专题01 幂运算的五种考法全攻略-七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题01 幂运算的五种考法全攻略【知识点梳理】同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数  积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。同底数幂的除法运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。类型一、幂公式的逆向运用例1.已知，则=__________.   例2.（__   ）2；（__    ）2；（__    ）2；   例3.已知，则的值是______．   【变式训练1】计算3n· ( )=—9n+1,则括号内应填入的式子为( )A．3n+1 B．3n+2 C．—3n+2 D．—3n+1  【变式训练2】计算：________． 【变式训练3】（1）已知，求的值．（2）已知：，求的值．（3）已知，求的值．（4）已知，求m的值．      类型二、幂运算中的方程思想例1.已知3×9m×27m＝321，求m的值．    例2.（1）已知2x＝3，2y＝5，求2x+y的值；（2）x﹣2y+1＝0，求：2x÷4y×8的值．    例3.若22•16n＝（22）9，解关于x的方程nx+4＝2．    【变式训练1】已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．    【变式训练2】（1）已知2×8x×16x＝222，求x的值；（2）已知2m＝3，2n＝4，求22m+n的值．   【变式训练3】求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．    【变式训练4】(1)已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：①求：22m+3n的值；②求：24m﹣6n的值(2)已知2×8x×16＝223，求x的值．   类型三、比较大小问题例1．比较和的大小．   例2.（1）填空：         2=64；（2）比较与的大小．   例3．设a＝255，b＝333，c＝422，则a、b、c的大小关系是（　　）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a  【变式训练1】233、418、810的大小关系是（用＞号连接）_____．   【变式训练2】若m=，n=，则m、n的大小关系正确的是（　　）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．大小关系无法确定    【变式训练3】如果，，，那么（ ）A． B． C． D．  【变式训练4】若，，则下列a，b，c的大小关系正确的（    ）A． B． C． D．   类型四、代数式表示幂运算例1.已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________．   例2.若，则用的代数式表示是（  ）A．   B．   C．    D． 例3.若，用含x 的代数式表示y，则y＝__________．  【变式训练1】若，，则用含的代数式表示为______．  【变式训练2】若，其中为整数，则与的数量关系为（    ）A． B． C． D．  【变式训练3】如果，那么用含m的代数式表示n为（    ）A． B． C． D．   【变式训练4】已知：，，．（1）求的值．（2）求的值．（3）直接写出字母、、之间的数量关系．     类型五、新定义问题例1．我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0 ，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0 ），那么h（2n）·h（2020）的结果是（   ）A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1010 D．1022k例2.规定两正数a，b之同的一种运算，记作：E(a，b)，如果ac＝b，那么E(a，b)＝c．例如23＝8，所以E(2，8)＝3。（1）填空：E(3，27)＝　   　，E＝　   　；（2）小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3n，4n)＝E(3，4)小明给出了如下的证明：设E(3n，4n)＝x，即(3n)x＝4n，即(3n，4n)＝4n，所以3x＝4，E(3，4)＝x，所以E(3n，4n)＝E(3，4)，请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E(3，4)+E(3，5)＝E(3，20)     例3.如果，则，例如：，则，．（1）根据上述规定，若= x，则x=_______；（2）记，求之间的数量关系．     【变式训练1】记为，即．譬如：，则4叫做以3为底81的对数，记为（即＝4）．（1）计算以下各对数的值：　　，　　，　　．（2）由（1）中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出、、满足的等量关系式；（3）由（2）猜想一般性的结论：　　　．（且），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想．    【变式训练2】定义：若am＝b，则Lab＝m（a＞0）．例如23＝8，则L28＝3．（1）运用以上定义，计算L525﹣L22；（2）如果L23＝x， ，求x+2y的值．    【变式训练3】在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则，的大小关系是______（填“”或“”）；解：，，且，类比阅读材料的方法，解答下列问题：（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______．A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C幂的乘方；D积的乘方（2）试比较、、的大小；      【变式训练4】如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　　，（4，16）＝　　，（2，16）＝　　．（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．