【全套】中考数学复习专题（知识梳理+含答案）预测03 四边形综合

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   预测03  四边形综合四边形综合题是全国中考常考题型。好多学生因特殊四边形的定理弄混淆而失分。1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合会二选一，四边形综合题以考查特殊四边形性质和判定为主。[来源:Z+xx+k.Com]2．从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右！ 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等菱形对边平行，四边相等对角相等对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角正方形对边平行，四边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分、相等，每一条对角线平分一组对角 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定     图形判定平行四边形1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。  5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 矩形1：有三个角是直角的四边形是矩形2：有一个角是直角的平行四边形是矩形3：对角线相等的平行四边形是矩形。菱形1：四边都相等的四边形是菱形。2：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形1：有一组邻边相等的矩形是正方形2：有一个角是直角的菱形是正方形3：对角线互相垂直的矩形是正方形4：对角线相等的菱形是正方形  1．（2019年福建省中考）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE. 求证：AF=CE. 2．（2019年湖南省长沙市中考）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长． 3．（2019年山东省日照市中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．     4．（2019年安徽省中考）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值        5．（2019年湖南省娄底市中考）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动，且满足，．(1)求证：△AEH≌△CGF；(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．      6.（2019年浙江省杭州市中考）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且. ⑴求线段CE的长；⑵若点H为BC边的中点，连结HD，求证：.     1．（2019年宝塔6月份密卷）如图，在▱ABCD中，E、F为边BC上两点，BF=CE，AE=DF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）求证：四边形ABCD是矩形．       2．（2020年广东省初中学业水平考试数学模拟试题） 如图，△ABC为等边三角形，E为AC上一点，连接BE，将△BEC旋转，使点C落在BC上的点D处，点B落在BC上方的点F处，点E落在点C处，连接AF.求证：四边形ABDF为平行四边形.      3．（2020年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试题）.已知，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕为EF．[来源:学科网]（1）如图1，求证：BE＝GF；（2）如图2，连接CF、DG，若CE＝2BE，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形都为等腰三角形       4.（2019年广东省潮州市中考数学5月份模拟试卷）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC=5，BD=8，求四边形ABED的周长．    5．（2019年浙江温州外国语模拟）如图，四边形是矩形，点是边上一个动点，点，，是，，的中点．（1）求证：；（2）若四边形是正方形，求的值．    6．（河南省漯河市临颍县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，矩形中，.为边上一动点(不与重合)，过点作交直线于.(1)求证：△ABP∽PCE；(2)当为中点时，恰好为的中点，求的值.     7．（广东省惠来县2019届九年级初中毕业班调研考试数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD中点的直线交AD、BC边于F、E．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，写出EF与BD的关系．（3）若∠A=60°，AB=4，BC=6，四边形BEDF是矩形，求该矩形的面积．       8.（2019年汕头市澄海区中考数学一模试卷）如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连接CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE=BD，求∠EDF的度数．   9.（2020年湖北省枣阳市太平一中中考数学模拟题）如图1，AD∥BC，AB ⊥BC于B，∠DCB=75°，以CD为边的等边△DCE的另一顶点E在线段AB上．(1)填空：∠ADE=____°；(2)求证：  AB=BC;(3)如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，求的值．                  【参考答案与解析】【真题回顾】1.【答案】证明见解析【解析】【分析】由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．2.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，得出AE=DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出∠EBA=∠FAD，得出∠GAE+∠AEG=90°，因此∠AGE=90°，由勾股定理得出BE=，在Rt△ABE中，由三角形面积即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，∵，，，（2）由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA=∠FAD，∴∠GAE+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∵AB=4，DE=1，∴AE=3，，在中，，[来源:Zxxk.Com]3.【答案】（1）详见解析；（2）AE＝5．【解析】【分析】（1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形EHFG是平行四边形；（2）由题意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长．【详解】证明：（1）∵对角线AC的中点为O∴AO＝CO，且AG＝CH∴GO＝HO∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA∴△COF≌△AOE（ASA）∴FO＝EO，且GO＝HO∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE∵∠α＝90°，∴EF⊥AC，且AO＝CO∴EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，∴AE2＝（9﹣AE）2+9，∴AE＝54.【答案】（1）证明略；（2）=2【解析】分析】（1）已知AD=BC，可以通过证明，来证明△BCE≌△ADF（ASA）；（2）连接EF，易证四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，则，即可得=2.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，又，，，，同理可得：，在和中，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）解：连接EF，∵△BCE≌△ADF，，又，∴四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，∴，∴，设点E到AB的距离为h1，到CD的距离为h2，线段AB到CD的距离为h，则h= h1+ h2,∴，即=2.【点睛】本题考查了三角形全等判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相关面积计算，熟练掌握所学性质定理并能灵活运用进行推理计算是解题的关键.5．【答案】(1)证明见解析；(2)四边形EFGH是平行四边形，理由见解析；(3)四边形EFGH的周长一半大于或者等于矩形ABCD一条对角线长度，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF，同理可得FE=HG，即可得四边形EFGH是平行四边形；
