苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质巩固练习

这是一份苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质巩固练习，文件包含专题03平行线的四大基本模型重难点题型专训解析版docx、专题03平行线的四大基本模型重难点题型专训原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共80页， 欢迎下载使用。

题型一 平行线基本模型之M模型
题型二 平行线四大模型之铅笔模型
题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型
题型四 平行线四大模型之“骨折”模型
【经典例题一 平行基本模型之M模型】
【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C

【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.

【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E
朝向左边的角的和=朝向右边的角的和

结论3的模型也称为锯齿模型；
锯齿模型的变换解题思路

拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型
【例1】（2022春·山东济宁·七年级统考阶段练习）如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
【答案】C
【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021春·全国·七年级专题练习）如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（ ）
A．101°B．103°C．105°D．107°
【答案】B
【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．
【详解】解：如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，∠1=43°，
∴∠ANM=43°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，
∴∠2=∠AMO=103°．
故选：B．
【点睛】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．
【变式2】（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示）
【答案】
【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出 ，由即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作，则，
，
∴，，
又∵平分，平分，
∴，
，
∵，
∴ ，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义．
【变式3】（2022春·山东聊城·七年级统考阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)；理由见详解
【分析】（1）过点作，由，可知．由此可知：，，故；
（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：，利用三角形内角和是180°，可得．
（1）
解：如图：过点作，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）
解：，理由如下：
如图：过点作，
由（1）知，
∵平分，
∴，
∵∠AGM＝∠HGQ，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．
【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】
【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°

【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.

变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）
拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n
【例2】（2021·全国·九年级专题练习）如图，两直线、平行，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB
观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则
故选D
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键
【变式训练】
【变式1】（2022·全国·七年级假期作业）如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（ ）.
A．30°B．40°C．50°D．65°
【答案】B
【分析】由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作直线，
∵直线m//n，，
∴，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠B=90°，
∴∠4=90°-50°=40°，
∵，
∴∠1=∠4=40°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．
【变式2】（2020春·山西临汾·七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______．
【答案】540°
【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小．
【详解】解：如图，根据题意可知：AB∥EF，
分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，
所以AB∥CG∥DH∥EF，
则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°，
∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°，
∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．
故答案为：540°．
【点睛】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小．
【变式3】（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)
=180°-(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】
【例3】（2022秋·全国·八年级专题练习）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故①错误；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正确；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③错误；
④如图4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正确；
综上结论正确的个数为2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·八年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线．求证：；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？
【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析
【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．
【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，
证明：如图：
∵AB∥ED，
∴∠ABC=∠BFD，
在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．
若点C在直线AB与DE之间，猜想,
∵AB∥ED∥CF，
∴
∴.
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．
【变式2】（2021春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析
【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；
（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．
（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．
【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
（2）∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．
（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠BPD，
∴∠D=∠B+∠BPD，
即∠BPD=∠D-∠B；
如图（4），∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠BPD，
∴∠B=∠D+∠BPD，
即∠BPD=∠B-∠D．
【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法．
【变式3】（2022·全国·七年级假期作业）已知，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．
【详解】（1）证明：
；
（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作
，，，
AF平分
FH平分
设
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
【经典例题四 平行基本模型之“骨折”模型】
【例4】（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________．
【答案】57°
【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．
【详解】解：设AE、CD交于点F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，
∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，
∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠EAB=180°，
∴∠EAB=180°-123°=57°，
故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．
【答案】
【分析】延长交BC于M，根据两直线平行，内错角相等证明∠BMD=∠ABC，再求解，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：延长交BC于M，
∵
∴∠BMD=∠ABC=80°，
∴；
又∵∠CDE=∠CMD+∠C，
∴．
故答案是：40°
【点睛】本题考查了平行线的性质．三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______
【答案】180°
【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．
【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：
，
∠1=∠EFD，
∠2+∠EFC=∠3，
，
，
；
故答案为180°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键．
【变式3】（2021春·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．
【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；
（2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；
（3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．
【详解】解：（1）过E作EMAB，
∵ABCD，
∴CDEMAB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF，
∵∠DCF＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠CEM＝60°，
又∵∠CEB＝20°，
∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，
∴∠ABE＝40°；
（2）过E作EMAB，过F作FNAB，
∵∠EBF＝2∠ABF，
∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，
∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，
∵ABCD，
∴EMABCD，
∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，
∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，
同理∠CFB＝y﹣x，
∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，
∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，
∴x＝10°，
∴∠ABE＝3x＝30°；
（3）过P作PLAB，
∵GM平分∠DGP，
∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，
∵PQ平分∠BPG，
∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，
∵PQGN，
∴∠PGN＝∠GPQ＝x，
∵ABCD，
∴PLABCD，
∴∠GPL＝∠DGP＝2y，
∠BPL＝∠ABP＝30°，
∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，
∴30°＝2y﹣2x，
∴y﹣x＝15°，
∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，
∴∠MGN＝15°．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．
【培优检测】
1．（2022·全国·七年级假期作业）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ）
A．2β＝3αB．β＝2αC．2β＝5αD．β＝3α
【答案】B
【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可．
【详解】解：如图，作CF//ED，
∵AB//ED，
∴∠A+∠E=180°= α ，
∵ED//CF，
∴∠D+∠DCF=180°，
∵AB//ED，ED//CF，
∴AB//CF，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°
即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ，
∴ β＝2α ．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键．
2．（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
3．（2021·全国·九年级专题练习）把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
【答案】B
【分析】先作直线OE平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案.
【详解】作直线OE平行于直角三角板的斜边．
可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°，
故∠1的度数是：60°+45°＝105°．
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质.
4．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆师范大学附属中学校考阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【答案】C
【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．
故选：C．
5．（2022·全国·七年级假期作业）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．80°B．120°
C．100°D．140°
【答案】C
【分析】过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C．
【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示，
∵MN//AB，
∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵，
∴
∵MN//AB，AB//CD，
∴MN//CD，
∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，
故选：C．
【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．
6．（2022春·甘肃金昌·七年级校考期中）如图，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意过点C作CF//AB，可得CF//ED，进而利用平行线的性质进行分析计算即可．
【详解】解：过点C作CF//AB，
∵CF//AB，，
∴CF//ED，
∴∠1+∠ACF=180°，∠FCD+∠3=180°,
∵∠2=∠FCD+∠ACF,
∴=∠1+∠ACF +∠FCD+∠3=180°+180°=360°．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，注意掌握两直线平行时，巧妙构造辅助线，熟练运用平行线的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
7．（2022·全国·七年级假期作业）如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【答案】B
【分析】过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数．
【详解】解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，
∵a∥b， ∴a∥b∥AB，
∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，
又∵∠CAD=90°，
∴∠4=50°，
∴∠5=50°，
∴∠1=180°-50°=130°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
8．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可．
【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，

