初中数学第四章 因式分解1 因式分解教案

4.1因式分解

【导读】

本节是北师大版八年级下册第四章《因式分解》的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想、分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。学习过程分为三个任务驱动，凸显任务与目标的对应，同时强化学以致用，实现教、学、评的一致性.

【课题与课时】

课题:　北京师范大学出版社版数学教材八年级下册第四章第1节(1 课时)。

课时： 1课时

【课标要求】

了解因式分解的意义，理解因式分解的概念，认识因式分解与整式乘法的互逆关系

【学习目标】

1.理解因式分解的概念，能判断一个式子的变形是否为因式分解.

2.在具体情境中，认识因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系解决实际问题．

3. 在学习过程中，培养学生类比的数学思想和逆向运算的能力，逐步形成独立思考，主动探索的习惯.

【设计分析】

【评价任务】

1.完成任务一 4、5、（检测目标 1）

2.完成任务二 4、5（检测目标 2）

3.完成任务三 3（检测目标 3）

学习提示：阅读评价任务，明确本节内容有几个任务需要完成，每个任务要怎样完成，完成以后的检测评价内容是什么，同时明确针对目标的评价标准，有效引导自己学习.

【资源与建议】

1.学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础。

2.学生活动经验基础：学生在小学已经经历过因数分解，在七年级上册学过整式的乘法，用拼图的方法探究了整式乘法公式和勾股定理，这都为今天因式分解的学习奠定了很好的基础。

学习提示：在开始本节课学习之前，先认真阅读以上资源与建议，明确这节课内容的出处、知识的前后联系、学习的路径、学习的重难点及突破的途径，为顺利完成以下学习内容作好准备.

【学习过程】

　学前准备：

1、  单项式    和    多项式    统称为整式，

整式乘法有：单项式与单项式相乘 、  单项式与多项式相乘、  多项式与多项式相乘  。

2.下题简便运算怎样进行

问题1：736×95+736×5          2. -2.67× 132+25×2.67+7×2.67

解：原式=736×（95+5）       解：原式=2.76×（-132+25+7）

=736×100                     =2.76×（-100）

=73600                        =-276

2、阅读教材第 92-93 页。

任务一：因式分解的概念（指向目标 1）

1.复习引入

（1） 993-99能被100整除吗？ 你是怎样做的？

方法总结：解决问题的方法是把这个数化成  几个数的积     

（2）（a+b）(a-b)=  a2-b2  ,(a+b)(a+b)=    a2+2ab+b2     

（3） a2-b2=   （a+b）(a-b)      , a2+2ab+b2=   (a+b)2      

在2中，从左到右的变形是整式乘法，它是把几个整式的乘积化成了一个多项式的形式，那么3的变形是什么呢？

2、观察猜想

想一想：上述两个等式的共同特征是什么？

3、归纳总结

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式因式分解，也称之为分解因式。

4、练一练：（检测目标 1）

下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是？请说明理由．

（1）24x2y=4x•6xy；         （2）（x+5）（x-5）=x2-25；

（3）x2+2x-3=（x+3）（x-1）；（4）9x2-6x+1=3x（3x-2）+1；

（5）x2+1=x（x+）

解：（1）因式分解是针对多项式来说的，故（1）不是因式分解；

（2）右边不是整式积的形式，不是因式分解；

（3）是因式分解；

（4）右边不是整式积的形式，不是因式分解；

（5）右边不是整式积的形式，不是因式分解；

则（1）（2）（4）（5）不是因式分解，（3）是因式分解．

5、（2022•济宁中考）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（C ）

（检测目标 1）

A．x2-x-1=x（x-1）-1 B．x2-1=（x-1）2

C．x2-x-6=（x-3）（x+2） D．x（x-1）=x2-x

(评价最高标准：第4题答案正确每题+4分，第5题答案正确+10分 最高30分)

学习提示：认真思考因式分解的概念，锻炼自己的对定义的理解能力.通过评价任务熟悉因式分解的概念，达到22分以上说明目标1达成）

任务二：整式乘法与因式分解的关系（指向目标 2）

1.计算下列各式：

（1）3x(x-1)=   3x2-3x   ；   （2）m(a+b-1)=  ma+mb-m  ；

（3）（m+4）(m-4)=  m2-16  ；（4）（y-3）2=  y2-6y+9   ；

2.根据上面的算式填空：

（1）3x2-3x=   3x(x-1)    ；（2）ma+mb-m=  m(a+b-1)    ; 

