广西壮族自治区河池市金城江区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题(含详细答案)
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.如图,手机支架采用了三角形结构,这是利用三角形的( )
A.灵活性 B.全等形 C.稳定性 D.对称性
2.下列数学符号中,不是轴对称图形的是( )
A.⊥ B.> C.= D.∽
3.如图,,则与相等的角是( )
A. B. C. D.
4.下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )
A.4,4,9 B.2,6,8 C.3,4,5 D.1,2,3
5.一个多边形的内角和与外角和相等,则它是( )
A.五边形 B.四边形 C.三角形 D.不确定
6.如图,点E,点F在直线AC上,,,添加下列条件后不能判断的是( )
A. B. C. D.
7.如图,是的高,线段与线段关于对称,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图,为测量桃李湖两端AB的距离,南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C,测得∠ACB的度数,在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB,CD=CB,再测得AD的长,就是AB的长.那么判定△ABC≌△ADC的理由是( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
9.一副三角板如图叠放在一起,则的度数是( )
A. B. C. D.
10.如图,,,,则的长度为( )
A. B. C. D.
11.如图,是一个锐角,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,交射线于点D,E,若,,则的度数是( )
A. B. C. D.
12.如图,在平面直角坐标系中,是原点,与轴正半轴的夹角为60°,是坐标轴上的动点,且满足为等腰三角形,点的可能位置共有( )个.
A.5 B.6 C.7 D.8
二、填空题
13.如果一个多边形是轴对称图形,那么这个多边形可以是_____(写出一个即可).
14.如图,已知是的中线,若的面积为8,则的面积为______.
15.已知三角形的三边长分别是7、10、x,则x的取值范围是______.
16.已知:如图,,只需补充条件_______,就可以根据“”得到.
17.已知,如图,在中,,I是,的角平分线的交点,则______°.
18.如图,∠A=∠B=90°,AB=60,E,F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点,若点 E 从点 B 出发向点 A 运动,同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动,二者速度之比为 3:7,运动到某时刻同时停止,在射线 AC 上取一点 G,使△AEG 与△BEF 全等,则 AG 的长为_____.
三、解答题
19.如图,在中,,直线是边的垂直平分线,连接.
(1)若,则= ;
(2)若,,求的周长.
20.如图,,.求证:.
21.已知:如图,.
用直尺和圆规作的角平分线、中线和的高(不写作法,保留作图痕迹)
22.如图,三个顶点的坐标分别是,,.
(1)画出关于y轴对称的;
(2)在x轴上求作一点P,使的周长最小,直接写出点P的坐标,并求出的面积.
23.如图,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处,测得,他沿CB方向走了20米,到达D处,测得,你能帮助小明计算出树的高度吗?
24.如图,点C在线段AB上,AD∥EB,AC=BE,AD=BC,CF平分∠DCE.
求证:CF⊥DE于点F.
25.如图,,,垂足分别为,,,相交于点,.求证:.
26.如图,已知是等边三角形,点D是边上一点.
(1)以为边构造等边(其中点D、E在直线两侧),连接,猜想与的位置关系,并证明你的结论;
(2)若过点C作,在上取一点F,连接、,使得,试猜想的形状,直接写出你的结论.
参考答案:
1.C
【分析】根据三角形具有稳定性,即可进行解答.
【详解】解:手机支架采用了三角形结构,这是利用三角形的稳定性,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了三角形具有稳定性,解题的关键是掌握相关性质.
2.D
【分析】根据轴对称图形的定义,逐项判断即可求解.
【详解】解:A、是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B、是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C、是轴对称图形,故本选项不符合题意;
D、不是轴对称图形,故本选项符合题意;
故选:D.
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义,熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合,这样的图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴是解题的关键.
3.A
【分析】由,根据全等三角形的性质得出即可得解.
【详解】解:∵,
∴,
故选:A.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质,能熟记全等三角形的性质是解此题的关键.
4.C
【分析】根据三角形三条边的关系求解即可,三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
【详解】A. 4+4<9,故不可能是一个三角形的边长;
B. 2+6=8,故不可能是一个三角形的边长;
C. 3+4>5,故可能是一个三角形的边长;
D. 1+2=3,故不可能是一个三角形的边长;
故选C.
【点睛】题考查了三角形三条边的关系,熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.
5.B
【分析】根据多边形的外角和为,可得这个多边形的内角和也为,即可进行解答.
【详解】解:∵多边形的外角和为,
∴这个多边形的内角和也为,
设这个多边形为n边形,
,
解得:,
∴它是四边形,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和以及内角和,解题的关键是掌握多边形的外角和为,多边形的内角和为.