∵AB∥EF∥CD，
∴∠γ+∠FED=180°，
∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，
∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，
∴∠α+∠β+∠γ=360°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
9．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，已知点是矩形内一点（不含边界），设，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得，，两式相减即可得到．
【详解】解：矩形，
，
，，
中，，即，①
中，，即，②
由②①，可得，
即，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角．
10．（2021春·全国·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，
∴∠D+∠CED＝110°，
∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，
∵点E在AC上的任意一点，
∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
11．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠α+∠β＝110°B．∠α+∠β＝70°C．∠β﹣∠α＝70°D．∠α+∠β＝90°
【答案】B
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．
【详解】如图，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，
∵∠BCD＝70°，
∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，
∴∠α+∠β＝70°．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.
12．（2021春·全国·七年级专题练习）如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．
【详解】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,
∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,
∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,
∴β=α+90°-γ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13．（2022·全国·七年级假期作业）如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则______度．
【答案】20
【分析】如图（见详解），过点E作， 先证明，再由平行线的性质定理得到，，结合已知条件即可得到．
【详解】解：由题意可得：．
如图，过点E作，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即：．
故答案为：20．
【点睛】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决．
14．（2021春·甘肃庆阳·七年级校考期中）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
【答案】540
【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．
【详解】过点E作，过点F作，如图，
∵，，，
∴，，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，
故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键．
15．（2022·全国·七年级假期作业）如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为 ___．
【答案】150°##150度
【分析】延长AB交l2于E，根据平行线的判定可得AB∥CD，根据平行线的性质先求得∠3的度数，再根据平行线的性质求得∠2的度数．
【详解】解：延长AB交l2于E，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=30°，
∴∠2=180°-∠3=150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．
16．（2022·全国·七年级假期作业）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．
【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°
【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
17．（2022·全国·七年级假期作业）如图，，则____________________．
【答案】
【分析】过点作的平行线，利用平行线的性质，即可证明．
【详解】过点作的平行线
，
又
又
.
故答案为：．
【点睛】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线．
18．（2021春·安徽安庆·七年级统考期末）如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为______________．
【答案】40°或140°
【分析】分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，可得EG∥FH∥AB，根据AB∥CD，可得EG∥FH∥AB∥CD，情况一根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°；情况二根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．进而得到结论．
【详解】解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，
∴EG∥FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥FH∥AB∥CD，
如图，
∵EG∥AB∥CD，
∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG，
∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF= ∠AME，∠CNF=∠CNE，
∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，
∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°，
如图，
∵EG∥AB∥CD，
∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG，
∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，
∴∠AME+∠CNE=360°-（∠BME+∠DNE）=280°
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，
∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，
∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．
综上所述：∠MFN的度数为40°或140°．
故答案为：40°或140°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
19．（2022秋·贵州六盘水·八年级统考期末）如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °．
【答案】
【分析】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是．
【详解】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB，
∵AB∥CD，AB∥PM
∵AB∥PM∥CD，
∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，
∴∠1+∠APC+∠3=360°；
（2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥PM∥QN∥CD，
∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；
∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；
根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．
即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
20．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知AB//CD，，，，则____度．
【答案】90
【详解】解：如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，
∴，，
，，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即：，
∴．
故答案为：90．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键．
21．（2022秋·全国·七年级统考期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.
小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即
已知:如图1，，为、之间一点，连接， 得到.
求证:
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明:过点作，
∴
∵，
∴
∴.
∵
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.
（1）如图，若，，则___________.
（2）如图，，平分，平分，，则___________.
【答案】 240° 51°
【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H．
【详解】（1）解：作EM∥AB，FN∥CD，如图，
AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°，
∵，
∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；
（2）解：如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵平分，平分，
∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，
∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-(∠ABG+∠DCG)，
∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，
∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，
又∵∠BGC=∠BHC+27°，
∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，
∴∠BHC =51°．
故答案为：（1）240°；（2）51°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
22．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证：
【答案】见解析
【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，
即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，
∴∠E＝（∠A＋∠C）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键．
23．（2022·全国·七年级假期作业）如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论．
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求证即可；
（2）根据平行线的性质即可得证；
【详解】（1）过点作，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
，，
．
（2）
，
，
又∵∠BED=∠BEF+∠DEF，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
24．（2021春·山东德州·七年级统考期中）（1）如图1，，，，则 ；
（2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）；（2），理由详见解析；（3）当点在射线上时，；当点在上时，．
【分析】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点作交于点，然后根据平行线的性质求解即可；
（3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；
【详解】（1）如图1，过作
，
，
，
又，
，
则
（2）
理由是：
如图2，过点作交于点
，
，
（3）当点在射线上时，设CD与AP交于点P，如图所示，
∵，
∴，
又∵在△CHP中，，
∴，
即：．
当点在上时，如图所示，
作PE∥AB，
∴∠APE=∠BAP=∠α，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠PCD=∠β，
∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．
即．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
25．（2022·全国·七年级假期作业）综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．

