2023年山东省泰安市泰山实验中学 九年级 第一次模拟考试数学试题(含答案)

这是一份2023年山东省泰安市泰山实验中学 九年级 第一次模拟考试数学试题(含答案)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省泰安市泰山实验中学中考数学一模试卷
一、选择题。（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）
1．（4分）实数2023的相反数是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
2．（4分）下列各式计算正确的是（　　）
A．x+x2＝x3 B．（x2）3＝x5 C．x6÷x2＝x3 D．x•x2＝x3
3．（4分）禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为（　　）
A．0.9×10﹣7米 B．9×10﹣7米 C．9×10﹣6米 D．9×107米
4．（4分）不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是（　　）

A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
5．（4分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
6．（4分）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
成绩（分）
30
25
20
15
人数（人）
2
x
y
1
若成绩的平均数为23，中位数是a，众数是b，则a﹣b的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣2.5 C．2.5 D．5
7．（4分）不等式组的非负整数解的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
11．（4分）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4.8
12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画A，E是圆A上一动点，P是BC上一动点，则PE+PD最小值是（　　）

A．2 B．2.5 C．4 D．3
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上。）
13．（4分）若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第 　 　象限．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则圆中阴影部分的面积为 　 　．

15．（4分）如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为　 　．

16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有5个结论：
①abc＞0；
②b＞a+c；
③9a+3b+c＞0；
④c＜﹣3a；
⑤a+b≥m（am+b）．
其中正确的有是 　 　．

17．（4分）如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线L：y＝x于点A，过点A1，作直线L的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线L于点A，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A5A6，…其面积分别记为S1，S2，S3，…，则 S100为 　 　．

18．（4分）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G，若，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为　 　．

三、解答题。（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。）
19．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
20．（11分）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？
21．（10分）某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称
白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格（元/瓶）
0
2
3
4
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．

22．（11分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

23．（13分）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：
（1）CG＝BH；
（2）FC2＝BF•GF；
（3）＝．

24．（14分）已知二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）求出二次函数表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时点N的坐标，并说明理由；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

25．（13分）在△ABC中，AB＝BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．
（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，当∠ABC＝90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由
（3）若|CF﹣AE|＝2，EF＝2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．


2023年山东省泰安市泰山实验中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）
1．（4分）实数2023的相反数是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【解答】解：实数2023的相反数是﹣2023，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2．（4分）下列各式计算正确的是（　　）
A．x+x2＝x3 B．（x2）3＝x5 C．x6÷x2＝x3 D．x•x2＝x3
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则及幂的乘方分别计算得出答案．
【解答】解：A、x+x2，无法计算，故此选项错误；
B、（x2）3＝x6，故此选项错误；
C、x6÷x2＝x4，故此选项错误；
D、x•x2＝x3，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除运算法则及幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（4分）禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为（　　）
A．0.9×10﹣7米 B．9×10﹣7米 C．9×10﹣6米 D．9×107米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000045×2＝9×10﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（4分）不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是（　　）

A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：是中心对称图形．
故选：B．

【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握定义是解题关键．
5．（4分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ADC＝30°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，即可得到∠2＝45°﹣30°＝15°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ADC＝30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，
∴∠2＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6．（4分）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
成绩（分）
30
25
20
15
人数（人）
2
x
y
1
若成绩的平均数为23，中位数是a，众数是b，则a﹣b的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣2.5 C．2.5 D．5
【分析】首先根据平均数求得x、y的值，然后利用中位数及众数的定义求得a和b的值，从而求得a﹣b的值即可．
【解答】解：∵平均数为23，
∴＝23，
∴25x+20y＝155，
即：5x+4y＝31，
∵x+y＝7，
∴x＝3，y＝4，
∴中位数a＝22.5，b＝20，
∴a﹣b＝2.5，
故选：C．
【点评】本题考查了众数及中位数的定义，求得x、y的值是解答本题的关键，难度不大．
7．（4分）不等式组的非负整数解的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先求出不等式组的解集，在取值范围内可以找到非负整数解．
【解答】解：，
解①得：x＞﹣2，
解②得x≤3，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
故非负整数解为0，1，2，3共4个
故选：B．
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了．
8．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（4分）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球标号为偶数的情况数，即可求出概率．
【解答】解：列表得：

1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
所有等可能的情况数有9种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，
所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为，
故选：D．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（4分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝（30+30）nmile．
答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+30）nmile．
故选：D．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
11．（4分）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4.8
【分析】先根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则利用勾股定理计算出BC＝6，再根据垂径定理得到CD＝AD＝AC＝4，然后利用勾股定理计算BD的长．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD＝AC＝4，
在Rt△CBD中，BD＝＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画A，E是圆A上一动点，P是BC上一动点，则PE+PD最小值是（　　）

