2023年海南省三亚市吉阳区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年海南省三亚市吉阳区中考数学一模试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为( )
A. −8B. 8C. −8或8D. 2或−8
2. 如图长方体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列命题是真命题的是( )
A. 邻补角相等B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 内错角相等D. 垂直于同一条直线的两直线平行
4. 在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为(单位：分)：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是( )
A. 众数为95B. 极差为3C. 平均数为96D. 中位数为97
5. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，若∠E=65°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为( )
A. 65°B. 70°C. 75°D. 80°
6. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为( )
A. 60sin50°B. 60sin50∘C. 60cs50°D. 60tan50°
二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）
7. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1,1)，(3,0)，(2,−1).点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022的坐标是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
8. (本小题12.0分)
计算：
(1)4+(12)−2−(π−3)0+(−1)2022；
(2)(a+3)2−(a+3)(a−3)．
9. (本小题10.0分)
研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神.某校准备组织八年级学生进行研学，现随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从A，B，C，D四个研学点中选择一个，并将结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图.请根据统计图提供的信息，回答下列问题：

(1)求选择A研学点的学生人数m；
(2)求选择C研学点的学生人数，并补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数．
10. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数y=kx(x>0)的图象交AB于点F；
(1)当点B的坐标为(−4,2)时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
(2)在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
(3)连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
11. (本小题15.0分)
如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD=BD，点E在CD上，DE=DA，连接BE．

(1)求证：BE=CA；
(2)延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；
(3)过点C作CM⊥CA，CM=CA，连接BM交CD于点N，若BD=12，AD=4，直接写出△NBC的面积．
12. (本小题15.0分)
已知，如图，抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=6，OB=43，点P为x轴下方的抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；
(3)是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵x的相反数是3，
∴x=−3．
∵|y|=5，
∴y=±5．
∴当x=−3，y=+5时，x+y=−3+5=2；
当x=−3，y=−5时，x+y=−3−5=−8，
∴x+y的值是2或−8．
故选：D．
先求出x，y的值，进而可得出结论．
本题考查的是有理数的加法，熟知有理数的加法法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：从左边看，是一个长为5，宽为3的矩形．
故选：B．
根据左视图是从左边看到的图形解答即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】B
【解析】解：A、邻补角应该是互补关系，而不是相等，故选项A是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，教材定理，故选项B是真命题，符合题意；
C、缺少条件“两直线平行”，故选项C是假命题，不符合题意；
D、缺少条件“在同一平面内”，故选项D是假命题，不符合题意．
故选：B．
对于选项B、C、D利用平行线的判定和性质进行判断，对于选项A利用邻补角的概念进行判断．
本题考查了真假命题判断与定理，熟练掌握定理，并能准确判断真假命题是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵97都出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是97，
按照从小到大的顺序排列：95，96，97，97，98，97，
∴中位数是97+972=97，
这组数据的平均数是：16×(95+97+97+96+98+99)=2963，
极差是：99−95=4．
故选：D．
根据中位数、众数和极差的概念分别进行求解，即可得出答案．
此题考查了中位数、众数和极差的概念．本题为统计题，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，
∴∠C=∠E=65°，∠BAD=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°−∠C=25°，
∴∠BAC=∠CAF+∠BAD=25°+50°=75°，
故选：C．
由旋转的性质可得∠C=∠E=65°，∠BAD=50°，再由垂直的定义可得∠AFC=90°，利用直角三角形两锐角互余可得∠CAF=90°−∠C=25°，即可得∠BAC=75°．
本题主要考查了旋转变换，掌握旋转前后两图形全等、对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是解答本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：

∵∠BAC=88°，∠C=42°，
∴∠B=180°−88°−42°=50°，
在Rt△ABD中，AD=AB×sinB=60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
先求出∠B=180°−88°−42°=50°，再用三角函数定义，求出AD=AB×sinB=60×sin50°，即可得出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
7.【答案】(0,0)
【解析】解：如图，由题意，M1(2,2)，M2(4,−2)，M3(0,0)，

