2023年山东省东营市河口区胜利第十三中学等3校一模数学试题(含答案)

这是一份2023年山东省东营市河口区胜利第十三中学等3校一模数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省东营市河口区胜利第十三中学等3校一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（    ）
A．2023 B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
3．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
4．如表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的中位数是（    ）
疫苗名称
克尔来福
阿斯利康
莫德纳
辉瑞
卫星V
有效率
79%
76%
95%
95%
92%

A．79% B．92% C．95% D．76%
5．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（    ）
A． B． C． D．
6．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（    ）

A． B． C． D．
7．用半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（   ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，为的中点，，交于点，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
9．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图像，则AB的长为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点H，连接交于点Q，下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

二、填空题
11．科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米．
12．分解因式：_______．
13．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．

14．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是___________ ．
15．如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．

16．如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________．

17．如图，在菱形 中， ，，点 P 是 上一点，点 M、N 分别是 、 上任意一点，且 ，垂足为 M，连接、，则 的最小值为_____ ．

18．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，点作 轴的垂线交于点，过点 作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去．则点的横坐标为_____ ．


三、解答题
19．计算题
(1)
(2)先化简，，再从、、2、3中选一个合适的数作为 x的值代入求值．
20．某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请根据以上图文信息回答下列问题：
(1)此次调查共抽取了多少名学生？
(2)请将此条形统计图补充完整；
(3)在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为____________；
(4)学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，与反比例函数 的图象交于点 C，连接．已知点，的面积是2．

(1)求 b、k 的值；
(2)求的面积．
(3)观察图象，直接写出关于x不等式：的解集．
22．某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）

23．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，BF平分∠ABC交CD于点F，AB＝6，过B、F两点的⊙O交BA于点G，交BC于点E，EB恰为⊙O的直径．

(1)判断CD和⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若，求⊙O的半径．
24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
(3)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点C重合，点E在对角线上．

（1）【问题发现】如图1所示，与的数量关系为__________；
（2）【类比探究】如图2所示，将正方形绕点C旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？若成立，写出推理过程，若不成立，说明理由；
（3）【拓展延伸】当时，正方形若按图1所示位置开始旋转，在正方形的旋转过程中，当点A、F、C在一条直线上时，请直接写出此时线段的长__________．

参考答案：
1．B
【分析】先化简绝对值，根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：，
2023的倒数是，
故选：B
【点睛】本题考查了绝对值的定义和倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1．
2．A
【详解】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可．
3．C
【分析】由题意得：，，利用平行线的性质可求，进而可求解．
【详解】解：如图，，，

，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
4．B
【分析】根据中位数的定义，对5种新冠疫苗的有效率从小到大（或从大到小）进行排序，取中间（第三个）的有效率即可．
【详解】解：根据中位数的定义，将5种新冠疫苗的有效率从小到大进行排序，如下：
76%，79%，92%，95%，95%
数据个数为5，奇数个，处于中间的数为第三个数，为92%
故答案为B．
【点睛】此题考查了中位数的定义，求中位数之前不要忘记对原数据进行排序是解决本题的关键．
5．B
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
6．D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
【详解】解：A、若，则，，
∴，故此选项不符合题意．
B、若，，则，故此选项不符合题意；
C、若，，则，故此选项不符合题意；
D、若，其夹角不确定是否相等，则不能判定，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
7．B
【分析】由于半圆的弧长圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为，底面半径．
【详解】解：由题意知：底面周长，
∴底面半径．
故选：B．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长．
8．B
【分析】根据E为BC的中点，可得，根据边长的比值即可计算出图阴影部分的面积与平行四边形面积的比值，由此即可求得答案.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC=AD，
∴△BOE∽△DOA，
∴
又∵为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，几何概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.
9．C
【分析】根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，根据面积公式可求得，再解直角三角形即可得解．
【详解】解：根据题意，面积最大是，此时D、C两点重合，如图所示，
在中，,
∴AD=2DE，AE=，
又，
解得，DE＞0，
∴DE cm，
，
在中，，
∴，
解得cm，
在中，，
cm．
故选择C．

