2022-2023学年河南省周口市太康县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省周口市太康县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  在函数中，自变量的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 且2.  下列说法或做法中正确的是(    )A. 明明的幸运数字是，他抛出骰子时出的机会比其它数字的机会大
B. 妈妈买彩票没中过奖，她再买彩票中奖的机会一定比别人要大些
C. 要知道抛一枚硬币正面朝上的机会，没有硬币可用啤酒瓶盖代替
D. 在抛硬币实验中，婧婧认为一个一个地抛太慢，她用枚硬币同时抛算作次抛掷3.  下面两个问题中都有两个变量：
矩形的周长为，矩形的面积与一边长；
矩形的面积为，矩形的宽与矩形的长．
其中变量与变量之间的函数关系表述正确的是(    )A. 是反比例函数，是二次函数 B. 是二次函数，是反比例函数
C. 都是二次函数 D. 都是反比例函数4.  如图，点在的边上，要判断∽，需添加一个条件，其中不正确的是(    )A.
B.
C.
D. 5.  在三角形中，为直角，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 6.  关于的一元二次方程的常数项为，则等于(    )A.  B.  C. 或 D. 7.  如图，在中，弦，相交于点，，，则的大小是(    )A.
B.
C.
D.
 8.  抛物线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，所得抛物线的表达式为(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，过圆外一点作的切线，切点为，连接交圆于点若，则该切线长为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，在同一直角坐标系下，一次函数与二次函数的图象可能是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.         ．12.  有不同的两把锁和三把钥匙，其中两把钥匙能分别打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是______．13.  如图，在中，，，，以为直径的交于点，则图中阴影部分的面积为______．
14.  如图，直角坐标系中一条圆弧经过，，三个网格点，已知点为正半轴上的一点，若直线与该圆弧相切，则点的坐标为______．
 15.  已知二次函数、、为常数的图象如图所示，下列个结论．
；
；
；
为常数，且．
其中正确的结论有______填写序号．
 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
已知函数．
当为何值时，这个函数是关于的一次函数；
当为何值时，这个函数是关于的二次函数．17.  本小题分
如图，为上一点，点是直径延长线上的一点，连接，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．
 
18.  本小题分
如图：电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．
 任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是________；任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率． 19.  本小题分
如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树的高度，他们在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，朝大树方向下坡走米到达坡底处，在处测得大树顶端的仰角是，若坡角，求大树的高度结果保留整数，参考数据：，，，
 20.  本小题分
红灯笼，象征着国家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元．
求甲、乙两种灯笼每对的进价；
经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出对，售价每提高元，则每天少售出对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于元，设乙灯笼每对售价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
求出与之间的函数解析式；
乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？21.  本小题分
如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接．
若，求的度数．
若平分，，求的长．
22.  本小题分
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．
求证：．
【结论应用】
如图，在上边题目的条件下，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点求证：．
若中的，则的大小为______．
 23.  本小题分
如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．
求抛物线的解析式；
点在轴正半轴上运动，是否存在点使得与相似，如果存在，请求出点的坐标；
点的横坐标为，且在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为，求关于的函数表达式和的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意，得
且，
解得且，
故选：．
根据分母不能为零，被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零，被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：、一枚质地均匀的骰子，有六个面分别标有，，，，，，把它抛出时出现任何一个数字的概率均相等，错误．
B、属随机事件，错误；
C、不行，因为抛一枚硬币正面朝上的机会是，啤酒瓶盖两面不同，一面朝上的概率要小于，错误；
D、正确．
故选：．
根据概率的意义找到正确选项即可．
关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量．概率小的有可能发生，概率大的有可能不发生．概率等于所求情况数与总情况数之比．
 3.【答案】 【解析】解：矩形的周长为，矩形的面积与一边长，可以得到，是二次函数；
矩形的面积为，矩形的宽与矩形的长，可以得到，是反比例函数．
所以是二次函数，是反比例函数．
故选：．
根据反比例函数和二次函数的定义解答即可．
本题考查了反比例函数和二次函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数和二次函数的定义．
 4.【答案】 【解析】解；、由，可以证明∽，不符合题意；
B、由，可以证明∽，不符合题意；
C、由可以证明∽，不符合题意；
D、由不可以证明∽，符合题意．
故选：．
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
 5.【答案】 【解析】解：中，，则，
．
，
，
故选：．
中，，则，根据互余两角的三角函数的关系，可得，根据同角三角函数关系，可得答案．
本题考查互为余角三角函数关系，利用了互为余角的两角的三角函数的关系，同角三角函数关系．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意，知，
，
解方程得：．
故选：．
根据一元二次方程成立的条件及常数项为列出方程组，求出的值即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 7.【答案】 【解析】解：，，