发现3次应该循环，
∵2022÷3=674，
∴M2022的坐标与M3的坐标相同，即M2022(0,0)．
故答案为：(0,0)．
画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．
8.【答案】解：(1)原式=2+4−1+1
=6；
(2)原式=(a2+6a+9)−(a2−9)
=a2+6a+9−a2+9
=6a+18．
【解析】(1)先根据算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方进行计算，再算加减即可；
(2)先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算，整数的化简等知识点，能正确根据整式的运算法则和实数的运算法则进行化简和计算是解此题的关键，注意运算顺序．
9.【答案】解：(1)∵选择B研学点的学生人数66，所占百分数为：55%，
∴66÷55%=120(人)，
∴选择A研学点的学生人数为：120×15%=18(人)，
∴m=18；
(2)∵选择A研学点的学生人数为：18人，参加调查的总人数为：120人，
∴选择C研学点的学生人数为：120−18−66−6=30(人)，
∴如图所示

(3)∵参加调查的总人数为：120人，选择C研学点的学生人数为6人，
∴扇形统计图中D研学点对应的圆心角度数360°×6120=18°．
【解析】(1)根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出A研学点的学生人数m；
(2)根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求出C研学点的学生人数，从而画出图形即可；
(3)根据条形统计图和扇形统计图的信息求出D研学点的学生人数的百分数，进而得出结论．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键．
10.【答案】解：(1)∵BA⊥x轴，BC⊥y轴∠COA=90°，
∴四边形AOCB是矩形，
∵点B的坐标为(−4,2)，
∴AB=OC=2，AO=BC=4，
如图所示，连接AD，

∵点D恰好在线段AC的中垂线上，
∴AD=CD，
∴设AD=CD=x，则BD=BC−CD=4−x，
∵四边形AOCB是矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABD中，AB2+BD2=AD2，
即22+(4−x)2=x2，解得x=52，
∴CD=52，
∴点D的坐标为(−52,2)，
∵点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴2=k−52，解得k=−5；
(2)如图所示，设AC于DE交于点M，

∵线段AC的中垂线交线段AO于E，
∴AM=CM，
∵BC/​/AO，
∴∠DCM=∠MAE，∠CDM=∠MEA，
∴△CDM≌△AEM(AAS)，
∴AE=CE=52，
∵点F在AB上
∴点F的横坐标为−4
∴将xF=−4代入y=−5x，
解得yF=54，
∴AF=54，
∴BF=AB−AF=34，BD=BC−CD=32，
∴S四边形AEDF=S梯形AEDB−S△DBF
=12×(BD+AE)×AB−12×BD×BF
=12×(BD+AE)×AB−12×BD×BF
=12×(32+52)×2−12×32×34
=4−916
=5516．
(3)如图所示，连接DF，

设F(a,ka)，D(kb,b)
，BDBC=kb−a0−a=ab−kab，
，BFBA=b−kab−0=ab−kab，
∴BDBC=BFBA
又∵∠B=∠B，
∴△BFD∽△BAC，
∴∠BFD=∠BAC，
∴DF/​/AC．
【解析】(1)首先证明四边形AOCB是矩形，然后根据点B的坐标得到AB=OC=2，AO=BC=4，连接AD，根据垂直平分线的性质得到AD=CD，设AD=CD=x，在Rt△ABD中根据勾股定理求出点D的坐标，然后代入y=kx(x>0)求解即可；
(2)设AC于DE交于点M，首先根据题意证明△CDM≌△AEM(AAS)，进而得到AE=CE=52，然后进一步求出BF=AB−AF=34，BD=BC−CD=32，最后根据S四边形AEDF=S梯形AEDB−S△DBF代入求解即可；
(3)连接DF，首先根据题意证明△BFD∽△BAC，然后根据相似三角形的性质得到∠BFD=∠BAC，最后根据平行线的判定定理即可证明DF/​/AC．
此题考查了反比例函数和四边形综合题，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
11.【答案】(1)证明：∵CD⊥AB，CD=BD，DE=DA，
∴∠ADC=∠EDB，
在△DBE和△DCA中，
BD=CD∠EDB=∠ADCDE=DA，
∴△DBE≌△DCA(SAS)，
∴BE=AC．
(2)如图，过点D作DP⊥DF交BE于点P，
根据(1)得△DBE≌△DCA，∠DBE=∠DCA，

