9.4.1 矩形-八年级数学下册同步培优讲练综合（苏科版）

9.4.1 矩形 同步培优讲练综合

知识点1：矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
知识点2：矩形的性质
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
知识点3：矩形的判定
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.

一、矩形性质的认识
【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（    ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】B
【解析】
解：A、矩形的对角线互相平分，故此选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项符合题意；
C、矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；
D、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．

【例2】关于矩形，下列说法错误的是　　
A．四个角相等 B．对角线相等
C．四条边相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【解析】解：矩形的性质为四个角相等，对角线相等，对角线互相平分，
故选：．

【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是　　
A．有两个角为直角的四边形 B．对角线互相平分的四边形
C．对角线相等的四边形 D．四个角都相等的四边形
【答案】D
【解析】解：、有3个角为直角的四边形是矩形，故错误；
、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
、对角线相等的平行四边形，故错误；
、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；
故选：．

二、利用矩形的性质求角度
【例1】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：设与交于点E，如图所示．

∵旋转角为，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：B．

【例2】如图，在矩形中，对角线，交于点O.若，则的度数为（    ）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】A
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩，∠AOB＝60°，
∴∠BCD＝90°，∠COD＝60°，OC＝OD＝，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠OCD＝30°，
故选：A．

【例3】如图，在矩形中，，相交于点，平分交于，若，则的度数为(    )

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠DAO=30°，
∴∠EAO=15°，
∴∠BAO=45°+15°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，OB=AB，
∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE，
∴∠BEO=×（180°-30°）=75°．
故选：D．

三、利用矩形的性质求线段
【例1】如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（    ）．

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
解：四边形是矩形，
，
点D的坐标是，
，
，
故选：C．

【例2】如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【解析】
解：如图，以为边作等边三角形，过点H作于N，于M，

又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∴点F与点M重合时，，
故选B．

【例3】如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__．

【答案】
【解析】
解：如图，连接，
，，，
，
于，于，
四边形是矩形，
，互相平分．且，
，的交点就是点．
当的值最小时，的值就最小，
当时，的值最小，即的值最小．
，
，
，，，
，
，
；
故答案为：．


四、利用矩形的性质求面积
【例1】如图，矩形中，，，点为直线的一点，连，平移至，连接、，则四边形的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：已知平移至，则，
四边形是平行四边形，则

故选：B．

【例2】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作EF//BC，分别交，于点，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】16
【解析】
解：作于，交于．

则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，即，
，
，
故答案为：

【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为____．

【答案】
【解析】
如图，连接BF，
，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE=，
由折叠可知：BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴），
∴BH=，
∴BF=，
∵EF=BE=CE，
∴∠BFC=90°，
根据勾股定理可得：CF=，
S△ECF=S△BCF=×××=，
故答案为：．

五、矩形有关的折叠问题
【例1】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，DF，当线段DF被CE垂直平分时，AF则线的长为_______．

【答案】
【解析】
解：连接AF交PE于O，连接DF，
∵矩形ABCD，
∴BC=AD=6,CD=AB=4，
∵线段DF被CE垂直平分时，
∴CF=CD=4,ED=EF，
∵将△APE沿PE折叠得到△FPE，
∴PE是线段AF的垂直平分线，
∴AE=EF,AF=2OA，
∴AE=ED=EF，
∵AD=AE+ED=6，
∴AE=ED=EF=3，
设AP=x，则PF=AP=x，BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，
∵PC2=BP2+BC2,即（x+4）2=（4-x）2+62
∴x=，
∵PE=，
∴，
即，
解得：AO=，
∴AF=2AO=．
故答案为．


【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点，上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．

【答案】
【解析】
如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，
在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，
∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），

如图2中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝10﹣1﹣3＝6（cm），

如图3中，当点M运动到点B′落在CD时，

DB′（即DE″）＝10﹣1﹣＝（9﹣）（cm），

∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝6﹣4+6﹣（9﹣）＝（）（cm）．
故答案为：．

【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME ＝ α，∠ABE ＝ β，则 α 与 β 之间的数量关系为________．

【答案】
【解析】
如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC，
∵DM=MC，
∴△ADM≌△BCM(SAS)，
∴∠DAM=∠CBM，
∵△BME是由△MBC翻折得到，
∴∠CBM=∠EBM=(90°−β)，
∵∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，
∴∠OMB=∠ANB=90°−β，
在△MBE中，
∵∠EMB+∠EBM=90°，
∴α+(90°−β)+12(90°−β)=90°，
整理得：3β−2α=90°
故答案为：3β−2α=90°