，
故选：．
根据圆周角定理以及三角形的内角和定理可求出答案．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，理解“同弧所对的圆周角相等”以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
 8.【答案】 【解析】解：，
根据题意，拋物线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，
所得抛物线的表达式为，
即，
故选：．
先将化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数图象平移的规律是解答的关键．
 9.【答案】 【解析】解：、都是半径，
，
又与相切于点，
，
于是在中，，，
．
故选：．
根据切线的性质定理可知，由题意可知，则，于是根据勾股定理即可求出的长．
本题考查的是切线的性质定理，即圆的切线垂直于经过切点的半径．由相切到垂直是解题中常常用到的一种思路，也考查了勾股定理．
 10.【答案】 【解析】解：、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
故选：．
根据一次函数和二次函数的图象来判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟知一次函数和二次函数的图象是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
 12.【答案】 【解析】解：画树状图为：两把钥匙能分别打开这两把锁表示为、和、，第三把钥匙表示为

共有种等可能的结果数，其中任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数为，
所以任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率．
故答案为．
画树状图两把钥匙能分别打开这两把锁表示为、和、，第三把钥匙表示为展示所有种等可能的结果数，找出任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积为
故答案为：
扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则，由此即可计算．
本题考查扇形面积计算，关键是掌握扇形面积计算公式．
 14.【答案】 【解析】解：设圆弧所在圆的圆心为，
作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心，
设，由题意可知，，，
与圆相切，
，
，即，解得，
，
故答案为：．
由、、三点坐标可先确定出圆弧所在圆的圆心的坐标，设，则可表示出、和的长，由勾股定理可得到关于的方程，可求得点坐标．
本题主要考查垂径定理和切线的性质，利用点的坐标确定出圆心坐标是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：由图象可知：，，
，
，
，故正确；
当时，，
故，故错误；
当时函数值小于，，且，
即，代入得，得，
，
，故正确；
当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故错误．
故正确．
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
 16.【答案】解：依题意得：，
解得：；
所以当时，这个函数是关于的一次函数；
依题意得，
解得：且．
所以当和时，这个函数是关于的二次函数． 【解析】根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和不等式，可得答案；
根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案．
本题考查了一次函数与二次函数的定义．一般地，形如、是常数的函数，叫做一次函数；一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式．掌握定义是解题关键．
 17.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，
，
即，
，
，
又，
，
即，
是的半径，
是的切线；
解：设圆的半径为，则，
，，
，
在中，，
即，解得：，． 【解析】根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出，即即可得出结论；
设圆的半径为，在中，利用勾股定理求出，即可得出答案．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
 18.【答案】解：；
画树状图如右图：

结果任意闭合其中两个开关的情况共有种，
其中能使小灯泡发光的情况有种，
故小灯泡发光的概率是． 【解析】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，主要考查概率的求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据概率公式直接填即可；
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
 19.【答案】解：如图，过点作于，于，

则四边形为矩形，
故DG，，，
且，
在直角三角形中，
，，
，，
，
设为，
在直角三角形中，，
，，
在直角三角形中，
，
，
解得：，
大树的高度大约为米． 【解析】本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
过点作于，于，根据矩形性质得出，，利用坡角在中求出，设，在中用表示出，即可表示出，，再再中利用锐角三角函数的定义建立方程，即可求解．
 20.【答案】解：设甲种灯笼单价为元对，则乙种灯笼的单价为元对，由题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种灯笼单价为元对，乙种灯笼的单价为元对．
，
答：与之间的函数解析式为：．
，
函数有最大值，该二次函数的对称轴为：，
物价部门规定每对乙灯笼的不高于每对元，
，
，
时，随的增大而增大，
当时，．

答：乙种灯笼的销售单价为每对元时，一天获得利润最大，最大利润是元． 【解析】设甲种灯笼单价为元对，则乙种灯笼的单价为元对，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度．
 21.【答案】解：是的直径，
，
，
，
；
连接，

平分，
，
，
，
，
． 【解析】根据是的直径，得出，进而得出，根据同弧所对的圆周角相等即可求解；
连接，根据平分，得出，根据圆周角定理得出，进而根据勾股定理即可求解．
本题考查了圆周角定理及其推理，勾股定理，掌握圆周角定理及其推理是解题的关键．
 22.【答案】 【解析】证明：点，分别是，的中点，
，
点，分别是，的中点，
，
，
，
；
证明：由知是的中位线，
，
，
同理，
，
；
解：，
，
，，
，
又，
，

．
故答案为．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，然后求出，再根据等边对等角证明即可．
由三角形中位线定理得出，，由中的结论可得出答案；
证出，由三角形内角和定理可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理，三角形内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 23.【答案】解：把，代入抛物线，
可得：，
解得：，
；
存在点使得与相似，
由可知，，，
第一种情况：，
解得：，
，
第二种情况：，
解得：，
，
或；
连接，

的横坐标为且在第一象限，
，
的纵坐标为，
，，，
，
，
，
当时，最大值为． 【解析】把，代入抛物线，即可解得；
存在点使得与相似，由可知，，，分情况讨论相似，即可解得；
连接，的纵坐标为，根据图形可得，表示出函数表达式即可解得．
本题考查了二次函数的综合应用，掌握求三角形面积，二次函数解析式是解题的关键．