二次根式 勾股定理 阶段性综合练习题 2022-2023学年人教版八年级数学下册 (1)

这是一份二次根式 勾股定理 阶段性综合练习题 2022-2023学年人教版八年级数学下册 (1)，共22页。试卷主要包含了下列各式一定是二次根式的是，下列式子是最简二次根式的是，下列等式正确的是，计算，下列二次根式中，与能合并的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年人教版八年级数学下册
《二次根式+勾股定理》阶段性综合练习题（附答案）
一．选择题
1．下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．若a，b为实数，且|a+1|+＝0，则（ab）2021的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
4．下列等式正确的是（　　）
A．（）2＝3 B．＝﹣3 C．＝3 D．（﹣）2＝﹣3
5．已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（　　）
A．3 B． C．2 D．4
6．计算（）2020×（）2020＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
7．已知最简二次根式与可以合并的二次根式，则a的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．下列二次根式中，与能合并的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|a+c|﹣的结果为（　　）

A．2c﹣b B．﹣b C．b D．﹣2a﹣b
10．已知a，b，c分别是△ABC的三边，则﹣的值为（　　）
A．2b B．﹣2b C．a+2c D．2c﹣2a
11．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a＝4，b＝5，c＝6
C．a＝1，b＝，c＝2 D．a＝8，b＝15，c＝17

12．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
13．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　）
A．6 B．8 C． D．
14．已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B＝90°，则（　　）
A．b2＝a2+c2 B．c2＝a2+b2 C．a2＝b2+c2 D．a+b＝c
15．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　）

A．3 B．12 C．9 D．4
16．如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（　　）米．

A．5 B．12 C．13 D．17
17．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝，则点C的坐标为（　　）

A．（，1） B．（1，1） C．（1，） D．（+1，1）
18．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，D为斜边AB的中点，Rt∠EDF在△ABC内绕点D转动，分别交边AC，BC点E，F（点E不与点A，C重合），下列说法正确的是（　　）①∠DEF＝45°；②BF2+AE2＝EF2；③CD＜EF≤CD．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
19．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2023＝（　　）

A． B． C． D．
20．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．② C．①②③ D．①③
21．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的大小为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°

22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
二．填空题
23．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
24．计算：的结果为　 　．
25．比较大小：﹣　 　﹣4．（填“＜”或“＞”符号）
26．若x，y都是实数，且，则x+3y的立方根为　 　．
27．的相反数是　 　．
28．观察下列各式：①；②＝；③，…请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　．
29．观察下列各式：＝1+，＝1+，＝1+，…请利用你所发现的规律，计算
+++…+，其结果为　 　．
30．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距　 　海里．
31．直角三角形两条边长分别为6cm、8cm，则第三边长为　 　．
32．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动　 　米．

33．一根长度为16cm的圆珠笔，放在一个长宽高分别为3cm，4cm，12cm的长方体笔筒内，则圆珠笔至少有 　 　cm露在笔筒外面．
34．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为　 　．

35．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为 　 　m．

36．如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB＝3，BC＝6，则DE的长为 　 　．

三．解答题
37．计算：+×（﹣）++（3﹣π）0
38．阅读并解答问题：
；
；
；
⋯⋯
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将的分母有理化；
（2）已知a＝，求a+b的值；
（3）计算．
39．一个矩形的长a＝+，宽b＝﹣．
（1）该矩形的面积＝　 　，周长＝　 　；
（2）求a2+b2+ab的值．
40．小莉在如图所示的矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，请你帮她求出图中空白部分的面积．

41．先化简，再求值：，其中a＝+1．
42．已知x＝+1，x的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
43．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：

反之，3﹣2∴3﹣2
∴﹣1
求：（1）； （2）；
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
44．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．

（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
45．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．

46．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得BD的长度为8米；（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？

