2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学一模试卷（含解析）

2023年河北省秦皇岛市开发区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，数轴上点对应的数是，将点沿数轴向左移动个单位至点，则点对应的数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.  下列交通标志中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  根据图中三视图可知该几何体是(    )
 

A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  函数的自变量的取值范围是(    )

A. ，且 B.  C.  D. ，且

6.  不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，点的坐标是，连接，将线段绕原点旋转，得到对应线段，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，、为边的三等分点，，为与的交点若，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，为直径，点为弦的中点，点为上任意一点．则的大小可能是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  不解方程，判别方程的根的情况(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 无实数根

13.  将抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线，则抛物线的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

14.  如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，是的中点，连接，若，，则线段的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

15.  如图，已知点，，点在直线上，则使是直角三角形的点的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

16.  如图，等腰梯形的腰长为，正方形的边长为，它的一边在上，且顶点与重合现将正方形在梯形的外面沿边进行翻滚，翻滚到有一个顶点与重合即停止滚动，求正方形在翻滚过程中点所经过的路线长(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17.  因式分解：______．

18.  如图，正六边形的顶点、分别在正方形的边、上．若正方形的边长为，则正六边形的边长为______．

19.  在平面直角坐标系中，直线，经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积是，与曲线的图象交于，两点．
则直线的表达式为        ；
横、纵坐标都是整数的点叫作整点记图象在点、之间的部分与线段围成的区域不含边界为则区域内的整点的坐标是        ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．
我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：例如：．
如果，，求的值；
，，求，的值．

21.  本小题分
如图，在数轴上点，表示的数分别为，，为点左侧上的一点，它表示的数为．
用含．的代数式表示的值．
若以，，的长为边长能构成等腰三角形，请求出符合条件的的值．

22.  本小题分
某校为了增强学生的体质，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从八年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
一分钟跳绳成绩的分组统计表：

本次接受随机抽样调查的学生人数为______人，统计表中的的值为______，扇形统计图中组所对的圆心角为______；
抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别是______；
现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？

23.  本小题分
如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．

操作发现如图，固定，使绕点顺时针旋转．当点恰好落在边上时．
线段与的位置关系是______不需证明
设的面积为，的面积为，则与的数量关系是______，证明你的结论；
猜想论证
当绕点旋转到图所示的位置时，小明猜想中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中，边上的高，请你证明小明的猜想．

24.  本小题分
定义：如果二次函数，、、是常数与，、、是常数满足，，，则这两个函致互为“旋转函数”例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
写出函数的“旋转函数”；
若函数与互为“旋转函数”，求的值；
已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、、关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．

25.  本小题分
在年日市初中学业水平考试体育学科的女子米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程米与所用时间秒之间的函数图象为折线和她同时起跑的李梅同学前米的速度保持在米秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点．
直接在图中画出李梅同学所跑的路程米与所用时间秒之间的函数图象；
求王芳同学测试中的最快速度；
求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？

26.  本小题分
如图，的半径为，正三角形的顶点的坐标为，顶点在上运动．
当点在轴正半轴上时，求点的坐标；
点在运动过程中，是否存在直线与相切的位置关系？若存在，请直接写出点的坐标；
设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了点在数轴上的移动，点沿数轴往正方向移动，点对应的数加移动的距离得到移动后的数，点沿数轴往负方向移动，点对应的数减移动的距离得到移动后的数．
借助数轴，可直观得结论，亦可运用有理数的加减得结论．
【解答】
解：点向左移动个单位，
点对应的数为．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念即可求解．
本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合，难度一般．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据图中三视图可知该几何体是三棱柱．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是同类项不能合并，选项错误；
B.原式，选项错误；
C.，选项错误；
D.，选项正确．
故选：．
根据合并同类项法则和幂的运算法则进行解答便可．
本题主要考查了合并同类项法则和幂的运算法则，熟记法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，且，
解得，且．
故选：．
根据被开方数是非负数，以及分母不等于，就可以求出的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是平方根时，被开方数非负．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式组，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意与关于原点对称，
，
，
故选：．
根据中心对称的性质解决问题即可．
本题考查旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
∽，
，即，解得：，
．
故选：．
由三等分点的定义与平行线分线段成比例定理得出，，，则，是的中位线，然后再证∽，可得，解得，则．
本题主要考查了三等分点的定义、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出和的度数是解此题的关键．
连接、，设，则，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，即可求出答案．
【解答】
解：连接、，

，
是等腰三角形，
点为弦的中点，
，，
设，则，，
，，
，
，，
，
，

，

故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
由解析式可知抛物线开口向上，点、、求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
【解答】解：二次函数的图象过点、、，
抛物线的对称轴直线满足，抛物线的开口向上，
抛物线上离对称轴水平距离越远的点，对应函数值越大，
、、，
则，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】
解：原式．
故选D．  

12.【答案】 

【解析】解：方程整理得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先把方程化为一般式得到，再计算，然后根据与的大小关系判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练应用根的判别式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
抛物线向左平移个单位长度后得到的抛物线的解析式为：，
即，
故选：．
根据题意易得平移前抛物线的顶点式，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

