，点D是边上的一点，点E在直线上，连接，则的最小值为__________．
5．已知菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为_____________．
6．如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分的面积为______．
7．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作EDAB，EFAC，得到四边形EDAF，它的面积记作：取BE中点E1：作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去， =____________
8．如图，菱形，、分别是，上的点，，，求的度数．
9、如图，在中，点、在对角线上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求证：四边形是菱形．
10、如图，四边形中，，，于，于，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求证：四边形为菱形．
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．
(1)求证：四边形EBFD为菱形；
(2)若，，求∠ABE的度数．
12．如图，已知在菱形中，，点E，F，G，H分别是,，，上一点，且始终满足，，的长为4．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)判断直线是否经过某定点？若经过，请指明该点的位置并说明理由；若不经过，也请说明理由；
(3)设菱形的边长为x，的面积记为y，请建立y与x之间的函数关系式并指出x的取值范围．