47．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）．

48．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．

49．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？


参考答案
一．选择题
1．解：A．＝2，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B．，根据a2+1一定大于0，则一定是二次根式，故此选项符合题意；
C．无意义，故此选项不合题意；
D．，的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．
故选：B．
2．解：A．＝2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．＝2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．＝，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：根据题意，得a+1＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴（ab）2021＝（﹣1×1）2021＝﹣1．
故选：C．
4．解：A．（）2＝3，故A正确；
B.＝3，故B错误；
C.＝，故C错误；
D．（﹣）2＝3，故D错误；
故选：A．
5．解：∵一个长方形面积是，宽是，
∴它的长是：÷＝＝2．
故选：C．
6．解：原式＝[（﹣2）（+2）]2020
＝[（）2﹣22]2020
＝（3﹣4）2020
＝（﹣1）2020
＝1，
故选：C．
7．解：由题意得，2a﹣4＝2，解得a＝3．
故选：B．
8．解：A、原式＝2，不符合题意；
B、原式＝4，不符合题意；
C、原式＝3，不符合题意；
D、原式＝，符合题意．
故选：D．
9．解：由数轴得a＜b＜0＜c，|a|＞c，
∴a+c＜0，c﹣b＞0，
原式＝|a|﹣|a+c|﹣|c﹣b|
＝﹣a+（a+c）﹣（c﹣b）
＝﹣a+a+c﹣c+b
＝b．
故选：C．
10．解：∵a，b，c分别是△ABC的三边，
∴a＜b+c，a+b＞c，
∴﹣＝b+c﹣a﹣a﹣b+c＝2c﹣2a，
故选：D．
11．解：A、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，
∴a2+b2＝c2，
∴以线段a，b，c的长为三边能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝42+52＝41，c2＝62＝36，
∴a2+b2≠c2，
∴以线段a，b，c的长为三边不能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵a2+b2＝12+（）2＝4，c2＝22＝4，
∴a2+b2＝c2，
∴以线段a，b，c的长为三边能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+b2＝82+152＝289，c2＝172＝289，
∴a2+b2＝c2，
∴以线段a，b，c的长为三边能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
12．解：∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条边与原三角形的三条边对应成比例，
∴两三角形相似．
又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等，
∴得到的三角形仍是直角三角形．
故选：A．
13．解：由题意得，斜边为＝13．所以斜边上的高＝12×5÷13＝．
故选：D．
14．解：∵∠B＝90°，
∴∠B的对边b是斜边，
∴b2＝a2+c2．
故选：A．

15．解：如图，

由题意可得：AB＝4，AC＝5，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴BC2＝25﹣16＝9，
∴S＝9，
故选：C．
16．解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
故选：B．
17．解：作CD⊥x轴于点D，
则∠CDO＝90°，
∵四边形OABC是菱形，OA＝，
∴OC＝OA＝，
又∵∠AOC＝45°，
∴∠OCD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DOC＝∠OCD，
∴CD＝OD，
在Rt△OCD中，OC＝，CD2+OD2＝OC2，
∴2OD2＝OC2＝（）2＝2，
∴OD2＝1，
∴OD＝CD＝1，
则点C的坐标为（1，1），
故选：B．

18．解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，D为斜边AB的中点，
∴CD＝AD＝DB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AB⊥CD，
∵ED⊥FD，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝△CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，AE＝CF，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，AC﹣AE＝BC﹣CF，故①正确；
∴EC＝BF，
∵CF2+CE2＝EF2；
∴BF2+AE2＝EF2；故②正确；
当点E与点A重合时，EF＝AC＝CD，
当DE⊥AC时，则DF⊥BC，
∴四边形DECF是矩形，
∴EF＝CD，
∴CD≤EF＜CD，故③错误，
故选：A．
19．解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，
∴OP4＝＝，
…，
OP2023＝．
故选：D．
20．解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，
故本选项正确；
②由图可知，x﹣y＝CE＝＝2，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4××xy+4＝49，
即2xy+4＝49；
故本选项正确．
∴正确结论有①②③．
故选：C．

21．解：连接AC，

设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，
所以AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝（180°﹣∠ACB）＝45°，
故选：A．
22．解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB＝＝＝20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴AE＝BE＝AB＝10．
故选：C．

