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苏科版七年级下册第9章 整式乘法与因式分解9.5 多项式的因式分解课时作业
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这是一份苏科版七年级下册第9章 整式乘法与因式分解9.5 多项式的因式分解课时作业，文件包含专题08因式分解重难点题型专训40道解析版docx、专题08因式分解重难点题型专训40道原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。
专题08 因式分解重难点题型专训（40道）
【因式分解重难点题型专训】
因式分解的解题步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
特别说明：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
题型一 简单的因式分解问题
题型二 因式分解与三角形问题综合
题型三 几何背景下的因式分解问题
题型四 因式分解中的新定义问题
题型五 因式分解中的“配方法”求最值问题
题型六 因式分解中的整体代换思维
【题型一 简单的因式分解问题】
1．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先对原式变形，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
2．（2022秋·河南新乡·八年级统考期中）分解因式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，然后用完全平方公式即可求得
（2）先将完全平方公式展开，然后再用完全平方公式合并，最后用平方差公式即可
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了用提取公因式、平方差公式和完全平方公式分解因式，灵活运用恰当的方法分解因式是解决问题的关键
3．（2021春·河南郑州·八年级郑州市郑中国际学校校考期中）分解下列因式：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）直接提公因式进行分解即可；
（2）先提公因式4，再利用平方差公式因式分解即可；
（3）把当作一个整体，先利用多项式的乘法计算，再利用完全平方公式因式分解得，最后对再利用完全平方公式因式分解即可；
（4）把当作一个整体，先用十字相乘法因式分解得，再利用十字相乘法和完全平方公式分别对和进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．（2022秋·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接提取公因式即可得到答案；
（2）直接利用平方差公式即可得到答案；
（3）直接利用平方差公式即可得到答案；
（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查提取公式法因式分解及公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式与平方差公式．
5．（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提取公因式法因式分解．
（2）公式法因式分解．
（3）先提取公因式，再用平方差公式因式分解．
（4）十字相乘法因式分解．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟知提取公式法、公式法、十字相乘法．
6．（2022秋·天津东丽·八年级校考期末）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）提取公因式，再分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
（3）
．
【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，利用平方差公式与完全平方公式分解因式，掌握“因式分解的方法与步骤”是解本题的关键，易错点是分解因式不彻底．
【题型二 因式分解与三角形问题综合】
7．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解决问题】已知，求的值；
(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）将拆分成和，再根据完全平方公式配方解答；
（2）先根据阅读材料求出，的值，再根据三角形的三边关系解答．
【详解】（1），
将拆分成和，可得
，
根据完全平方公式得：
，
∴，，
∴，
（2）∵，
根据完全平方公式得：
，
，
∴，，
∴，，
∵是中最长的边，
∴，
即的取值范围．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读材料，解答问题：
我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法．
下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．
例题：（添上，再减去使多项式的值不变）
（分成两组）
（两组分别因式分解）
＝________（两组有公因式，再提公因式）
(1)请将上面的例题补充完整；
(2)仿照上述方法，因式分解：；
(3)若是三边长，满足，且c为整数，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）运用提公因式法分解即可；
（2）需要添项，，，所以添，凑成完全平方式，然后再运用平方差公式继续分解；
（3）仿照例题运用拆项分组分解法，把19拆成3和16，然后凑成两个完全平方式，再利用平方式的非负性进行计算．
【详解】（1）解：
．
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
∵是三边长，
∴，
∴．
又∵c为整数，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，需要学生必须掌握完全平方公式和平方差公式的特征，才能灵活运用到解题中去．
9．（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴
∴，而，，
∴且，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则______；______；
(2)已知的三边长、、，其中，，求的周长．
【答案】(1)；；
(2)的周长为．
【分析】（1）模仿材料将方程配成完全平方和等于0的形式，再由平方的非负性即可得到字母的值，从而得到答案．
（2）模仿材料将方程配成完全平方和等于0的形式，再由平方的非负性即可得到字母的值，最后根据三角形周长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
∵，
∴的周长为．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，因式分解的应用．掌握平方的非负性是解题关键．
10．（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期中）阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，则______， ______；
(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值；
(3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)6；
(2)
(3)，详见解析
【分析】（1）将变形为，得出，，即可得出答案；
（2）先根据，求出，，再根据三角形三边关系，得出，根据c是正整数，即可得出答案；
（3）用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
故答案为：6；．
（2）解：∵，
∴，，
解得：，，
∵a，b，c是的三边长，，
又∵c是正整数，
∴
（3）解：；理由如下：
∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，二次方的非负性，完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，准确计算．
11．（2021秋·陕西渭南·八年级统考阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法．
例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)已知a、b、c为的三条边，且满足，求的周长；
(3)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)7
(3)是等腰三角形或等边三角形，证明见解析
【分析】(1) ①将分组成为分解即可．
②将 拆项为分解即可．
(2) 分组拆项配成完全平方式的和形式，利用非负性计算即可．
(3)分解成计算即可 ．
【详解】（1）解：①
．
②
．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
（3），
∴，
∴，
∴或或且，
∴或或，
∴是等腰三角形或等边三角形．
【点睛】本题考查了新方法分解因式及其应用，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键．
12．（2022秋·山东济宁·八年级统考阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
【答案】（1）①，②，③；（2）7
【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．
【详解】解：（1）①
；
②
；
③；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．
【题型三 几何背景下的因式分解问题】
13．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分（边长分别为，的正方形、边长为和长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
(1)请用两种方法表示该正方形的面积（用含、的代数式表示）①______，②______；由此可以得到一个等量关系是______．
(2)若图中、满足，，求的值．
(3)若，求的值．
(4)请利用上面的图形分割方法进行因式分解：______（直接写出分解结果即可）．
【答案】(1)，，
(2)5
(3)
(4)