A．2 B．2.5 C．4 D．3
【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；根据勾股定理求得A′D的长，即可求得PE+PD最小值．
【解答】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；

∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，
∴A′D′＝BC＝3，DD′＝2DC＝4，AE′＝1，
∴A′D＝5，
∴DE′＝5﹣1＝4
∴PE+PD＝PE′+PD＝DE′＝4，
故选：C．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是本题的关键．
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上。）
13．（4分）若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第 　四　象限．
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，﹣a﹣3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴，
解得：a＞﹣1且a≠0．
∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0，
∴点P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则圆中阴影部分的面积为 　2π﹣2　．

【分析】连接AB，根据∠AOB＝90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA＝∠C＝30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影＝S半圆﹣S△ABO即可得出结论．
【解答】解：连接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，
∵OB＝2，
∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝2×＝2，AB＝AO÷sin30°＝4，即圆的半径为2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO＝﹣×2×2＝2π﹣2．
故答案为：2π﹣2．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15．（4分）如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为　　．

【分析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF＝＝＝2，
∵OH∥AE，
∴＝＝，
∴OH＝AE＝，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴＝＝，
∴AN＝AF＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．
16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有5个结论：
①abc＞0；
②b＞a+c；
③9a+3b+c＞0；
④c＜﹣3a；
⑤a+b≥m（am+b）．
其中正确的有是 　②④⑤　．

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可判断a，b，c符号及a与b的关系，根据图象可得x＝﹣1时y＜0，由抛物线对称性可得x＝3时y＜0，由图象可得x＝1时，y＝a+b+c为最大值．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
由图象可得，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，②正确．
∵抛物线对称轴为直线x＝1，x＝﹣1时y＜0，
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，
∴③错误．
∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，④正确．
由图象可得x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴a+b≥m（am+b），⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
17．（4分）如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线L：y＝x于点A，过点A1，作直线L的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线L于点A，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A5A6，…其面积分别记为S1，S2，S3，…，则 S100为 　3×2395　．

【分析】本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn＝2n，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S100．
【解答】解：∵点A0的坐标是（0，1），
∴OA0＝1，
∵点A1在直线y＝x上，
∴OA1＝2，A0A1＝，
∴OA2＝4，
∴OA3＝8，
∴OA4＝16，
得出OAn＝2n，
∴AnAn+1＝2n•，
∴OA198＝2198，A198A199＝2198•，
∵S1＝（4﹣1）•＝，
∵A2A1∥A200A199，
∴△A0A1A2∽△A198A199A200，
∴＝（）2，
∴S100＝2396•＝3×2395
故答案为3×2395．
【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
18．（4分）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G，若，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为　﹣　．

【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG＝OM＝CM＝OG＝，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN＝2GP，即可得出答案．
【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：

则CP＝DP＝CD＝，△GCP为直角三角形，
∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，
∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，
∴OG＝GH•sin60°＝2×＝，
由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，
∴PG＝＝＝，
∵OG∥CM，
∴∠MOG+∠OMC＝180°，
∴∠MCG+∠OMC＝180°，
∴OM∥CG，
∴四边形OGCM为平行四边形，
∵OM＝CM，
∴四边形OGCM为菱形，
∴CM＝OG＝，
根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，
∴DN+CM＝2PG＝，
∴DN＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，梯形中位线定理，三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．
三、解答题。（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。）
19．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（11分）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到m关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元，
根据题意，得：，
解得，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
（2）设每天的定价增加了a个20元，则有2a个房间空闲，
根据题意有：m＝（20﹣2a）（200+20a﹣80）＝﹣40a2+160a+2400＝﹣40（a﹣2）2+2560，
∵﹣40＜0，
∴当a＝2时，m取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为200+2×20＝240元．
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2560元．
【点评】本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
21．（10分）某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称
白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格（元/瓶）
0
2
3
4
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．

【分析】（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）这个班级的学生人数为：15÷30%＝50（人），
选择C饮品的人数为50﹣（10+15+5）＝20（人），
补全图形如下：


（2）＝2.2（元），
答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；

（3）画树状图如下：

由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，
所以恰好抽到2名班长的概率为
＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（11分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b﹣＞0中x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）根据题意，结合图象确定出x的范围即可；
（3）将△AOB的面积转化为S△AON﹣S△BON的面积即可．
【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数y＝上，
∴＝4，解得m＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
又∵点B也在反比例函数y＝上，
∴＝n，解得n＝2，
∴点B的坐标为（2，2），
又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6．
（2）根据图象得：kx+b﹣＞0时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜2；
（3）∵直线y＝﹣2x+6与x轴的交点为N，
∴点N的坐标为（3，0），
S△AOB＝S△AON﹣S△BON＝×3×4﹣×3×2＝3．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23．（13分）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：
（1）CG＝BH；
（2）FC2＝BF•GF；
（3）＝．

