2022-2023学年广东省东莞市八校联考九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞市八校联考九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件是必然事件的是(    )

A. 射击运动员射击一次，命中十环
B. 任意画一个五边形，其外角和为
C. 打开电视频道，正在指放足球世界杯
D. 方程必有实数根

3.  若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若二次函数的图象经过原点，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

5.  关于函数，下列说法中正确的是(    )

A. 图像位于第一、三象限 B. 图像与坐标轴没有交点
C. 图像是一条直线 D. 的值随的值增大而减小

6.  如图，中，弦、相交于点，若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在平行四边形中，交于，交于，：：，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一个扇形半径，圆心角，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论正确的是(    )

A. 垂直平分 B. ∽
C.  D.

10.  如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：
；
；
；
若点，为函数图象上的两点，则．
其中正确结论是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象的表达式是        ．

12.  某产品出现次品的概率为，任意抽取这种产品件，那么大约有______件是次品．

13.  如图，等边由绕点逆时针旋转得到，其中与相交于点，则________．
 

14.  两个多边形相似，面积的比是：一个多边形的周长为，则另一个多边形的周长为        ．

15.  如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高为，则圆拱形门所在圆的半径为______

16.  如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，若的面积是，则        ．

17.  如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为为坐标原点，点在直线上，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18.  解方程：．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
在学习“二元一次方程的解”时，数学张老师设计了一个数学活动，有、两组卡片，每组各三张，组卡片上分别写有，，；组卡片上分别写有，，每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从组随机抽取一张记为，乙从组随机抽取一张记为．
若甲抽出的数字是，乙抽出的数字是，它们恰好是方程的解，求的值；
在的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的概率请用树状图或列表法求解

20.  本小题分
如图，一块材料形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的面积是多少？

21.  本小题分
年月日我国疫情防控全面放开，某药店为满足居民的购药需求，购进了一种中草药，每千克成本为元市场调查发现，在一段时间内，销售量千克随销售单价元千克的变化而变化，具体关系式为：，且物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于元千克设这种中草药在这段时间内的销售利润为元：
求与的关系式；并求取何值时，的值最大？
如果该药店想要在这段时间内获得元的销售利润，销售单价应定为每千克多少元？

22.  本小题分
如图，的顶点坐标分别为、和．
作出关于原点对称的．
作出绕点逆时针旋转度的．
在的条件下，连接，求在旋转过程中线段扫过的面积结果保留

23.  本小题分
如图，内接于，，为直径，与相交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，连接．
求证：与相切：
若，求的值．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，其中点的横坐标为．
求一次函数和反比例函数的解析式；
若将一次函数图象向下平移个单位长度后，与轴交于点，连接，，求的面积；
在的条件下，设平移后的直线为，请结合图象，直接写出不等式的解集．

25.  本小题分
如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，
求此抛物线的解析式；
若点是直线下方的抛物线上一动点不点，重合，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为；
用含的代数式表示线段的长．
连接，，求的面积最大时点的坐标；
设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由。

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件，不符合题意；
B、任意画一个五边形，其外角和为，是不可能事件，不符合题意；
C、打开电视频道，正在指放足球世界杯，是随机事件，不符合题意；
D、方程的判别式，
则方程必有实数根，是必然事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：设、是关于的一元二次方程的两个根，
由韦达定理，得，即，
解得，．
即方程的另一个根是．
故选C．
根据一元二次方程的根与系数的关系来求方程的另一个根．
此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系、时，要注意等式中的、、所表示的含义．
 

4.【答案】 

【解析】解：把代入得，
解得或，
，
．
故选：．
把代入求解，注意的取值范围．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，
图象位于第二、四象限，图象是双曲线，在每一象限内，随着增大而增大，
故A，，选项不符合题意，
，，
函数图象与坐标轴没有交点，
故B选项符合题意，
故选：．
根据反比例函数的图象和性质即可判断．
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质与系数的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的外角，
；
，，
；
；
故选：．
欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，即可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．
此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质．熟练掌握定理及性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，由，可证明∽，即可求得，则可求得的长，又由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长．
【解答】

解：：：，
：：
，
，，
∽，
，
，
，
解得：，
四边形是平行四边形，
．
故选B．

8.【答案】 

【解析】解：设圆锥底面半径为，
根据题意得，
解得，
即圆锥底面半径为．
故选：．
设圆锥底面半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，平分，
垂直平分，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
∽，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，可证∽，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有两个交点，
，
故正确；
对称轴，
，
故正确；
关于直线的对称点为，
；
故错误；
在对称轴的左侧，随的增大而增大，，
，
故正确．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
 