【分析】（1）该正方形的面积等于边长的平方，或两个长方形及两个小正方形的面积之和；
（2）根据，先求出，即可求出的值；
（3）根据即可求解；
（4）利用图形分割的方法画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：该正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
故答案为：，，；
（2）解：，，
，
或（舍去），
即的值为5；
（3）解：，
即，
，
，
；
（4）解：如图所示，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式和因式分解的应用，熟练运用完全平方公式，并且能够通过图形分割的方法进行因式分解是解题的关键．
14．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到．请解答下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式________；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
(3)小明同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，5张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
(4)小明同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2016
【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（2）将，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长；
（4）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式法则求得的结果，从而得到、、的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：正方形的面积，
正方形的面积各个矩形的面积之和，
所以，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，
因此；
（3）解：长方形的面积，
所以长方形的边长为和，
因为，
所以较长的一边的边长为；
（4）解：因为长方形的面积
，
所以，，，
所以．
故答案为：2016．
【点睛】本题考查多项式乘多项式的应用、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
15．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
(1)由图1和图2可以得到的等式为 （用含a，b的等式表示）；
(2)莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
(3)用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为a2＋4ab＋3b2，画出你的拼法，并根据画的图形分解因式：．
【答案】(1)或
(2)需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张
(3)图见解析，
【分析】（1）图形整体面积等于各部分面积之和．
（2）根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
（3）根据确定三种材料的张数，画出图形，写成结果即可．
【详解】（1）或．
（2）
．
∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）如图所示，
长方形的长，宽为，面积为，
即．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
16．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）【任务一】下面是慧慧同学的数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖，请你把覆盖部分补充完整．
10月20日 星期四 晴
我发现：借助拼图可以解决整式乘法及因式分解的相关问题．
如图，我有，，三种类型的卡片各若干张，
已知，是边长分别为，的正方形卡片，
是长为，宽为的长方形卡片．
我利用，，三种类型的卡片拼成如图所示的长方形，
该长方形的面积可以用多项式表示为，
还可以用整式乘积的形式表示为，
利用上述面积的不同表达方式可以得到等式．
我利用，，三种类型的卡片拼成如图所示的大长方形．
从而可以将进行因式分解为．
【任务二】善于思考的慧慧同学又编了以下两个问题，请你任选一题进行解答．
问题1：先计算，再用图形的面积解释它的正确性．
问题2：请写出一个代数恒等式，然后用图形的面积解释它的正确性．
【答案】任务一．，，；；任务二．问题1：，图见解析；问题2：，图见解析．
【分析】任务一．用多项式表示：用A的面积的2倍+B的面积的3倍+C的面积即可；用整式乘积的形式表示：用拼成的长方形的长×拼成的长方形的宽；利用上述面积的不同表达方式可以得到等式：用=连接上面的2个式子即可；
任务二．问题1，利用多项式乘多项式进行运算，再画出图形即可；
问题2，画出图形验证完全平方公式即可．
【详解】任务一．用多项式表示：，
用整式乘积的形式表示：，
利用上述面积的不同表达方式可以得到等式：；
由图可知：．
故答案为：，，；；
任务二：问题1：；
如图，
问题2：．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，利用四边形的面积建立等量关系是解题的关键．
17．（2023秋·山西朔州·八年级校考期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
①方法1：________；方法2：________；
②请写出，，三个代数式之间的等量关系：________．
(2)若，求的值．
(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：________．
【答案】(1)①，；②
(2)20
(3)图见详解，
【分析】（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；②由①中两种方法所表示的面积相等可得答案；
（2）根据非负数的定义可得，，再根据进行计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．
【详解】（1）解：①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为．宽为的长方形面积，因此有，
故答案为：，；
②由①得，
故答案为：；
（2）解：，，，
，，
即，，
，
∴的值为20；
（3）解：1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，如图所示：
所以有，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
18．（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 ；
(2)知识运用：运用你所得到的公式，计算：若，，则 ；
(3)知识延伸：已知，求的值．
(4)知识拓展：用完全平方公式和非负数的性质解决下列问题：若，求代数式：的最小值．
【答案】(1)
(2)49
(3)
(4)最小值为5
【分析】（1）由阴影部分正方形的边长为，可得其面积，结合阴影部分正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，可得公式；
（2）由，再代入数值进行计算即可；
（3）设，，可得，，再求解，，从而可得答案；
（4）由，可得，代入可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：图2的阴影正方形面积可表示为：，即，
也可表示为：，
∴．
（2）∵，，
∴
故答案为：49．
（3）设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（4）∵，
∴，
∴
；
∵，，
∴，
∴的最小值为5．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式及其变形求解代数式的值，利用完全平方公式的求解代数式的最小值，利用完全平方公式分解因式，灵活应用完全平方公式是解本题的关键．
19．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得；
（6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
（1）
解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
（2）
解：由题意，得到的几何体的体积为，
故答案为：．
（3）
解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，．
（4）
解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
（5）
解：，
，
．
（6）
解：由（4）可知，，
则
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
20．（2022春·辽宁铁岭·七年级统考期中）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．
(1)_______，__________（用含a、b的代数式分别表示）；
(2)利用（1）的结果，说明、、的等量关系：
(3)应用所得的公式计算：
(4)如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明、、三者的等量关系．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据长方形的面积计算公式及正方形的面积计算公式进行计算，即可得出结论．
（2）利用图甲与图乙的面积相等，即可得到．
（3）根据（2）得到的平方差公式将每一个因式分解并约分可得到结论．
（4）将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成大正方形，即可得到、、ab三者的等量有关系．
（1）
解：由题意可得：；，
故答案为：；；
（2）
∵图甲与图乙的面积相等，
∴、、的等量关系为：；
（3）
；
（4）
如图①所示，将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成如图②所示的正方形．
图②中大正方形的面积为：，
