2023年海南省三亚市海棠区中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年海南省三亚市海棠区中考数学一模试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，八年级抽取的学生数学成绩统计表等内容，欢迎下载使用。
2023年海南省三亚市海棠区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．（3分）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是（　　）
A．7.245×10﹣5 B．7.245×10﹣6 C．7.245×10﹣7 D．7.245×10﹣9
3．（3分）如图，是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，该几何体从左边看到的图形是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）在数轴上表示不等式2x﹣1≤﹣5的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
6．（3分）已知一组数据：2，5，4，8，7，7，则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．5，7 B．6，7 C．7，7 D．6，5
7．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（　　）
A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1
C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后，到Rt△AED，点B经过的路径为弧BE，已知AC＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π B． C．2π D．3π
9．（3分）若反比例函数的图象经过点（3，﹣5），则该反比例函数的图象位于（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（　　）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
11．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠BOC＝120°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝（　　）

A．4 B．4 C．4 D．8
12．（3分）如图：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若四边形BCED的面积是3cm2，则△ADE的面积是（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：xy﹣4y＝　 　．
14．（3分）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝　 　．

15．（3分）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为　 　cm．

16．（3分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC、BC边的中点D、E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，…，照此规律作下去，则C2022等于 　 　．

三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）分解因式：2m3n﹣32mn．
18．（10分）有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米．求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？
19．（10分）为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．60≤x＜70，B．70≤x＜80，C．80≤x＜90，D．90≤x＜100）
下面给出部分信息：
七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89．
八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87．
七、八年级抽取的学生数学成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七
87
a
98
99.6
八
87.2
86
b
88.4
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2500人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？

20．（10分）为测量某机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D处，测得建筑物B的俯角为37°．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．
（1）无人机距离地面的飞行高度是多少千米？
（2）求该机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．（结果精确到0.01千米）

21．（15分）若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．

（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是 　 　（填“线段”或者“圆”）；
②CP'的最小值是 　 　；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 　 　．

22．（15分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，A（0，3），B（﹣1，0），将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝ax2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．


2023年海南省三亚市海棠区中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：B．
2．（3分）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，数0.000007245用科学记数法表示是（　　）
A．7.245×10﹣5 B．7.245×10﹣6 C．7.245×10﹣7 D．7.245×10﹣9
【解答】解：0.000007245m＝7.245×10﹣6m．
故选：B．
3．（3分）如图，是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，该几何体从左边看到的图形是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层中间一个小正方形．
故选：D．
4．（3分）在数轴上表示不等式2x﹣1≤﹣5的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：2x﹣1≤﹣5，
2x≤﹣4，
∴不等式的解集为：x≤﹣2，
故选：D．
5．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
【解答】解：如图，作CK∥a．

∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．

6．（3分）已知一组数据：2，5，4，8，7，7，则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．5，7 B．6，7 C．7，7 D．6，5
【解答】解：这组数据2，4，5，7，7，8中7出现2次，次数最多，
所以这组数据的众数为7，
中位数为＝6，
故选：B．
7．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（　　）
A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1
C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1
【解答】解：﹣2＝，
去分母，得3﹣2（x﹣1）＝﹣1，
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后，到Rt△AED，点B经过的路径为弧BE，已知AC＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π B． C．2π D．3π
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2×2＝4，
由题意得，△ACB≌△ADE，∠BAE＝45°，
则图中阴影部分的面积＝S△AED+S扇形EAB﹣S△ACB＝S扇形EAB＝＝2π．
故选：C．
9．（3分）若反比例函数的图象经过点（3，﹣5），则该反比例函数的图象位于（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【解答】解：∵的图象过点（3，﹣5），
∴把（3，﹣5）代入得：
k＝xy＝3×（﹣5）＝﹣15＜0，
∴函数的图象应在第二，四象限．
故选：B．
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（　　）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝15°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．
故选：C．

11．（3分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠BOC＝120°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝（　　）

A．4 B．4 C．4 D．8
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴AD＝＝＝4．
故选：C．
12．（3分）如图：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若四边形BCED的面积是3cm2，则△ADE的面积是（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
【解答】解：∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝AB，AE＝AC，
即＝＝＝，
∴△ADE∽△ABC，相似比为，
故S△ADE：S△ABC＝1：4，
即四边形BCED的面积＝S△ABC＝3cm2，
∴S△ABC＝4cm2，
∴△ADE的面积＝1cm2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：xy﹣4y＝　y（x﹣4）　．
【解答】解：xy﹣4y＝y（x﹣4），
故答案为：y（x﹣4）．
14．（3分）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝　12°　．

【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°．
故答案为：12°．
15．（3分）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为　30　cm．

【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
∴MC＝PC，ND＝PD，
∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm．
故答案为：30．
16．（3分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC、BC边的中点D、E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，…，照此规律作下去，则C2022等于 　　．