6.D
【分析】在与中,,,所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可.
【详解】解:∵
∴,
∴,
A、添加,由全等三角形的判定定理能判定,故本选项不符合题意;
B、添加,由全等三角形的判定定理可以判定,故本选项不符合题意;
C、添加,
∴,
由全等三角形的判定定理可以判定,故本选项不符合题意;
D、添加,可得到,无法由判定,故本选项符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:、、、、.注意:、不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
7.A
【分析】根据AD⊥BC和∠B=35°,即可求出∠DAB,根据AB、AE关于AD对称,得到AB=AE,即有∠E=∠B=35°,则根据三角形外角与内角关系有∠ACD=∠E+∠CAE=75°,进而可求出∠CAD,则∠BAC可求.
【详解】解:∵AD是△ABC的高线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°=∠ADC,
∵∠B=35°,
∴∠DAB=90°-∠B=55°,
∵AB、AE关于AD对称,
∴AB=AE,
∴∠E=∠B=35°,
∵∠CAE=40°,
∴∠ACD=∠E+∠CAE=75°,
∴∠CAD=90°-∠ACD=15°,
∴∠BAC=∠DAB+∠CAD=55°+15°=70°,
故选:A.
【点睛】本题考查了对称的性质、三角形高线的性质、三角形的外角与内角的关系以及角的和差关系等知识,根据对称得出∠E=∠B=35°是解答本题的关键.
8.A
【分析】已知条件是∠ACD=∠ACB,CD=CB,AC=AC,据此作出选择.
【详解】解:在△ADC与△ABC中,
.
∴△ADC≌△ABC(SAS).
故选:A.
【点睛】此题考查了全等三角形的应用,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS,做题时注意选择.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
9.D
【分析】根据三角形的外角定理可得,进而得出,即可得出结论.
【详解】解:如图:
∵,
∴,
∵,
∴,
故选:D.
【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理,解题的关键是掌握三角板的内角度数,以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
10.C
【分析】根据全等三角形对应边相等,可得,,再根据,即可进行解答.
【详解】解:∵,
∴,,
∴,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质,解题的关键是掌握全等三角形对应边相等.
11.B
【分析】设=x,可求∠ADE=∠AED= ,根据三角形内角和等于180°可求解.
【详解】解:设=x,
由题意知AD=AE
∴∠ADE=∠AED=
∵∠B+∠BAE+∠AED=180°
即40°+25°+x+=180°
∴x=50°
故选:B
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理,运用方程的思想使问题简单化,熟记三角形内角和定理是解题的关键.
12.B
【分析】为等腰三角形,但没有说明哪条边为腰,故分OA=OP、OA=AP、OP=AP三类讨论,确定点P的位置,在根据与轴正半轴的夹角为60°,去掉重合的点,问题得解.
【详解】解:当OA=OP时,如图,共有4个点符合条件;
当OA=AP时,如图,共有2个点符合条件;
当OP=AP时,如图,共有两个点符合条件;
其中,P1、P6、P8三个点重合,
∴符合条件的点有4+2+2-2=6个.
故选:B.
【点睛】本题考查了等腰三角形的分类思想,等边三角形的性质,根据题意分别确定符合条件的点,并根据等边三角形的性质,确定出重合的点是解题关键.
13.答案不唯一.如:正方形.
【详解】分析:根据轴对称的概念进行回答即可.
详解:如果一个多边形是轴对称图形,那么这个多边形可以是:答案不唯一.如:正方形.
故答案为答案不唯一.如:正方形.
点睛:此题主要考查了轴对称图形,关键是掌握轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
14.4
【分析】根据三角形中线的性质,进行解答即可.
【详解】解:∵是的中线,的面积为8,
∴,
故答案为:4.
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质,解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分.
15.
【分析】根据三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边可得答案.
【详解】解:根据三角形的三边关系可得:,
即,
故答案为:.
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握第三边的范围是:大于已知的两边的差,而小于两边的和.
16.
【分析】已知和,需要根据“SAS”证明三角形全等,只能补充AC=BD的条件.
【详解】解:补充条件AC=BD,
在和中,
,
∴.
故答案是:AC=BD.
【点睛】本题考查全等三角形的判定,解题的关键是掌握全等三角形的判定方法.
17.130
【分析】由可知,与的平分线交于点,可求的度数,再利用三角形内角和定理求.
【详解】解:(已知),
(三角形内角和定理),
又与的平分线交于点,
,
;
故答案是:130.
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形内角和定理.解题时,注意挖掘出隐含在题干中的已知条件:三角形内角和的.