图②中四个小长方形的面积与中间小正方形的面积和为：，
∴
【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，运用几何图形直观理解平方差公式，解决完全平方公式的推导过程，熟练掌握相关的公式并灵活运用是解题关键．
【题型四 因式分解中的新定义问题】
21．（2021·重庆·九年级专题练习）若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们称这个四位自然数为“双子数”．将“双子数”的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数，记为“双子数”的“双11数”．
例，，，则
（1）计算3636的“双11数”__________．
（2）已知两个“双子数”、，其中，（其中，，，且、、、都为整数），若的“双11数”能被17整除，且、的“双11数”满足，令，求的值．
【答案】（1）18；（2）G（p，q）的值为51或17．
【分析】（1）直接根据“双子数”m的“双11数”的计算方法即可得出结论；
（2）先根据“双11数”F（p）能被17整除，进而判断出p为8989，求出F（q）=2（c+d），再根据F(p)+2F(q)-(4a+3b+2d+c)=0，得出d=，进而求出c，d，即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意知，
3636的“双11数”，
故答案为：18；
（2）∵“双子数”p，，
∴F（p）=2（a+b），
∵“双11数”F（p）能被17整除，
∴a+b是17的倍数，
∵1≤a＜b≤9，
∴3≤a+b＜18，
∴a+b=17，
∴a=8，b=9，
∴“双子数”p为8989，F（p）=34，
∵“双子数”q，，
∴F（q）=2（c+d），
∵F（p）+2F（q）-（4a+3b+2d+c）=0，
∴34+2×2（c+d）-（4×8+3×9+2d+c）=0，
∴3c+2d=25，
∴，
∵1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d，c、d都为整数，
∴c为奇数，1≤c＜9，
当c=1时，d=11，不符合题意，舍去，
当c=3时，d=8，
∴“双子数”q为3838，
∴，
当c=5时，d=5，不符合题意，舍去，
当c=7时，d=2，
∴“双子数”q为7272，
∴，
∴G（p，q）的值为51或17．
【点睛】本题是新定义题目，主要考查了完全平方数，整除问题，理解和运用新定义是解本题的关键．
22．（2022秋·全国·八年级专题练习）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1）；
（2）．
问题二：探究
对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系．
【答案】问题一：因式分解：（1）（2）；问题二：探究的数量关系．
【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理为即可；
（2）按完全平方公式分组，然后利用公式变形为再利用平方差公式因式分解即可；
问题二：探究∶先求，再求，由，可得，合并同类项，由，对任意有理数x、y都成立，可得即可．
【详解】解：问题一：因式分解：
（1）
=，
=
=，
=；
（2）
=
=
=
=；
问题二：探究，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，对任意有理数x、y都成立，
∴，
∴m，n的数量关系．
【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键．
23．（2022秋·重庆·九年级重庆南开中学校考阶段练习）材料一：一个三位数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上的数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”；
材料二：一个三位数，它的百位数字和十位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，规定；
例如：244，因为，其中，2是整数，所以244是“2阶比例中项数”，；
又如：321，因为，但不是整数，所以321不是一个“阶比例中项数”，．
(1)363是“___________阶比例中项数”；最大的“3阶比例中项数”为___________；
(2)若（其中，，，均为正整数，且为偶数）是一个“阶比例中项数”，且被7除余1，求出所有满足条件的N．
【答案】(1)4；993
(2)221或461
【分析】（1）根据“阶比例中项数”的含义直接作答即可；
（2）经过分析确定个位数为1，根据是“阶比例中项数”得到与的数量关系，根据被7除余1，得到另外一个与的数量关系，通过列举法确定的值．
【详解】（1）解：（1），
是“4阶比例中项数”；
若一个三位数是“3阶比例中项数”那百位和个位数字积的3倍是十位上数字的平方，
设这个三位数为，
则，且，其中，均为整数，且均在1到9之间，
为3的倍数，
可能是3，6，9，
若这个数最大，即当时，
此时，
当，时，这个三位数最大，为993．
故答案为：4；993．
（2）由题意可知，
，
，
是7的倍数，
，，，均为正整数，且为偶数，
可能是2，4，6，8，
当时，的值为1、2、4，
，
当，时，不是7的倍数，不符合题意；
当，时，是7的倍数，符合题意，此时；
当，时，不是7的倍数，不符合题意；
当时，的值为1、2、4，
，
同理，当时，均不符合题意；
当时，的值为1、2、3、4，
，
同理，当时，符合题意，此时；
当时，的值为1、2、4，
，
同理，当时，均不符合题意；
综上，符合条件的有221或461．
【点睛】本题考查因式分解的应用，能够运用题干当中的新定义是解答本题的关键，方法不唯一．
【题型五 因式分解中的“配方法”求最值问题】
24．（2021春·浙江金华·七年级校考期中）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式的最小值，．
当时，有最小值，最小值是，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：__________．
（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若，求出a，b的值．
【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．
【详解】解：（1）x2-4x-5
=（x-2）2-9
=（x-2+3）（x-2-3）
=（x+1）（x-5），
故答案为：（x+1）（x-5）；
（2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5，
∴当x=-1时，多项式-2x-4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴a-2b=0，b-1=0，
∴a=2，b=1．
【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
25．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）问题情境：我们知道形如的式子称为完全平方式．对于一些不是完全平方式的多项式，我们可做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
例如（1）分解因式．
原式；
例如（2）求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
解决问题：
(1)若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为_____________；
(2)分解因式：；
(3)求代数式的最大或最小值．
【答案】(1)25
(2)
(3)最大值45
【分析】（1）利用完全平方公式的特征求解；
（2）仿照题中的配方法求解；
（3）利用题中的配方法进行变形，再利用非负数的性质判断．
【详解】（1）∵，且是一个完全平方式，
所以的值为25，
故答案为：25．
（2）
（3）
，
当时，有最大值45
【点睛】本题考查了因式分解的应用，理解配方法及非负数的性质是解题的关键．
26．（2022秋·河南开封·八年级金明中小学校考阶段练习）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
通过对实数的学习，我们知道，根据完全平方公式：，所以完全平方公式的值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式
，且时，的值最小，为；
请根据上面的解题思路，解答下列问题：
(1)求多项式的最小值是多少，并写出对应的x的值；
(2)多项式的最大值；
(3)求多项式的最小值．
【答案】(1)当时，原多项式的最小值是
(2)的最大值为5
(3)多项式的最小值为4
【分析】（1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；
（3）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】（1）解：
，
无论取什么数，都有的值为非负数，
的最小值为0，此时，
的最小值为；
则当时，原多项式的最小值是；
（2）同（1）得：，
无论取什么数，都有的值为非负数，
的最小值为0，此时，
的最大值为：，
则当时，原多项式的最大值是5．
（3）同（1）得：，
当，时，多项式的最小值为4．
【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式．
27．（2023秋·广东·八年级校联考期末）阅读以下文字并解决问题：
【方法呈现】
形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：，∵，∴．
则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是－1．
【尝试应用】
(1)利用“配方法”因式分解：；
(2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．
【答案】(1)
(2)，．
【分析】（1）按照题目中配方法进行因式分解即可．
（2）按照题目中配方法进行因式分解并取最大值即可．
【详解】（1）
（2）
∵，
∴
则这个代数式的最小值是，
这时相应的x的值是．
【点睛】此题考查了配方法来因式分解，解题的关键是读懂题意并根据题目要求做题．
28．（2021春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）学习了乘法公式后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式因式分解；②求多项式的最小值．