（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
【答案】（1）90°；（2）120°
【分析】（1）过作，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；
（2）过作，过点作，根据两直线平行，内错角相等性质解得，再根据角平分线性质，求得，最后再用平行线定理解题，证明，进而计算的值即可．
【详解】解：（1）如图1，过作，
，
，
图1
（2）如图2，过作，过点作设
，，
，
，，
平分，平分，
，
，
平分，
，
，
，，
，，
图2
【点睛】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26．（2022·全国·七年级假期作业）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
【答案】(1) 110°，见解析；(2) ∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
【分析】(1)过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
(2)过P作PE∥AD交CD于E点，推出AD∥PE∥BC，根据平行线性质得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
【详解】解：(1)剩余过程：∠CPE+∠PCD=180°，
∴∠CPE=180°-120°=60°
∠APC=50°+60°=110°；
(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如下图，过P作PE∥AD交CD于点E，
∵AD∥BC
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.
27．（2021春·广西柳州·七年级统考期中）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【答案】(1)证明见详解
(2)①；证明见详解；②；证明见详解
【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；
（2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；
②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出．
（1）
解：如图4所示：过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）
解：①如图5过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
②如图6过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．
28．（2022春·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若，，试猜想______°；
(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)；证明见详解
(3)
【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
（1）
解：如图过点作，
∵，
∴．
∴，
．
∵，，
∴
∴．
∵，
∴∠P=80°．
故答案为：；
（2）
解：，理由如下：
如图过点作，
∵，
∴．
∴，
．
∴
∵，
．
（3）
如图分别过点、点作、
∵，
∴．
∴，
，
．
∴
∵，
，
，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
29．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）如图：
(1)如图1，，，，直接写出的度数．
(2)如图2，，点为直线，间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．
(3)如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．
【答案】(1)∠BED=66°；
(2)∠BED=2∠F，见解析；
(3)∠BED的度数为130°．
【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；
（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°．
（1）
解：（1）如图，作EF∥AB，
，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，
∴∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）
解：∠BED=2∠F，
理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，
∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，
又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，
∴∠BED=2(∠2+∠3) ，
又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，
∴∠3+∠2+∠F=∠BED，
综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；
（3）
解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，
∵∠BGD=60°，
∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，
∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，
∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，
∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，
∴∠BED的度数为130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．
30．（2022春·江西九江·七年级统考期中）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．

（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；
（2）如图3，，点在直线上运动，记，．
①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；
②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）①，见解析；②
【分析】（1）过作，利用平行线的性质即可得出答案；
（2）①过作，再利用平行线的性质即可得出答案；②分在延长线上和在延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案
【详解】解：（1）如图2，过作
，
，
，
，
，，
，，
．
（2）①、，
理由：如图3，过作，
，
，
，，
；
②、．
如备用图1，当在延长线上时，；

理由：如备用图1，过作，
，
，
，，
；
如备用图2所示，当在延长线上时，；
理由：如备用图2，过P作，
，
，
，，
；
综上所述，．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过作．