【分析】（1）由互余关系得出∠BAH＝∠CBG，而∠AHB＝∠BGC＝90°，AB＝BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论；
（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论；
（3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△BCG∽△BFC，利用相似比得出BC2＝BG•BF，即AB2＝BG•BF，结合（2）的结论求比．
【解答】证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG＝90°，∠CBG+∠BCG＝90°，
∠BAH+∠ABH＝90°，
∴∠BAH＝∠CBG，∠ABH＝∠BCG，
AB＝BC，
∴△ABH≌△BCG，
∴CG＝BH；

（2）∵∠BFC＝∠CFG，∠BCF＝∠CGF＝90°，
∴△CFG∽△BFC，
∴＝，
即FC2＝BF•GF；

（3）同（2）可知，BC2＝BG•BF，
∵AB＝BC，
∴AB2＝BG•BF，
∴＝＝，
即＝．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由垂足得出互余关系求角相等，由边相等证明三角形全等，由角相等证明相似三角形，利用性质解题．
24．（14分）已知二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）求出二次函数表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时点N的坐标，并说明理由；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2＝20，AC2＝80，BC＝10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形；
（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD＝（n+2），构建二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
解得：．
∴抛物线表达式：y＝﹣x2+x+4；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x1＝8，x2＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中：AB2＝BO2+AO2＝22+42＝20，
在Rt△AOC中：AC2＝AO2+CO2＝42+82＝80，
又∵BC＝OB+OC＝2+8＝10，
∴BC2＝100，
∴在△ABC中：AB2+AC2＝20+80＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC＝＝4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0），
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为：
（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）；
（4）如图，
AB＝＝2，BC＝8﹣（﹣2）＝10，AC＝＝4，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB，
∵AC∥MN，
∴MN⊥AB，
设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，
∵MN∥AC，
△BMN∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
BM＝＝，
MN＝＝，
AM＝AB﹣BM＝2﹣＝，
∵S△AMN＝AM•MN
＝××
＝﹣（n﹣3）2+5，
当n＝3时，△AMN面积最大是5，
∴N点坐标为（3，0）．
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．

【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．
25．（13分）在△ABC中，AB＝BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．
（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，当∠ABC＝90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由
（3）若|CF﹣AE|＝2，EF＝2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K．首先证明△AOE≌△COK，推出OE＝OK即可解决问题；
（2）如图2中，延长EO交CF于K．由△ABE≌△BCF，推出BE＝CF，AE＝BF，由△AOE≌△COK，推出AE＝CK，OE＝OK，推出FK＝EF，可得△EFK是等腰直角三角形，延长即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，延长EO交CF于K．

∵AE⊥BE，CF⊥BE，
∴AE∥CK，
∴∠EAO＝∠KCO，
∵OA＝OC，∠AOE＝∠COK，
∴△AOE≌△COK，
∴OE＝OK，
∵△EFK是直角三角形，
∴OF＝EK＝OE．

（2）如图2中，延长EO交CF于K．

∵∠ABC＝∠AEB＝∠CFB＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△AOE≌△COK，
∴AE＝CK，OE＝OK，
∴FK＝EF，
∴△EFK是等腰直角三角形，
∴OF⊥EK，OF＝OE．

（3）如图3中，延长EO交CF于K．作PH⊥OF于H．

∵|CF﹣AE|＝2，EF＝2，AE＝CK，
∴FK＝2，
在Rt△EFK中，tan∠FEK＝，
∴∠FEK＝30°，∠EKF＝60°，
∴EK＝2FK＝4，OF＝EK＝2，
∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF＝FP＝2，
在Rt△PHF中，PH＝PF＝1，HF＝，OH＝2﹣，
∴OP＝＝﹣

如图4中，当点P在线段OC上时，作PG⊥OF于G．

同法可得：HE＝2，OH＝OF，EF＝2，
∴tan∠HFE＝，
∴∠HFE＝30°，
∴FH＝2HE＝4，
∵OH＝OF，
∴OH＝OF＝OE＝2，
∵△OPF的等腰三角形，
∴PO＝PF，
∵PG⊥OF，
∴OG＝GF＝1，
∴OP＝＝
综上所述，OP的长为﹣或．
【点评】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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