【例4】如图，将长方形纸片沿BD所在直线折叠，得到，与交于点E，若，则的度数为_________．

【答案】
【解析】
解：在矩形中，，，
，，
，
，，
由折叠可知：，
．
故答案为：．

六、矩形的判定 解答题
【例1】如图，中，，于点，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形．

【答案】见解析
【解析】证明：，，
，．
在中，，，
，．
四边形是平行四边形．
又，
四边形是矩形．

【例2】如图，在中，，，为中点，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）连接交于点，若，，直接写出EC的长．


【答案】见解析
【解析】
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，，
，

【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点．
操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．
(1)如图，当点落在边上时，求点的坐标；

(2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：；

【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
（1）解：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵矩形是由矩形旋转得到，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）证明：四边形是矩形，
，
点在线段上，
，
由旋转的性质得：，
在和中，，
∴．

【例4】在平行四边形中，，将沿翻折至，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)在平行四边形中，已知：，将沿翻折至，连接．若以A、C、D、为顶点的四边形是矩形，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或
【解析】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，，
∴，
∴，即；
（2）证明：∵，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴；
（3）解：分两种情况：①如图1所示：

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴；
②如图2所示：

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
综上所述：的长为或．

【例5】已知：如图，在矩形中，，．对角线的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长．


【答案】
【解析】
解：连接，如图所示：

∵四边形是矩形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则 ，
在中，
即
解得：x=52，
∴

【例6】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN相交于点K，得到△MNK，如图①．

(1)当点M与点A重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK的面积；
(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK的面积最大，最大值是多少
【答案】(1)△MNK的面积为1 (2)△MNK的面积最大值为1.3
【解析】
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴在图1、图2中，DN AB，
∴∠DNM=∠BMN，
又∵折叠，
∴∠BMN =∠KMN，
∴∠KMN=∠KNM，
∴NK=MK，
∵△MNK的面积S=NK•AD=NK，
∴S=MK，
图2中，由折叠知，∠KAN=∠NAB=15°，  
∵DNAB，
∴∠ KNA=∠NAB，
∴∠ KNA=∠KAN=15°，KA=KN，
∴在Rt中，∠DKA=30°，KA=2AD=2
∴△MNK的面积S=NK•AD=NK，
∴S=AK=1；
（2）
有以下两种情况：    
情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
设MK=MB=x，则AM=5-x．
由勾股定理得：12+ (5-x)2=x2，    
解得，x=2.6，
即MD= ND= 2.6，
∴S△MNK= S△ACK =×1×2.6 =1.3；
情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
设MK=AX= CK=x，则DK=5-x，
同理可得MK=NK=2.6，
∴S△MNK= S△ACK=×1×2.6 =1.3，
∴△MNK的面积最大值为1.3．

【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．

(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．
(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．
【答案】(1)∠AEM＝90° (2)，理由见解析 (3)DE的长为或
【解析】
（1）解：如图1，

∵DE＝2，
∴AE＝AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°．
由对称性知∠BEM＝45°，
∴∠AEM＝90°．
（2）
解：如图2，

∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，
∴CN＝2．
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
∵BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，
∴，
∴∠DBC＝∠BNM，
∴；
（3）
分类讨论：①如图3，当E在边AD上时，

∴∠BMC＝90°，
∴．
∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，
∴△BCM≌△CED(AAS)，
∴DE＝MC＝；
②如图4，当点E在边CD上时，

∵BM＝6，BC＝8，
∴MC＝，
∴．
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，DE的长为或．

1．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线AH交DC于点M．若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：四边形是长方形，
，
，
由题意可知，平分，
，
，
故选：B．
2．如图，矩形中，，两条对角线所夹的钝角为，则对角线的长为(　　)

A．3 B．6 C． D．10
【答案】B
【解析】
解：在矩形中，，
∵两条对角线所夹的钝角为
，
是等边三角形，
，
．
故选：B．
3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：四边形是矩形，
，，，
，即、均为等腰三角形，
，，
是等腰的一个外角，
，
，
，
，
，即是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：B．
4．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．

【答案】
【解析】
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
5．如图，在矩形中，对角线、相交于，于，，则的度数是___________．

【答案】
【解析】
【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
故答案为：．

6．如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则______

【答案】125
【解析】解：将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．

7．如图，四边形ABCD为矩形，则∠ABC=________；若OA=5，则BD=________．

【答案】      10
【解析】   
∵四边形是矩形，OA=5，
∴，，
故答案为：．
8．如图，延长矩形ABCD边BC至点E，使，连接AE，如果，则______．

【答案】20°
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°，
故答案为：20°．

9．如图，平面直角坐标系中，长方形，点，分别在轴，轴的正半轴上，，，，，分别交，于点，，且，则点坐标为______．

【答案】
【解析】
解：过点作，过点作，并延长交延长线于点，如下图：

则，∴，
∴
在矩形中，，
∴
∴四边形为矩形
∴，，
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则，
设直线解析式为
由题意可知，代入得，，解得，
又∵点在直线上，∴
解得，即
∴
∴点坐标为
故答案为