①
．
②由①知：
，
因为，
所以，
所以当时，的值最小，最小值为．
请你运用上述的方法解决下列问题：
(1)将多项式因式分解．
(2)求多项式的最大值．
【答案】(1)；
(2)最大值为．
【分析】（1）加上9就可以用完全平方分解，然后再用平方差公式分解即可；
（2）先配方，再利用即可解决问题．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
因为，所以
所以
所以当时， 的值最大，最大值为．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，本题关键是利用二次项系数和一次项系数的特殊性，加上一次项系数一半的平方，可以构成完全平方公式，同时要减去加上一次项系数一半的平方，使整式的值不变．
29．（2022秋·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）先阅读下面的内容，再解决问题
例题：若 ，求m和n的值
解：∵
∴
∴
∴，
∴，
问题：
(1)若，求的值；
(2)试探究关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)存在，最小值为，，
【分析】（1）先配方，再根据非负性求出x、y，即可得到答案；
（2）先配方，再根据非负性即可求出最小值．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：原式
∵，，
∴当，，有最小值，
∴原式，
∴当，时，即当，时，代数式有最小值．
【点睛】本题考查配方及非负性应用，解题的关键是掌握非负性式子和为0，它们分别等于0．
30．（2023春·江苏·七年级专题练习）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
【答案】(1)25；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：25；
（2）解：
；
（3）解：
，
当，即时，取最小值，最小值为；
故答案为：；
（4）解：，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．
31．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读材料：利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，利用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式（利用配方法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)多项式的最小值为；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）根据题意，先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解即可得到答案；
（2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案；
（3）先将两个多项式相减，再利用平方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
，
，
当时，即时，多项式有最小值，
多项式的最小值为；
（3）解：，理由如下：
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，平方的非负性，熟练掌握两个公式及其特点是解题关键．
【题型六 因式分解法的应用】
32．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．
(3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C；
(2)；
(3)
【分析】（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；
（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可；
（3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可．
【详解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式=
故答案为：；
（3）设．
．
【点睛】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．
33．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读：把多项式分解因式得，由此对于方程可以变形为，解得或．
观察多项式的因式、，与方程的解或之间的关系．可以发现，如果、是方程的解，那么、是多项式的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．
例如：对于多项式．观察可知，当时，．则，其中为整式，即是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法：
∴．
填空：
(1)分解因式：______；
(2)观察可知，当______时，，可得______是多项式的一个因式．
分解因式：______．
(3)已知：，其中为整式，则分解因式：______．
【答案】(1)
(2)1；；
(3)
【分析】（1）通过得出方程的根，即可求解；
（2）通过对竖式除法的掌握，进行计算即可得到；
（3）通过对竖式除法的掌握，进行计算即可得到．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：当时，，可得是多项式的一个因式，通过竖式除法得：
，
故答案为：1；；．
（3）解：，
为整式，
通过竖式除法得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握通竖式除法的运算法则，进行计算即可得到．
34．（2022秋·全国·八年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：
仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用“”分法结合公式法进行因式分解；
（2）利用“”分法结合公式法进行因式分解；
（3）利用“”分法结合公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．
35．（2022秋·云南昭通·八年级校考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“A”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
(1)因式分解：．
(2)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【详解】（1）解：
＝；
（2）解：令，则原式变为，
故．
【点睛】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，能够熟练的运用整体思想及完全平方公式是解题关键．
36．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
37．（2022秋·河南鹤壁·八年级校考期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）设，则原式转化为，分解因式得，最后回代即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式．
故选：C
（2）解：设，
原式
．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式因式分解，换元法等知识，熟知完全平方公式，理解题目中示例是解题关键．
38．（2022秋·山东东营·八年级统考期中）[阅读材料]
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“A”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
[问题解决]
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A 还原即可；
（2）设 ，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
【详解】（1）解：令，
原式
；
（2）令，
则
；
（3）
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∴，
即代数式的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
39．（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
（一）例题：分解因式：．
解：将“”看成整体，设，则原式，再将“”还原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的思想方法．
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整的分解了．过程为：
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述数学思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把和分别看作一个整体后运用平方差公式进行因式分解，最后再运用提公因式法进行分解即可；
（2）原式分别把一、四项和一、三项分组后，再运用因式分解法和提公因式法进行因式分解即可．
【详解】（1）
=
=
=
（2）
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
40．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）材料：常见的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们仔细观察这个式子会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．
解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)请尝试用上面材料中的方法分解因式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提取公因式，利用完全平方公式分解因式即可；