（3）由 轴对称--最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴．∴在与中，， ∴△AEH≌△CGF(SAS)；(2)∵由(1)知，△AEH≌△CGF(SAS)，则，同理证得△EBF≌△GDH（SAS），则，∴四边形EFGH是平行四边形；(3) 四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．
 连接AC，
∵CG′=CG=AE，AB∥CG′，
∴四边形AEG′C为平行四边形，
∴EG′=AC．
在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC，
∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．6.【答案】（1）CE=；（2）见解析.【解析】【分析】根据正方形的性质，（1）先设CE=x（0<x<1），则DE=1－x，由S1=S2，列等式即可得到答案. （2）根据勾股定理得到HD，再由H，C，G在同一直线上，得证HD=HG.【详解】根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.（1）设CE=x（0<x<1），则DE=1－x，因为S1=S2，所以x2=1－x，解得x=（负根舍去），即CE=（2）因为点H为BC边的中点，所以CH=，所以HD=，因为CG=CE=，点H，C，G在同一直线上，所以HG=HC+CG=＋=，所以HD=HG【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理和一元二次函数，解题的关键是根据题意列出一元二次函数.【名校预测】1．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵BF=CE，∴BF﹣EF=CE﹣EF，∴BE=CF．在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠B=∠C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C=180°．∴∠B=∠C=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．2．【答案】证明见解析【解析】试题分析：由旋转的性质可知FD=AB，∠EDC=∠ABC.从而可得AB//DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABDF为平行四边形试题解析：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=600.∵△FCD由△BEC旋转得到的，∴CD=CE,DF=BC.∴AB=DF ∴△CDE是等边三角形.∴∠EDC=600.∴∠EDC=∠ABC.∴DF∥AB.∴四边形ABDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.3．【答案】（1）见解析；（2）△CEF，△AGD，△FGD，△DGC，△AEF是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据题意，通过证明△ABE≌△AGF即可得到；（2）根据题意将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，通过等腰三角形的判定及性质即可得到是等腰三角形.【详解】（1）证明∵矩形ABCD∴由折叠可知：∴∴，且∴△ABE≌△AGF(ASA)∴；（2）证明：∵将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处∴∴是等腰三角形∵∴∴∴∴是等腰三角形∵∴，且∴∴∵△ABE≌△AGF∴∴∴∴∴∴是等腰三角形综上所述：是等腰三角形．4．【解析】（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AD=AB，∵BA=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA=BC，∴四边形ABCD是菱形．（2）∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90°，∵CB=CD，∴∠DBC=∠BDC，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE=BC，∴BE=2BC=10，∵BD=8，∴DE==6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=5，∴四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=26．5．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】分析】（1）由三角形中位线定理可得DM＝EM＝FN，MF＝EN＝CN，DF＝CF，由“SSS”可证△DMF≌△FNC； （2）由正方形的性质可得EN＝NF＝EM＝MF，NE⊥EM，可得DE＝EC，可得∠EDC=∠ECD=45°，可证AD＝AE，BC＝BE，即可求AD：AB的值．【详解】证明：（1）∵点F，M，N分别是DC，DE，CE的中点． ∴DM＝EM＝FN，MF＝EN＝CN，DF＝CF ∴△DMF≌△FNC（SSS）（2）∵四边形MENF是正方形．∴EN＝NF＝EM＝MF，NE⊥EM， ∴DE＝EC ∴∠EDC＝∠ECD＝45°， ∵AB∥CD ∴∠AED＝∠EDC＝45°，∠BEC＝∠ECD＝45° ∴∠A＝∠B＝90° ∴∠AED＝∠ADE＝45°，∠BEC＝∠BCE＝45° ∴AD＝AE，BC＝BE， ∴AB＝AE+BE＝2AD ∴AD：AB=1：2．6．【答案】(1)见解析；(2) 的值为.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据余角的性质可得，进而可得结论；（2）根据题意可得BP、CP、CE的值，然后根据（1）中相似三角形的性质可得关于m的方程，解方程即得结果.【详解】解：（1）证明：四边形是矩形，，，，，，∴∽；(2)为中点，为的中点，且，，，，∵∽，，即，解得：，即的值为.7．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD中点，∴BC∥AD，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，又∵∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形．（2）当四边形BEDF是菱形时，根据菱形的性质可得：EF与BD互相垂直平分．（3）∵四边形BEDF是矩形，∴∠AFB=90°，又∵∠A=60°，∴∠ABF=30°，∴AF=AB=×4=2，∴Rt△ABF中，BF=2，又∵AD=BC=6，∴DF=6-2=4，∴矩形BEDF的面积=BF×DF=2×4=8．8．【解析】（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC=DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD=90°，∴四边形BCGD是矩形．（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP=BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴，∴AE=BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE=AE=BE，∵AE=BD，∴DE=BD=BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB=∠DBE=60°，∵AB∥DC，∴∠DBC=∠DBE=60°，∴∠EDF=120°．9.【答案】（1）45;（2）证明见解析（3）1．【解析】【详解】解：（1）∵∠DCB=75°，AD∥BC，∴∠ADC=105°∵△DCE为等边三角形，∴∠EDC=60°，∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=45°．（2）证明：连接AC由（1）知∠ADE =45º，∵AB⊥BC，AD∥BC，∴∠DAB=90º ，∴∠AED=45º，∴AD=AE，∴点A在线段DE的垂直平分线上，∵△DCE为等边三角形，[来源:学科网]∴CD=CE，∴点C也在线段DE的垂直平分线上 ，                        ∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE，∴AC平分∠EAD，∴∠BAC=45°，∴△ABC是等腰直角三角形∴BA=BC（3）解：连接AF，延长BF交AD的延长线于点G∵∠FBC=30º，∠ABC=90º，∴∠ABF=60º，∵∠DCB=75º，∴∠BFC=75º，故BC=BF，由(2)知：BA=BC，[来源:学。科。网]∴BA=BF，∴△ABF是等边三角形，∴AB=BF=FA，∴∠BAC=60 º，∴∠DAF=30º，又∵AD∥BC，∴∠FAG=∠G=30º，∴FG =FA= FB，又∠DFG=∠CFB，∴△BCF≌△GDF（ASA）， ∴DF=CF，∴=1．