（3）m2-16=  （m+4）(m-4)     ；（4）y2-6y+9=   （y-3）2    ．

3.思考：因式分解与整式乘法的关系是       互逆关系      

4.连一连：看谁连的准（检测目标 2）

x2-y2                   (x+3)2

9-25x 2                 y(x-y)

+6x+9                (3-5x)(3+5 x)

xy-y2                   (x+y)(x-y)

5、把下列各式分解因式正确的是（D  ）（检测目标 2）

A．xy2－x2y＝x（y2－xy）；        B．9xyz－6x2y2＝3xyz（3－2xy）

C．3a2x－6bx＋3x＝3x（a2－2b）；  D．xy2＋x2y＝xy（x＋y）

6.若关于x的多项式分解因式的结果为，求的值.

解：∵（3x+2）（x-1）=3x2-x-2，∴3x2-mx+n=3x2-x-2，∴m=-1，n=-2，

故答案为-1，-2．

(评价最高标准：第4题答案正确每题+5分，第5题答案正确每题+10分 最高30分)

学习提示：正确理解因式分解与整式乘法之间的互逆关系，锻炼自己逆向思维能力.通过评价任务熟悉因式分解的概念，达到25分以上说明目标2达成.

任务三：利用因式分解解决数的“整除”问题（指向目标 3）

例 39992+3999能被4000整除吗？

解：因为39992+3999=3999×（3999+1）

   =3999×4000 所以39992+3999能被4000整除。

2.练一练（检测目标 3）

（1）19992+1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？

（2）16.9×+15.1×能被4整除吗?

解：（1）19992+1999=1999（1999+1），

1999（1999+1）÷1999=1999+1，

所以19992+1999能被1999整除．

因为1999（1999+1）=1999×2000，

1999÷2000=1999，

所以19992+1999能被2000整除；

（2）16.9×+15.1×=×（16.9+15.1）=×32=4，

所以16.9×+15.1×能被4整除．

（3）20172+2017不能被下列数中的哪个数整除？（  C ）（检测目标 3）

A.2      B.2017     C.2016     D.2018

（评价最高标准：第1-3题答案正确每题+5，最高15分）（学生先独立思考,对不清楚的地方再合作交流。）

学习提示：学生在练习本上写出答案；同时教师进一步引导学生体会二者的区别与联系。

【作业与检测】

A组

1.下列各式中，从等式左边到右边的变形，属因式分解的是 ③⑥（填序号）

（检测目标 1）

①24x2y=4x•6xy            ②（x+5）（x-5）=x2-25    

③x2+2x-3=（x+3）（x-1）          ④9x2-6x+1=3x（3x-2）+1   

⑤x2+1=x（x+）           ⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）

2.若因式分解，则m的值为  -2 ．（检测目标 2）

3.判断下列各式能否被4整除，并说明每一步的依据。（检测目标 3）

①        ②

解（1）因为原式=154×（3.2+2.8-2）（乘法分配律）

  =154×4所以能被4整除。

（2）因为原式=2×（2.4-1.2+3.6）（乘法分配律）

=2×4.8=4×2.4 所以能被4整除。

B组

4.如图所示,由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a,b的小长方形拼接

一个大长方形,则利用整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式,请你写出任意一个表示因式分解的等式:　　a2+2ab=a（a+2b）. （检测目标 3）

4.若关于x的多项式x2-ax-6含有因式x-1，则实数a=-5．（检测目标 3）

5.已知关于x的二次三项式3x2 +mx-n=(x+3)(3x-5),求m,n的值。（检测目标 3）

解：∵（x+3）（3x-5）=3x2+4x-15，∴3x2+mx-n=3x2+4x-15，∴m=4，n=15

C组

6.小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2-x）．

她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．

（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2-x）；

（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？（检测目标 3）

解：（1）（x2+3x+2）（x2-x）=x4-x3+3x3-3x2+2x2-2x=x4+2x3-x2-2x；

（2）（x2+□x+2）（x2-x）=x4-x3+□x3-□x2+2x2-2x，∵这个题目的正确答案是不含三次项，

∴-1+□=0，∴□=1，∴原题中被遮住的一次项系数是1．

【学后反思】

1.谈谈你本节课有什么收获?

2.说出自己需要求助的困惑或分享自己如何学会的经验.

本课学习涉及的数学思想方法有：     类比                  .

3.小结自己在学习图形的平移中的注意事项，或需要求助的困惑与分享自己如何学会的经验：

学习提示：对本节的学习进行归纳形成知识框架，并从学习经历中反思学会了什么，存在什么问题及掌握了那些解决数学问题的方法.