（2）前两项用平方差公式分解，后两项提取公因式，再提取公因式即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握，是解题的关键．
专题08 因式分解重难点题型专训（40道）
【因式分解重难点题型专训】
因式分解的解题步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
特别说明：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
题型一 简单的因式分解问题
题型二 因式分解与三角形问题综合
题型三 几何背景下的因式分解问题
题型四 因式分解中的新定义问题
题型五 因式分解中的“配方法”求最值问题
题型六 因式分解中的整体代换思维
【题型一 简单的因式分解问题】
1．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先对原式变形，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
2．（2022秋·河南新乡·八年级统考期中）分解因式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，然后用完全平方公式即可求得
（2）先将完全平方公式展开，然后再用完全平方公式合并，最后用平方差公式即可
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了用提取公因式、平方差公式和完全平方公式分解因式，灵活运用恰当的方法分解因式是解决问题的关键
3．（2021春·河南郑州·八年级郑州市郑中国际学校校考期中）分解下列因式：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）直接提公因式进行分解即可；
（2）先提公因式4，再利用平方差公式因式分解即可；
（3）把当作一个整体，先利用多项式的乘法计算，再利用完全平方公式因式分解得，最后对再利用完全平方公式因式分解即可；
（4）把当作一个整体，先用十字相乘法因式分解得，再利用十字相乘法和完全平方公式分别对和进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．（2022秋·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接提取公因式即可得到答案；
（2）直接利用平方差公式即可得到答案；
（3）直接利用平方差公式即可得到答案；
（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查提取公式法因式分解及公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式与平方差公式．
5．（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提取公因式法因式分解．
（2）公式法因式分解．
（3）先提取公因式，再用平方差公式因式分解．
（4）十字相乘法因式分解．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟知提取公式法、公式法、十字相乘法．
6．（2022秋·天津东丽·八年级校考期末）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）提取公因式，再分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
（3）
．
【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，利用平方差公式与完全平方公式分解因式，掌握“因式分解的方法与步骤”是解本题的关键，易错点是分解因式不彻底．
【题型二 因式分解与三角形问题综合】
7．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解决问题】已知，求的值；
(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）将拆分成和，再根据完全平方公式配方解答；
（2）先根据阅读材料求出，的值，再根据三角形的三边关系解答．
【详解】（1），
将拆分成和，可得
，
根据完全平方公式得：
，
∴，，
∴，
（2）∵，
根据完全平方公式得：
，
，
∴，，
∴，，
∵是中最长的边，
∴，
即的取值范围．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读材料，解答问题：
我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法．
下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．
例题：（添上，再减去使多项式的值不变）
（分成两组）
（两组分别因式分解）
＝________（两组有公因式，再提公因式）
(1)请将上面的例题补充完整；
(2)仿照上述方法，因式分解：；
(3)若是三边长，满足，且c为整数，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）运用提公因式法分解即可；
（2）需要添项，，，所以添，凑成完全平方式，然后再运用平方差公式继续分解；
（3）仿照例题运用拆项分组分解法，把19拆成3和16，然后凑成两个完全平方式，再利用平方式的非负性进行计算．
【详解】（1）解：
．
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
∵是三边长，
∴，
∴．
又∵c为整数，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，需要学生必须掌握完全平方公式和平方差公式的特征，才能灵活运用到解题中去．
9．（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴
∴，而，，
∴且，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则______；______；
(2)已知的三边长、、，其中，，求的周长．
【答案】(1)；；
(2)的周长为．
【分析】（1）模仿材料将方程配成完全平方和等于0的形式，再由平方的非负性即可得到字母的值，从而得到答案．
（2）模仿材料将方程配成完全平方和等于0的形式，再由平方的非负性即可得到字母的值，最后根据三角形周长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
∵，
∴的周长为．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，因式分解的应用．掌握平方的非负性是解题关键．
10．（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期中）阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，则______， ______；
(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值；
(3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)6；
(2)
(3)，详见解析
【分析】（1）将变形为，得出，，即可得出答案；
（2）先根据，求出，，再根据三角形三边关系，得出，根据c是正整数，即可得出答案；
（3）用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
故答案为：6；．
（2）解：∵，
∴，，
解得：，，
∵a，b，c是的三边长，，
又∵c是正整数，
∴
（3）解：；理由如下：
∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，二次方的非负性，完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，准确计算．
11．（2021秋·陕西渭南·八年级统考阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法．
例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)已知a、b、c为的三条边，且满足，求的周长；
(3)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)7
(3)是等腰三角形或等边三角形，证明见解析
【分析】(1) ①将分组成为分解即可．
②将 拆项为分解即可．
(2) 分组拆项配成完全平方式的和形式，利用非负性计算即可．
(3)分解成计算即可 ．
【详解】（1）解：①
．
②
．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
（3），
∴，
∴，
∴或或且，
∴或或，
∴是等腰三角形或等边三角形．
【点睛】本题考查了新方法分解因式及其应用，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键．
12．（2022秋·山东济宁·八年级统考阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
【答案】（1）①，②，③；（2）7
【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．
【详解】解：（1）①
；
②
；
③；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．
【题型三 几何背景下的因式分解问题】
13．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分（边长分别为，的正方形、边长为和长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
(1)请用两种方法表示该正方形的面积（用含、的代数式表示）①______，②______；由此可以得到一个等量关系是______．
(2)若图中、满足，，求的值．
(3)若，求的值．
(4)请利用上面的图形分割方法进行因式分解：______（直接写出分解结果即可）．
【答案】(1)，，
(2)5
(3)
(4)
【分析】（1）该正方形的面积等于边长的平方，或两个长方形及两个小正方形的面积之和；
（2）根据，先求出，即可求出的值；
（3）根据即可求解；
（4）利用图形分割的方法画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：该正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
故答案为：，，；
（2）解：，，
，
或（舍去），
即的值为5；
（3）解：，
即，