【点睛】本题考查了动点问题和函数图像、勾股定理，30°直角三角形性质；解决问题的关键在于能数形结合看问题、熟练直角三角形性质，勾股定理．
10．D
【分析】根据等边三角形和正方形的性质对①进行判断，根据相似三角形对②进行判断，根据三角形的性质对③进行判断，由三角形面积公式对④进行判断.
【详解】解：∵是等边三角形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
则，故①正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
如图，过点Q作于E，

设，则，，
∴，
由知，
解得，
∴，
∵，
∴，
则，故③错误；
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查等边三角形、正方形的性质对、相似三角形、三角形的性质和三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握等边三角形、正方形的性质对、相似三角形、三角形的性质和三角形面积公式.
11．1.03×10-7
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000103=1.03×10-7．
故答案为：1.03×10-7
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
12．##
【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．
【详解】解：原式=；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
13．
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
14．
【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据勾股定理求出斜边的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∴直角三角形两直角边的长为2和4，
∴斜边的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，正确求出方程的两个根是解题的关键．
15．8
【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
【详解】解：根据题意，
在中，，，
由角平分线的性质，得，
∴的周长为：
；
故答案为：8
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
16．##
【分析】由旋转的性质可得由锐角三角函数可求从而得出由扇形面积公式即可求解．
【详解】解：

∵矩形中，

由旋转可知，
∵，
∴



∴线段AB扫过的面积
故答案为：
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键．
17．6
【分析】作，交于E，连接，，作于F，作于G，可推出的最小值是的长，在直角三角形中，求出，进一步得出结果．
【详解】解：如图：

作，交于E，连接，，作于F，作于G，
∵菱形关于对称，
∴点E和N关于对称，
∴，
∴，
∴当点P是与的交点时，最小，最小值是的长，
在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值为：6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
18．
【分析】首先根据题意，分别写出的坐标，从中找出点的坐标的规律，代入计算即可得出点的横坐标．
【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点，
∴，
把代入，得，即，
把代入，得，即，
同理可得，，
∴（为自然数），
∵，
∴的坐标为，
即．
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征及变化规律，解本题的关键在根据题意正确找出点的规律．
19．(1)3
(2)，当时，原式

【分析】（1）根据绝对值的意义，二次根式的性质，零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：



，
∵或2时，原分式无意义，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，分式化简取值，解题的关键是熟练掌握分式运算法则，绝对值的意义，二次根式的性质，零指数幂和特殊角的三角函数值，准确计算．
20．(1)100名
(2)见解析
(3)54°
(4)

【分析】（1）根据E组人数及其所占总体的百分比求出总体人数；
（2）通过（1）求出总人数，再求C组人数，从而根据人数补全条形图；
（3）用D组人数占总人数的百分比求出D组圆心角占360°的百分比，从而求出D对应的圆心角度数；
（4）先把全部情况绘制出来，再数出符合条件的情况个数，再计算出符合条件的情况的概率．
【详解】（1）10÷10%=100（人）
（2）C组的人数为：100-20-30-15-10=25（人）
补全条形图如图所示：

（3）D组对应的度数为：
（4）画树状图如图所示：

相同的有：AA、BB、CC、DD、EE五种情况；
共有25种情况，故相同的情况概率为：
【点睛】本题考查扇形统计图的读图和计算、条形统计图的绘图、简单概率的计算，掌握这些是本题关键．
21．(1)
(2)6
(3)

【分析】（1）先把点B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可求出b的值，再根据三角形面积公式求出点C的横坐标，进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入到反比例函数解析式中求出k的值即可；
（2）先求出点A的坐标，得到的长，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴，
∵的面积是 2，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
∵点C在反比例函数的函数图象上，
∴；
（2）解：∵点A是一次函数与x轴的交点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：观察图象可知当时，一次函数的函数图象在反比例函数的函数图象上方，
∴不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m
【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可详解．
【详解】解：延长DF交AB于点G，