【解答】解：∵点B、E为AC、BC边的中点，EF∥AC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，，DE∥AF，
∴DE＝AD，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴；
同理求得：；
…，
∴．
故答案为：．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）分解因式：2m3n﹣32mn．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝2mn（m2﹣16）
＝2mn（m+4）（m﹣4）．
18．（10分）有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米．求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？
【解答】解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，
由题意得，，
解得：．
答：甲、乙两种车每辆一次可分别运土12和20立方米．
19．（10分）为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．60≤x＜70，B．70≤x＜80，C．80≤x＜90，D．90≤x＜100）
下面给出部分信息：
七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89．
八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87．
七、八年级抽取的学生数学成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七
87
a
98
99.6
八
87.2
86
b
88.4
（1）填空：a＝　84　，b＝　100　．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2500人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？

【解答】解：（1）由直方图可知，七年级的数学成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在C组的第二个，
∵初二的测试成绩在C组中的数据为：83，84，89，
∴中位数a＝84，
∵八年级抽取的学生数学成绩中100分的最多，
∴众数b＝100；
故答案为：84，100；
（2）根据以上数据，我认为八年级学生计算能力较好．
理由：八年级的平均数、中位数、众数均高于七年级，方差比七年级小，说明八年级学生计算能力较好．
（3）2500×＝1000（名），
答：估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有1000人．
20．（10分）为测量某机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D处，测得建筑物B的俯角为37°．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．
（1）无人机距离地面的飞行高度是多少千米？
（2）求该机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．（结果精确到0.01千米）

【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．

∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFB＝∠ABF＝90°，
在Rt△AEC中，∠C＝50°，sin∠ECA＝≈0.77，
∴AE≈0.77×2＝1.54（千米），
答：无人机距离地面的飞行高度约是1.54千米；
（2）在Rt△ACE中，CE＝AC•cos50°≈2×0.64＝1.28（千米），
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠EFB＝∠EAB＝90°，
∴四边形AEFB是矩形．
∴AE＝BF＝1.54千米，EF＝AB，
在Rt△DFB中，tan∠FDB＝，0.75＝，
解得DF≈2.1（千米），
∴EF＝CD+DF﹣CE＝6.4+2.1﹣1.28≈7.2（千米），
∴AB＝EF＝7.2（千米），
答：该机场东西两建筑物AB的距离约为7.2千米．
21．（15分）若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．

（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是 　圆　（填“线段”或者“圆”）；
②CP'的最小值是 　　；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 　4﹣2　．

【解答】解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC＝AB，
由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∴∠BAC﹣∠PAB＝∠PAP'﹣∠PAB，
∴∠PAC＝∠P'AB，
在△ABP'和△ACP中，
，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，
∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，
故答案为：圆；
②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，
∴，
当点P'在线段BC上时，CP'最小＝，
故答案为：；
（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示：

∵△APQ和△ACD是等边三角形，
∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，
∴∠DAQ＝∠CAP，
在△ADQ和△ACP中，
，
∴△ADQ≌△ACP（SAS），
∴DQ＝CP＝2，
当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；
（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'，

则PM＝PA＝2，P'M'＝P'A＝4+2＝6，
则CO′是梯形PMM'P'的中位线，
∴，
连接MM'''，
则∠MM'''M'＝90°，
∴P'M''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，
∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，
∴△MM'M'''是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22．（15分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，A（0，3），B（﹣1，0），将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝ax2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

【解答】（1）解：∵A（0，3），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1，
根据旋转的性质可得：OC＝OA＝3，
∴C（3，0），
把A（0，3）、C（3，0）分别代入解析式得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为P（1，4）；
（2）①解：设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵直线l：y＝kx﹣k+3过定点Q（1，3），抛物线的顶点坐标为P（1，4），
∴PQ＝1，
∴，
∴x2﹣x1＝4，
联立得：
x2+（k﹣2）x﹣k＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝﹣k，
∴，
∴．
②证明：过点P作PG⊥x轴，垂足为G，分别过点M，N作PG的垂线，垂足分别为E、F，

设M（x1，y1），N（x2，y2）．
∵M，N在二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上，
∴，．
∵P（1，4），
∴，
ME＝1﹣x1，，
NF＝x2﹣1，
∴，
，
由①可知：x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝﹣k，
∴x1+x2＝2+x1x2，
∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1，
∴，
∴tan∠PME＝tan∠FPN，
∴∠PME＝∠FPN，
∵∠PME+∠MPE＝90°，
∴∠FPN+∠MPE＝90°，即∠MPN＝90°，
∴无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．
③解：∵△PMN恒为直角三角形，∠MPN＝90°，
∴△PMN外接圆圆心是线段MN的中点；
设线段MN的中点（x，y），
∵x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝﹣k，，．
∴y1+y2＝﹣（+）+2（x1+x2）+6＝﹣（x1+x2）2+2x1x2+2（x1+x2）+6＝﹣（2﹣k）2﹣2k+2（2﹣k）+6＝﹣k2+6，
∴MN的中点为，
∴，
化简得：y＝﹣2x2+4x+1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4x+1．