11.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的函数图象的表达式是：，即，
故答案为：．
根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得：次品数量．
故答案为：．
利用总数出现次品的概率次品的数量，进而得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等边三角形的性质．解题时，需要挖掘出隐藏于题干中的已知条件：三角形内角和是、等边三角形的三个内角都是．
根据“是绕点逆时针旋转得到的”可以推知的内角；然后由等边三角形的性质知；最后根据三角形内角和定理来求的度数即可．
【解答】



解：是绕点逆时针旋转得到的，

；
是等边三角形，
，
．
故答案是：．

14.【答案】或 

【解析】解：面积的比是：，
相似比为：，
若周长为的多边形是较大的多边形，则另一多边形的周长为，
若周长为的多边形是较小的多边形，则另一多边形的周长为．
故另一多边形的周长为或．
故答案为：或．
根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再分周长为的多边形是较大的多边形和较小的多边形两种情况讨论求解．
本题主要考查相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，本题注意要分两种情况讨论．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接；
中，米；
设的半径为，则，；
由勾股定理，得：，即：
，解得米；
故答案为：．
连接，由垂径定理易得出的长度，在中，可用半径表示出的长，根据勾股定理即可求出半径的长度．
此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用．解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
 

16.【答案】 

【解析】解：设反比例函数的解析式为．
的面积的面积，的面积，
，
；
又反比例函数的图象的一支位于第二象限，
．
．
故答案为：．
由于同底等高的两个三角形面积相等，所以的面积的面积，然后根据反比例函数中的几何意义，知的面积，从而确定的值，求出反比例函数的解析式．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数中的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
连接根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短．
【解答】
解：连接、．
是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短；
又、，
，

，
．
故答案为：．  

18.【答案】解：，，，
，
，
，． 

【解析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法比较简单．
本题考查了一元二次方程的解法公式法，采用公式法解一元二次方程时，要注意公式的熟练应用．
 

19.【答案】解：将，代入方程得：，即；
列表得：

所有等可能的情况有种，其中恰好为方程的解的情况有，，，共种情况，
则抽取一次的数恰好是方程的解的概率为． 

【解析】将，代入方程计算即可求出的值；
列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程的解的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：四边形为正方形，

∽；
设正方形零件的边长为 ，则，，
，
，
，
解得：．
这个正方形零件的面积
答：正方形零件的面积是为． 

【解析】根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果，进而求出面积．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
 

21.【答案】解：由题意可得，
，
当时，取得最大值，
答：与的关系式是，当时，的值最大；
当时，，
解得，，
物价部门规定这种中草药的销售单价不得高于元千克，
，
答：如果该药店想要在这段时间内获得元的销售利润，销售单价应定为每千克元． 

【解析】根据题意，可以写出与的关系式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到取何值时，的值最大；
将代入中的函数，求出的值即可，注意价部门规定这种中草药的销售单价不得高于元千克．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
 

22.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由勾股定理得，，
线段扫过的面积为． 

【解析】根据中心对称的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可．
利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查作图旋转变换、中心对称、扇形面积公式，熟练掌握旋转和中心对称的性质以及扇形面积公式是解答本题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，连接，则，

，
，，
，
是的直径，
，
，
，
与相切；
解：如上图，过点作于点，连接，
则，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
又，
； 

【解析】要证与相切只需证明，由与是同弧所对圆周角且可得，结合即可得证；
证明∽、是等边三角形，求出；利用勾股定理求出，进而求解．
本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点．
 

24.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，，
，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
把，代入得，，解得，
，
将一次函数向下平移个单位长度后，得到，
令，则，解得，
，
，
；
联立，得：，
交点为和，
由图象可知不等式的解集是或． 

【解析】把点代入，求得，进而求得的坐标，然后根据待定系数法求得一次函数的解析式；
根据平移的规律求得平移后的直线解析式，进而求得的坐标，求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可；
根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过点和点，
，解得，
抛物线解析式为；
如图：

设，
令，则，则，
将点、代入得直线解析式为，
得，，
直线解析式为，
过点作轴的平行线交直线于点，


故用含的代数式表示线段的长为，

当时，有最大值；
当时，，

故的面积最大时点的坐标为；
存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，
根据题意，点，

，
根据菱形的四条边相等，
，
或
当时，．
故点的坐标为或或。 

【解析】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起，这类试题一般难度较大。解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件。
根据已知抛物线经过点和点代入即可求解；
先确定直线解析式，根据过点作轴的平行线交直线于点，即可用含的式子表示出和的坐标进而求解；
用含的代数式表示出的面积，可得是关于的二次函数，即可求解；
根据中所得二次函数图象和对称轴先得点的坐标，即可写出三个位置的点的坐标。