，
，
；
（4）解：如图所示，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式和因式分解的应用，熟练运用完全平方公式，并且能够通过图形分割的方法进行因式分解是解题的关键．
14．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到．请解答下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式________；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
(3)小明同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，5张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
(4)小明同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2016
【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（2）将，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长；
（4）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式法则求得的结果，从而得到、、的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：正方形的面积，
正方形的面积各个矩形的面积之和，
所以，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，
因此；
（3）解：长方形的面积，
所以长方形的边长为和，
因为，
所以较长的一边的边长为；
（4）解：因为长方形的面积
，
所以，，，
所以．
故答案为：2016．
【点睛】本题考查多项式乘多项式的应用、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
15．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
(1)由图1和图2可以得到的等式为 （用含a，b的等式表示）；
(2)莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
(3)用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为a2＋4ab＋3b2，画出你的拼法，并根据画的图形分解因式：．
【答案】(1)或
(2)需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张
(3)图见解析，
【分析】（1）图形整体面积等于各部分面积之和．
（2）根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
（3）根据确定三种材料的张数，画出图形，写成结果即可．
【详解】（1）或．
（2）
．
∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）如图所示，
长方形的长，宽为，面积为，
即．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
16．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）【任务一】下面是慧慧同学的数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖，请你把覆盖部分补充完整．
10月20日 星期四 晴
我发现：借助拼图可以解决整式乘法及因式分解的相关问题．
如图，我有，，三种类型的卡片各若干张，
已知，是边长分别为，的正方形卡片，
是长为，宽为的长方形卡片．
我利用，，三种类型的卡片拼成如图所示的长方形，
该长方形的面积可以用多项式表示为，
还可以用整式乘积的形式表示为，
利用上述面积的不同表达方式可以得到等式．
我利用，，三种类型的卡片拼成如图所示的大长方形．
从而可以将进行因式分解为．
【任务二】善于思考的慧慧同学又编了以下两个问题，请你任选一题进行解答．
问题1：先计算，再用图形的面积解释它的正确性．
问题2：请写出一个代数恒等式，然后用图形的面积解释它的正确性．
【答案】任务一．，，；；任务二．问题1：，图见解析；问题2：，图见解析．
【分析】任务一．用多项式表示：用A的面积的2倍+B的面积的3倍+C的面积即可；用整式乘积的形式表示：用拼成的长方形的长×拼成的长方形的宽；利用上述面积的不同表达方式可以得到等式：用=连接上面的2个式子即可；
任务二．问题1，利用多项式乘多项式进行运算，再画出图形即可；
问题2，画出图形验证完全平方公式即可．
【详解】任务一．用多项式表示：，
用整式乘积的形式表示：，
利用上述面积的不同表达方式可以得到等式：；
由图可知：．
故答案为：，，；；
任务二：问题1：；
如图，
问题2：．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，利用四边形的面积建立等量关系是解题的关键．
17．（2023秋·山西朔州·八年级校考期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
①方法1：________；方法2：________；
②请写出，，三个代数式之间的等量关系：________．
(2)若，求的值．
(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：________．
【答案】(1)①，；②
(2)20
(3)图见详解，
【分析】（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；②由①中两种方法所表示的面积相等可得答案；
（2）根据非负数的定义可得，，再根据进行计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．
【详解】（1）解：①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为．宽为的长方形面积，因此有，
故答案为：，；
②由①得，
故答案为：；
（2）解：，，，
，，
即，，
，
∴的值为20；
（3）解：1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，如图所示：
所以有，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
18．（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 ；
(2)知识运用：运用你所得到的公式，计算：若，，则 ；
(3)知识延伸：已知，求的值．
(4)知识拓展：用完全平方公式和非负数的性质解决下列问题：若，求代数式：的最小值．
【答案】(1)
(2)49
(3)
(4)最小值为5
【分析】（1）由阴影部分正方形的边长为，可得其面积，结合阴影部分正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，可得公式；
（2）由，再代入数值进行计算即可；
（3）设，，可得，，再求解，，从而可得答案；
（4）由，可得，代入可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：图2的阴影正方形面积可表示为：，即，
也可表示为：，
∴．
（2）∵，，
∴
故答案为：49．
（3）设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（4）∵，
∴，
∴
；
∵，，
∴，
∴的最小值为5．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式及其变形求解代数式的值，利用完全平方公式的求解代数式的最小值，利用完全平方公式分解因式，灵活应用完全平方公式是解本题的关键．
19．（2022春·山东青岛·八年级校考期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)252
(6)
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出，再根据（4）的结论即可得；
（6）将改写成，再根据（4）的结论进行因式分解即可得．
（1）
解：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
拼图前后图形的面积不变，
，
可得一个多项式的分解因式为，
故答案为：．
（2）
解：由题意，得到的几何体的体积为，
故答案为：．
（3）
解：，
长方体②的体积为，
，
长方体③的体积为，
故答案为：，．
（4）
解：由（2）和（3）得：，
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为，
故答案为：．
（5）
解：，
，
．
（6）
解：由（4）可知，，
则
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
20．（2022春·辽宁铁岭·七年级统考期中）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．
(1)_______，__________（用含a、b的代数式分别表示）；
(2)利用（1）的结果，说明、、的等量关系：
(3)应用所得的公式计算：
(4)如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明、、三者的等量关系．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据长方形的面积计算公式及正方形的面积计算公式进行计算，即可得出结论．
（2）利用图甲与图乙的面积相等，即可得到．
（3）根据（2）得到的平方差公式将每一个因式分解并约分可得到结论．
（4）将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成大正方形，即可得到、、ab三者的等量有关系．
（1）
解：由题意可得：；，
故答案为：；；
（2）
∵图甲与图乙的面积相等，
∴、、的等量关系为：；
（3）
；
（4）
如图①所示，将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成如图②所示的正方形．
图②中大正方形的面积为：，
图②中四个小长方形的面积与中间小正方形的面积和为：，
∴
【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，运用几何图形直观理解平方差公式，解决完全平方公式的推导过程，熟练掌握相关的公式并灵活运用是解题关键．