18.18或70
【分析】设BE=3t,则BF=7t,使△AEG与△BEF全等,由∠A=∠B=90°可知,分两种情况:情况一:当BE=AG,BF=AE时,列方程解得t,可得AG;情况二:当BE=AE,BF=AG时,列方程解得t,可得AG.
【详解】解:设BE=3t,则BF=7t,因为∠A=∠B=90°,使△AEG与△BEF全等,可分两种情况:
情况一:当BE=AG,BF=AE时,
∵BF=AE,AB=60,
∴7t=60-3t,
解得:t=6,
∴AG=BE=3t=3×6=18;
情况二:当BE=AE,BF=AG时,
∵BE=AE,AB=60,
∴3t=60-3t,
解得:t=10,
∴AG=BF=7t=7×10=70,
综上所述,AG=18或AG=70.
故答案为:18或70.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质,利用分类讨论思想是解答此题的关键.
19.(1)20
(2)10
【分析】(1)根据直角三角形的性质求出的度数,根据线段垂直平分线的性质得到,进而得到,即可得解;
(2)根据线段垂直平分线性质得到, 利用线段的转化得到三角形的周长.
【详解】(1)解:在中,
∵,,
∴,
又∵垂直平分,
∴,
∴,
∴;
故答案为:;
(2)解:∵垂直平分,
∴,
∴.
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理,等腰三角形的性质,掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键.
20.见解析
【分析】根据判定,然后根据全等三角形的性质求解即可.
【详解】证明:在和中,
,
,
.
【点睛】本题考查三角形全等判定和性质,解题关键是掌握证明三角形全等.
21.见解析
【分析】以点A为圆心,任意长为半径画弧,交于两点,再分别以两个交点为圆心,大于两个交点的一半长度为半径画弧,相交于一点,连接点A和这个交点,并延长,交于点D,即为的角平分线;分别以点A和点C为圆心,大于为半径画弧,相交于两点,连接两个交点,与相交于点E,连接,即为的中线;延长,以点A为圆心,长为半径画弧,于延长线相交于一点,分别以这个交点和点B为圆心,大于点B到这个交点距离的一半画弧,相交于两点,连接两个交点,交延长线于点F,连接,即为的高.
【详解】解:的角平分线、中线和的高,如图所示:
.
【点睛】本题主要考查了尺规作图,解题的关键是熟练掌握尺规作图——作角平分线、确定线段中点,作垂线的方法和步骤.
22.(1)画图见解析
(2)画图见解析,,
【分析】(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点,再首尾顺次连接即可得;
(2)作点A关于x轴的对称点,再连接,与x轴的交点即为所求的点P,用长方形等面积减去周围3个小直角三角形的面积即可求出的面积.
【详解】(1)如图所示,即为所求.
(2)如图所示,点即为所求,其坐标为,
.
【点睛】本题主要考查作图−轴对称变换,解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质,并据此得出变换后的对应点.
23.树的高度为10米.
【详解】解:
∴
∴
∴
又∵
∴
∴树的高度为10米.
24.证明见解析.
【分析】根据平行线性质得出∠A=∠B,根据SAS证△ACD≌△BEC,推出DC=CE,根据等腰三角形的三线合一定理推出即可.
【详解】∵AD∥BE,∴∠A=∠B.
在△ACD和△BEC中
∵,∴△ACD≌△BEC(SAS),∴DC=CE.
∵CF平分∠DCE,∴CF⊥DE(三线合一).
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,等腰三角形的性质等知识点,关键是求出DC=CE,主要考查了学生运用定理进行推理的能力.
25.见解析
【分析】通过证明出,得到,再连接,证明,可得.
【详解】证明:,,
.
在和中,
,
,
.
连接,
在和中,
,
,
.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
26.(1)图见解析,,理由见解析
(2)为等边三角形,理由见解析
【分析】(1)以点A和点D为圆心,长为半径画弧,在右边相交于点E,连接即为所求;根据等边三角形的性质可得,则,进而得出,则,即可得出;
(2)根据题意画出图形,在上截取,使,连接,通过证明为等边三角形,进而得出,则,即可得出结论.
【详解】(1)解:如图:即为所求,,理由如下:
∵、是等边三角形,
∴,
∴,即,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
∴.
(2)为等边三角形,理由如下:
如图:在上截取,使,连接,
∵为等边三角形,
∴,,
∵,
∴,即,
∴为等边三角形,
∴,
∵,
∴,则,
∵,,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
又∵,
∴为等边三角形.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、三角形全等的判定及性质、平行线的判定及性质,解题的关键是通过标出相应的角标找出角之间的关系,通过等量代换进行求解,熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质和判定.
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