【全套】中考数学复习专题（知识梳理+含答案）预测 07 锐角三角函数实际应用

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 预测07 锐角三角函数实际应用

锐角三角函数实际应用是全国中考的热点内容！锐角三角函数实际应用就是把实际问题转化为解直角三角形问题。
1．从考点频率看，锐角三角函数实际应用是高频考点，通常利用正弦、余弦、正切的定义和特殊角的三角函数值来解决问题。
2．从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右！

特殊角的三角函数值
三角函数
定义
30°
45°
60°

sin





cos





tan






仰角和俯角的定义

坡比的定义


坡比==tanα

1．（2019年新疆中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；
（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

【答案】（1）海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．
【解析】（1）作PC⊥AB于C，如图所示：

则∠PCA=∠PCB=90°，
由题意得：PA=80，∠APC=45°，∠BPC=90°-30°=60°，
∴△APC是等腰直角三角形，∠B=30°，
∴AC=PC=PA=40．
答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；
（2）海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：
∵∠PCB=90°，∠B=30°，∴BC=PC=40，
∴AB=AC+BC=40+40，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间=≈5.15（小时）＞5小时，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．
【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
2．（2019年河南中考）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）

【答案】炎帝塑像DE的高度约为51m．
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1（m），
∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），
在Rt△BCD中，tan60°==，
∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7（m），
∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
3．（2019年甘肃中考）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）

【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，

∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴∠C=∠ABD，AC=BD，
∵∠C=65°，AC=900，
∴∠ABD=65°，BD=900，
∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，
∵381÷3=127，120＜127＜150，
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，
∵815÷3≈272，260＜272＜300，
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
4．（2019年天津中考）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．

【答案】这座灯塔的高度CD约为45m．
【解析】在Rt△CAD中，tan∠CAD=，
则AD=≈CD，
在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD，
∵AD=AB+BD，∴CD=CD+30，解得CD=45，
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用–仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．[来源:学科网]
5．（2019年海南中考）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：∠BAC=__________度，∠C=__________度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．

【答案】（1）30，45；（2）观测站B到AC的距离BP为（5–5）海里．
【解析】（1）由题意得：∠BAC=90°–60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°–∠BAC–∠ABC=45°；故答案为：30，45；
（2）∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，∴BP+BP=10，解得BP=5–5．
答：观测站B到AC的距离BP为（5–5）海里．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用–方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．


1．（2019年四川省成都市中考一模数学试题）某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈）

【答案】不满足安全要求,理由见解析．
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，由∠ACB=90°，AC=15m，∠ABC=45°可求得BC=15m；在Rt△EGD中，由∠EGD=90°，EG=15m，∠EFG=37°，可解得GF=20m；通过已知条件可证得四边形EACG是矩形，从而可得GC=AE=2m；这样可解得：DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2