∵∠DBE+∠DEB=90°，∠DEB=∠FEC，
∴∠FEC+∠ECF=90°，
∴∠BFC=90°，
∵DP⊥DF，CD⊥AB，
∴∠BDP=∠CDF，
在△BDP和△CDF中，
∠BDP=∠CDEBD=CD∠DBP=∠DCF，
∴△BDP≌△CDF(ASA)，
∴DF=DP，
∴∠DFB=45°，
∴∠CFD=∠BFC+∠DFB=45°+90°=135°．
(3)如图，在CD上截取DE=DA，连接BE，延长BE交AC于点F，
根据(1)(2)得证△DBE≌△DAC，∠BFC=90°，BE=AC；

∵CM⊥CA，CM=CA，
∴CM//BF，BE=MC，
∴∠BEN=∠MCN，
在△BEN和△MCN中，
∠BEN=∠MCN∠BNE=∠MNCBE=MC，
∴△BEN≌△MCN(AAS)，
∴EN=CN=CD−DE2=12−42=4，
∴△NBC的面积为：12NC⋅BD=12×4×12=24．
【解析】(1)运用SAS证明△DBE≌△DAC即可；
(2)过点D作DP⊥DF交BE于点P，根据△DBE≌△DAC证明∠BFC=90°，再证明△BDP≌△CDF，得证∠DFB=45°，计算即可；
(3)在CD上截取DE=DA，连接BE，延长BE交AC于点F，根据(1)(2)得证△DBE≌△DAC，∠BFC=90°，结合CM⊥CA，CM=CA得证△BEN≌△MCN，计算EN=CN=CD−DE2，根据面积公式计算即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
12.【答案】解：(1)∵OA=6，OB=43，
∴A(−6,0)B(43,0)，
∴抛物线的解析式为：y=a(x+6)(x−43)=ax2+143ax−8a，
∴−8a=−8，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x2+143x−8；
(2)令x=0，则y=−8，
∴C(0,−8)；
∴直线AC的解析式为：y=−43x−8；
连接AC，过点P作PQ/​/y轴交AC于点Q，

设点P的横坐标为t，
∴P(t,t2+143t−8)，Q(t,−43t−8)，
∴QP=−43t−8−(t2+143t−8)=−t2−6t，
∴S△APC=12(xC−xA)⋅QP=12×6×(−t2−6t)=−3t2−18t；
∵OA=6，OC=8，
∴S△OAC=12⋅OA⋅OC=12×6×8=24；
∴S四边形AOCP=S△APC+S△OAC
=−3t2−18t+24
=−3(t+3)2+51，
∴当t=−3时，四边形AOCP的最大值为51；
(3)存在，理由如下：
若点P到AB和AC两边的距离相等，则AP是∠BAC的平分线，设AP与y轴交于点D，过点D作DE⊥AC于点E，

∵AP平分∠BAC，AB⊥OC，DE⊥AC，
∴OD=DE，OA=AE=6，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10，
设OD=m，
∴CD=8−m，CE=4，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得，42+m2=(8−m)2，
解得m=3，
∴D(0,−3)，
∴直线AD的解析式为：y=−12x−3，
令−12x−3=x2+143x−8，
解得x=−3(舍)或x=56，
∴P(56,−4112).
【解析】(1)由题意可知点A，B的坐标，再将A，B两点坐标代入抛物线解析式即可得出结论；
(2)连接AC，过点P作PQ/​/y轴交AC于点Q，设点P的横坐标为t，由此可表达点Q的坐标，表达PQ的长，利用三角形的面积公式可得四边形AOCP的面积，最后利用二次函数的性质可得结论；
(3)若点P到AB和AC两边的距离相等，则点P在∠BAC的平分线上，设AP与y轴交于点D，过点D作DE⊥AC于点E，设OD=m，分别表达OE，CE和CD的长，利用勾股定理建等式得出m的长，求出直线AP的解析式，联立可得出点P得坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，角平分线的性质，二次函数与一次函数的交点问题等相关知识，得出点P在∠BAC的平分线上是解题关键．