二．填空题
23．解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
24．解：原式＝3××，
＝，
＝1，
故答案为：1．
25．解：由|﹣|＝，|﹣4|＝4，
∵＝18，42＝16，即18＞16，
∴＞4；
∴﹣＜﹣4．
故答案为＜．
26．解：根据题意得，x﹣3≥0且3﹣x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以，x＝3，
y＝8，
x+3y＝3+3×8＝27，
∵33＝27，
∴x+3y的立方根为3．
故答案为：3．
27．解：的相反数是﹣（﹣3）＝3﹣，
故答案为3﹣．
28．解：从①②③三个式子中，
我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，
根号里的还是原来的分数，
即＝（n+1）．
29．解：由题意可得，
+++…+
＝1++1++1++…+1+
＝1×2020+（+++…+）
＝2020+（1﹣+…+）
＝2020+（1﹣）
＝2020+
＝2020，
故答案为：2020．
30．解：如图，
∵由图可知AC＝16×1.5＝24海里，AB＝12×1.5＝18海里，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝30．

31．解：设第三边为x
（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2解得：x＝10
（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得x＝2
所以第三边长为10或2
32．解：由题意可知梯子的长是不变的，
由云梯长10米，梯子顶端离地面6米，
可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米．
当梯子顶端离地面8米时，
梯子的底部距墙为6米，
则梯子的底部在水平面方向要向左滑动8﹣6＝2（米）．
33．解：如图，由题意知，长方体笔筒底面对角长为＝5（cm），
∴长方体笔筒的对角线长为＝13（cm），
∵圆珠笔长为16cm，
∴圆珠笔露在长方体笔筒外面的最短长度是：16﹣13＝3cm．
故答案为：3．

34．解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
又∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
故答案是：S1+S2＝S3．

35．解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图，
，
根据题意可得，A处与B处水平距离为8﹣4+1＝5，竖直距离为3+9＝12，
∴AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
故答案为13．
36．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，
∵△BDC′是由△BDC折叠得到，
∴∠DBC＝∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝6﹣x，BE＝6﹣x，
在Rt△ABE中，∵AE2+AB2＝BE2，
∴x2+32＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
则DE的长为：6﹣＝．
故答案为：．
三．解答题
37．解：原式＝﹣+|1﹣|+1
＝2﹣3+﹣1+1
＝0．
38．解：（1）＝＝﹣2；
（2）∵a＝，
∴a+b
＝+
＝﹣++
＝2；
（3）
＝﹣1++…++
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
39．解：（1）矩形的面积＝ab＝＝6﹣5＝1；
周长＝2（a+b）＝＝4．
故答案为：1；．
（2）由（1）得：a+b＝2，ab＝1，
原式＝（a+b）2﹣ab
＝
＝23．
40．解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，
∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，
∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16
＝8+16﹣12﹣16
＝（﹣12+8）cm2．
41．解：
＝[﹣]•
＝•
＝•
＝，
当a＝+1时，原式＝＝＝．
42．解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴＝＝＝+2．
43．解：（1）
＝
＝+1；
（2）
＝
＝﹣1；
（3）m+n＝a，mn＝b．
理由：∵，
∴（±）2＝a±2，
∴m+n±2＝a±2，
∴m+n＝a，mn＝b．
44．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．


45．解：（1）在Rt△MNB中，BN＝＝＝90（m），
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM＝＝＝200（m），
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，
∴AB2＝BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．
46．解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，
所以，CD＝15（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）由题意得，CM＝9，
∴DM＝6，
∴BM＝＝＝10，
∴BC﹣BM＝7，
∴他应该往回收线7米．

47．解：此车超速，
理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝100米，
∵∠APO＝60°，
∴OA＝OP＝100≈173米，
∴AB＝OA﹣OB＝73米，
∴≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，
∴此车超速．
48．（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：S阴影＝SRt△ABC﹣SRt△ACD＝×10×24﹣×8×6＝96．
49．解：（1）A城受到这次台风的影响，
理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，∠ABM＝30°，AB＝600km，则AM＝300km，
因为300＜500，所以A城要受台风影响；
（2）设BC上点D，DA＝500千米，则还有一点G，有
AG＝500千米．
因为DA＝AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD＝GM，
在Rt△ADM中，DA＝500千米，AM＝300千米，
由勾股定理得，MD＝＝400（千米），
则DG＝2DM＝800千米，
遭受台风影响的时间是：t＝800÷200＝4（小时），
答：A城遭受这次台风影响时间为4小时．