由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FGx（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°，
∴x＝44，
经检验：x＝44是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．(1)CD与⊙O相切，理由见解析；
(2)⊙O的半径是．

【分析】（1）连接OF，求出OF∥BD，根据等腰三角形性质求出CD⊥AB，推出OF⊥CD，即可得出答案；
（2）解直角三角形求出BC，设半径为r，证△△CFO∽△CDB，得出比例式，代入求出即可．
【详解】（1）解：CD与⊙O相切，
理由如下：连接OF，

∵AC＝BC，CD平分∠ACB，
∴AD＝BD＝3，CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠OBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠FBD，
∴∠OFB＝∠FBD，
∴OF∥DB，
∴∠CFO＝∠BDC＝90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∴cos∠ABC＝cos∠A＝，
在Rt△BDC中，cos∠ABC＝＝，
∴BC＝9，
∵OF∥DB，
∴△CFO∽△CDB，
设⊙O的半径是r，则，
∴r＝，
即⊙O的半径是．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．
24．(1)
(2)P点坐标为，四边形ABPC的最大面积为
(3)存在，P点坐标为

【分析】（1）直接把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，解方程组求得b=﹣2，c=﹣3，则二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，﹣），则点P的纵坐标为﹣，再把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3可求出对应x的值，然后确定满足条件的P点坐标．
【详解】（1）解：把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得
，解得，
∴这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图1
，
作PF⊥x轴于F点，交BC于E点，
因为四边形ABPC的面积=三角形ABC的面积+三角形BPC的面积；
而三角形ABC的面积不变，
所以当三角形BPC的面积最大时，四边形ABPC的面积的面积也最大；
令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，    
解得：x1=-1，x2=3，
所以A(-1，0)B(3，0)
∴AB=4，又OC=3
∴S∆ABC=；
BC的解析式为y=x﹣3，设E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3）．
PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，
S△BCP=S△BEP+SCEP=PE×FB+EP•OF
=EP•OB
=×3[﹣（m﹣）2+]
当m=时，S最大=×3×=，
m2﹣2m﹣3=﹣，
此时P（，﹣）；
所以此时，四边形ABPC的面积的面积也最大；
S四边形ABPC= S△BCP+ S∆ABC=6+  
∴此时P点的坐标（，﹣），四边形ABPC的最大面积为 ．
（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2
，
则PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四边形POP′C为菱形，
∵C点坐标为（0，﹣3），
∴E点坐标为（0，﹣），
∴点P的纵坐标为﹣，
把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣，
解得x=，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴x=，
∴满足条件的点P的坐标为（，﹣）．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及到了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
25．（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或．
【分析】问题发现：证出AB∥EF，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结论；
类比探究：证明△ACE∽△BCF，得出，即可的结论；
拓展延伸：分两种情况，连接AE，由正方形的性质得出AD=DC=4，AC=4，由勾股定理求出AE，即可得出答案．
【详解】解：问题发现：∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，
∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，CE=CF，CE⊥GF，
∴AB∥EF，
∴，
∴AE=BF；
故答案为：AE=BF；
类比探究：上述结论还成立，理由如下：
连接CE，如图2所示：

∵∠FCE=∠BCA=45°，
∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
CE=CF，CA=CB，
∴，
∴△ACE∽△BCF，
∴，
∴AE=BF；
拓展延伸：分两种情况：
①如图3所示：连接AE

∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，
∴AD=DC=4，EG=GC=
∴EC=2
∴DE=2
在Rt△ADE中，AE=；
②如图4所示：连接AE，

同①得AD=DC=4，CF=FE=
∴AC=4，AF=AC+CF=4+=5
在Rt△AFE中，．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．