【题型四 因式分解中的新定义问题】
21．（2021·重庆·九年级专题练习）若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们称这个四位自然数为“双子数”．将“双子数”的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数，记为“双子数”的“双11数”．
例，，，则
（1）计算3636的“双11数”__________．
（2）已知两个“双子数”、，其中，（其中，，，且、、、都为整数），若的“双11数”能被17整除，且、的“双11数”满足，令，求的值．
【答案】（1）18；（2）G（p，q）的值为51或17．
【分析】（1）直接根据“双子数”m的“双11数”的计算方法即可得出结论；
（2）先根据“双11数”F（p）能被17整除，进而判断出p为8989，求出F（q）=2（c+d），再根据F(p)+2F(q)-(4a+3b+2d+c)=0，得出d=，进而求出c，d，即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意知，
3636的“双11数”，
故答案为：18；
（2）∵“双子数”p，，
∴F（p）=2（a+b），
∵“双11数”F（p）能被17整除，
∴a+b是17的倍数，
∵1≤a＜b≤9，
∴3≤a+b＜18，
∴a+b=17，
∴a=8，b=9，
∴“双子数”p为8989，F（p）=34，
∵“双子数”q，，
∴F（q）=2（c+d），
∵F（p）+2F（q）-（4a+3b+2d+c）=0，
∴34+2×2（c+d）-（4×8+3×9+2d+c）=0，
∴3c+2d=25，
∴，
∵1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d，c、d都为整数，
∴c为奇数，1≤c＜9，
当c=1时，d=11，不符合题意，舍去，
当c=3时，d=8，
∴“双子数”q为3838，
∴，
当c=5时，d=5，不符合题意，舍去，
当c=7时，d=2，
∴“双子数”q为7272，
∴，
∴G（p，q）的值为51或17．
【点睛】本题是新定义题目，主要考查了完全平方数，整除问题，理解和运用新定义是解本题的关键．
22．（2022秋·全国·八年级专题练习）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1）；
（2）．
问题二：探究
对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系．
【答案】问题一：因式分解：（1）（2）；问题二：探究的数量关系．
【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理为即可；
（2）按完全平方公式分组，然后利用公式变形为再利用平方差公式因式分解即可；
问题二：探究∶先求，再求，由，可得，合并同类项，由，对任意有理数x、y都成立，可得即可．
【详解】解：问题一：因式分解：
（1）
=，
=
=，
=；
（2）
=
=
=
=；
问题二：探究，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，对任意有理数x、y都成立，
∴，
∴m，n的数量关系．
【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键．
23．（2022秋·重庆·九年级重庆南开中学校考阶段练习）材料一：一个三位数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上的数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”；
材料二：一个三位数，它的百位数字和十位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，规定；
例如：244，因为，其中，2是整数，所以244是“2阶比例中项数”，；
又如：321，因为，但不是整数，所以321不是一个“阶比例中项数”，．
(1)363是“___________阶比例中项数”；最大的“3阶比例中项数”为___________；
(2)若（其中，，，均为正整数，且为偶数）是一个“阶比例中项数”，且被7除余1，求出所有满足条件的N．
【答案】(1)4；993
(2)221或461
【分析】（1）根据“阶比例中项数”的含义直接作答即可；
（2）经过分析确定个位数为1，根据是“阶比例中项数”得到与的数量关系，根据被7除余1，得到另外一个与的数量关系，通过列举法确定的值．
【详解】（1）解：（1），
是“4阶比例中项数”；
若一个三位数是“3阶比例中项数”那百位和个位数字积的3倍是十位上数字的平方，
设这个三位数为，
则，且，其中，均为整数，且均在1到9之间，
为3的倍数，
可能是3，6，9，
若这个数最大，即当时，
此时，
当，时，这个三位数最大，为993．
故答案为：4；993．
（2）由题意可知，
，
，
是7的倍数，
，，，均为正整数，且为偶数，
可能是2，4，6，8，
当时，的值为1、2、4，
，
当，时，不是7的倍数，不符合题意；
当，时，是7的倍数，符合题意，此时；
当，时，不是7的倍数，不符合题意；
当时，的值为1、2、4，
，
同理，当时，均不符合题意；
当时，的值为1、2、3、4，
，
同理，当时，符合题意，此时；
当时，的值为1、2、4，
，
同理，当时，均不符合题意；
综上，符合条件的有221或461．
【点睛】本题考查因式分解的应用，能够运用题干当中的新定义是解答本题的关键，方法不唯一．
【题型五 因式分解中的“配方法”求最值问题】
24．（2021春·浙江金华·七年级校考期中）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式
求代数式的最小值，．
当时，有最小值，最小值是，
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：__________．
（2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若，求出a，b的值．
【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．
【详解】解：（1）x2-4x-5
=（x-2）2-9
=（x-2+3）（x-2-3）
=（x+1）（x-5），
故答案为：（x+1）（x-5）；
（2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5，
∴当x=-1时，多项式-2x-4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴a-2b=0，b-1=0，
∴a=2，b=1．
【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
25．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）问题情境：我们知道形如的式子称为完全平方式．对于一些不是完全平方式的多项式，我们可做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
例如（1）分解因式．
原式；
例如（2）求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
解决问题：
(1)若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为_____________；
(2)分解因式：；
(3)求代数式的最大或最小值．
【答案】(1)25
(2)
(3)最大值45
【分析】（1）利用完全平方公式的特征求解；
（2）仿照题中的配方法求解；
（3）利用题中的配方法进行变形，再利用非负数的性质判断．
【详解】（1）∵，且是一个完全平方式，
所以的值为25，
故答案为：25．
（2）
（3）
，
当时，有最大值45
【点睛】本题考查了因式分解的应用，理解配方法及非负数的性质是解题的关键．
26．（2022秋·河南开封·八年级金明中小学校考阶段练习）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
通过对实数的学习，我们知道，根据完全平方公式：，所以完全平方公式的值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式
，且时，的值最小，为；
请根据上面的解题思路，解答下列问题：
(1)求多项式的最小值是多少，并写出对应的x的值；
(2)多项式的最大值；
(3)求多项式的最小值．
【答案】(1)当时，原多项式的最小值是
(2)的最大值为5
(3)多项式的最小值为4
【分析】（1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；
（3）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】（1）解：
，
无论取什么数，都有的值为非负数，
的最小值为0，此时，
的最小值为；
则当时，原多项式的最小值是；
（2）同（1）得：，
无论取什么数，都有的值为非负数，
的最小值为0，此时，
的最大值为：，
则当时，原多项式的最大值是5．
（3）同（1）得：，
当，时，多项式的最小值为4．
【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式．
27．（2023秋·广东·八年级校联考期末）阅读以下文字并解决问题：
【方法呈现】
形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：，∵，∴．
则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是－1．
【尝试应用】
(1)利用“配方法”因式分解：；
(2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．
【答案】(1)
(2)，．
【分析】（1）按照题目中配方法进行因式分解即可．
（2）按照题目中配方法进行因式分解并取最大值即可．
【详解】（1）
（2）
∵，
∴
则这个代数式的最小值是，
这时相应的x的值是．
【点睛】此题考查了配方法来因式分解，解题的关键是读懂题意并根据题目要求做题．
28．（2021春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）学习了乘法公式后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式因式分解；②求多项式的最小值．
①
．
②由①知：
，
因为，
所以，
所以当时，的值最小，最小值为．
请你运用上述的方法解决下列问题：
(1)将多项式因式分解．
(2)求多项式的最大值．
【答案】(1)；
(2)最大值为．
【分析】（1）加上9就可以用完全平方分解，然后再用平方差公式分解即可；
（2）先配方，再利用即可解决问题．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
因为，所以
所以
所以当时， 的值最大，最大值为．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，本题关键是利用二次项系数和一次项系数的特殊性，加上一次项系数一半的平方，可以构成完全平方公式，同时要减去加上一次项系数一半的平方，使整式的值不变．
29．（2022秋·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）先阅读下面的内容，再解决问题
例题：若 ，求m和n的值
解：∵
∴
∴
∴，
∴，
问题：
(1)若，求的值；
(2)试探究关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)存在，最小值为，，
【分析】（1）先配方，再根据非负性求出x、y，即可得到答案；
（2）先配方，再根据非负性即可求出最小值．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：原式
∵，，
∴当，，有最小值，
∴原式，
∴当，时，即当，时，代数式有最小值．
【点睛】本题考查配方及非负性应用，解题的关键是掌握非负性式子和为0，它们分别等于0．
30．（2023春·江苏·七年级专题练习）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
【答案】(1)25；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：25；
（2）解：
；
（3）解：
，
当，即时，取最小值，最小值为；
故答案为：；
（4）解：，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．
31．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读材料：利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，利用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式（利用配方法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)多项式的最小值为；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）根据题意，先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解即可得到答案；
（2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案；
（3）先将两个多项式相减，再利用平方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
，
，
当时，即时，多项式有最小值，
多项式的最小值为；
（3）解：，理由如下：
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，平方的非负性，熟练掌握两个公式及其特点是解题关键．
【题型六 因式分解法的应用】
32．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．
(3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C；
(2)；
(3)
【分析】（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；
（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可；
（3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可．
【详解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式=
故答案为：；
（3）设．
．
【点睛】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．
33．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读：把多项式分解因式得，由此对于方程可以变形为，解得或．
观察多项式的因式、，与方程的解或之间的关系．可以发现，如果、是方程的解，那么、是多项式的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．
例如：对于多项式．观察可知，当时，．则，其中为整式，即是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法：
∴．
填空：
(1)分解因式：______；
(2)观察可知，当______时，，可得______是多项式的一个因式．
分解因式：______．
(3)已知：，其中为整式，则分解因式：______．
【答案】(1)
(2)1；；
(3)
【分析】（1）通过得出方程的根，即可求解；
（2）通过对竖式除法的掌握，进行计算即可得到；
（3）通过对竖式除法的掌握，进行计算即可得到．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：当时，，可得是多项式的一个因式，通过竖式除法得：
，
故答案为：1；；．
（3）解：，
为整式，
通过竖式除法得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握通竖式除法的运算法则，进行计算即可得到．
34．（2022秋·全国·八年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：
仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用“”分法结合公式法进行因式分解；
（2）利用“”分法结合公式法进行因式分解；
（3）利用“”分法结合公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．
35．（2022秋·云南昭通·八年级校考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“A”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
(1)因式分解：．
(2)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【详解】（1）解：
＝；
（2）解：令，则原式变为，
故．
【点睛】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，能够熟练的运用整体思想及完全平方公式是解题关键．
36．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
37．（2022秋·河南鹤壁·八年级校考期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）设，则原式转化为，分解因式得，最后回代即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式．
故选：C
（2）解：设，
原式
．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式因式分解，换元法等知识，熟知完全平方公式，理解题目中示例是解题关键．
38．（2022秋·山东东营·八年级统考期中）[阅读材料]
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“A”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
[问题解决]
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A 还原即可；
（2）设 ，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
【详解】（1）解：令，
原式
；
（2）令，
则
；
（3）
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∴，
即代数式的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
39．（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
（一）例题：分解因式：．
解：将“”看成整体，设，则原式，再将“”还原，得原式上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的思想方法．
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整的分解了．过程为：
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述数学思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把和分别看作一个整体后运用平方差公式进行因式分解，最后再运用提公因式法进行分解即可；
（2）原式分别把一、四项和一、三项分组后，再运用因式分解法和提公因式法进行因式分解即可．
【详解】（1）
=
=
=
（2）
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
40．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）材料：常见的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们仔细观察这个式子会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．
解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)请尝试用上面材料中的方法分解因式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提取公因式，利用完全平方公式分解因式即可；
（2）前两项用平方差公式分解，后两项提取公因式，再提取公因式即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握，是解题的关键．
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