在中，，，，则，
，
由旋转可知，，
是的中点，
，
在中，利用三角形三边关系可得当，，三点共线时取等号，
，
的最大值为，
故选：．
连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，在中，利用三角形三边关系可得的最大值．
本题主要考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系，旋转的性质等知识，掌握几何最值的求解方法是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断为直角的情况是否存在．
根据为直角，为直角与为直角三种情况进行分析．
【解答】
解：如图，

当为直角时，过点作垂线与直线的交点，
当为直角时，过点作垂线与直线的交点，
若为直角
则点在以线段为直径、中点为圆心、为半径的圆与直线的交点上．
在直线中，当时，即，
当时，即点，
则，
过中点，作直线于点，
则，
，
∽，
，即，
解得：，
以线段为直径、为圆心的圆与直线恰好有一个交点．
所以直线上有一点满足．
综上所述，使是直角三角形的点的个数为，
故选：．  

16.【答案】 

【解析】解：作图如图；

点绕点翻滚，然后绕点翻滚，半径分别为、，翻转角分别为、，
，
故选：．
先根据点绕点翻滚，然后绕点翻滚，半径分别为、，翻转角分别为、，据此画出图形．再结合总结的翻转角度和翻转半径，求出两端圆弧之和即可．
本题考查了弧长的计算、旋转的性质，作出图形并掌握弧长公式解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】解：设，则，，
六边形是正六边形，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
即正六边形的边长为，
故答案为：．
根据正多边形的性质和直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半可以求得的长．
本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】   

【解析】解：如图：

设直线与轴的交点为，
直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ，
，
可得，
，
，
直线 经过点和，
直线的表达式为；
故答案为：．
联立，
解得：或，
，，
观察图象可得区域内的整点的坐标为．
故答案为：．
借助直线与轴、轴的交点坐标表示出直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长，利用面积是，求出直线与轴的交点为，利用待定系数法求出直线的表达式；
联立两函数解析式可求图象的交点坐标，再结合图象找到区域内的整点的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，结合图象利用反比例函数与一次函数的交点解决问题．
 

20.【答案】解：根据题意，得，把代入，
得，解得；
根据题意，得，解得． 

【解析】根据题意，得出方程组，解答即可；
根据题意，得出方程组，解答即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

21.【答案】解：，表示的数分别为，，为点左侧上的一点，它表示的数为，
，，
；
以，，的长为边长构成等腰三角形，
当时，，
，
此时，能构成等腰三角形；
当时，，
方程无解，不能构成等腰三角形；
当时，，
，
，能构成等腰三角形．
符合条件的的值有或． 

【解析】由于，表示的数分别为，，为点左侧上的一点，它表示的数为，首先用分别表示、，然后代入所求代数式即可求解；
分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别建立方程即可求解．
此题分别考查了数轴上点的坐标表示线段的长度，等腰三角形的分类讨论，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．
 

22.【答案】解：；  ；  ；
；
画树状图如下：

由于实际选取中不考虑顺序如选“男和男”与选“男和男”为同一种情况
则共有种等可能的结果，其中恰好分组是一男一女的结果有种，
恰好分组是一男一女的概率是． 

【解析】

【分析】
本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，列举法求概率．
由组的人数除以所占百分比得出本次接受随机抽样调查的学生人数，即可进一步解决问题；
由中位数的定义即可得出结论；
画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：人，
则，
扇形统计图中组所对的圆心角为，
，中位数为第个成绩和第个成绩的平均数，
抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组是组，
见答案．  

23.【答案】解：；2
（2）如图，是由绕点旋转得到，

，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
的面积和的面积相等等底等高的三角形的面积相等，
即．
 

【解析】

解：，
理由如下：如图，绕点旋转点恰好落在边上，
，
，
是等边三角形，
，
又，
，
；
，，
，
，
根据等边三角形的性质可得，的边、上的高相等，
的面积和的面积相等等底等高的三角形的面积相等，
即，
故答案为：；；

见答案

【分析】根据旋转的性质可得，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据内错角相等，两直线平行进行解答；
根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据等边三角形的性质求出点到的距离等于点到的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算公式，等边三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．  

24.【答案】解：根据题意得，
解得，
故解析式为：．
根据题意得，
，
．
根据题意得，，，
，，，
又，
且经过点，，的二次函数为，
，
两个函数互为“旋转函数”． 

【解析】根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的、、的值，从而得出函数解析式；
根据定义得出和的二元一次方程组，从而得出答案；
首先求出、、三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．
本题考查了抛物线与轴的交点，涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意，得
，
李梅运动中的图象经过，
在平面直角坐标系中描出这点，再连接，就可以画出李梅同学所跑的路程米与所用时间秒之间的函数图象，如图：

由图象，得
王芳段的速度为：米秒；
王芳段的速度为：米秒；
王芳段的速度为：米秒；
，
王芳同学测试中的最快速度为米秒；

设直线的解析式为，设直线的解析式为，由题意，得
及，
解得：，，
，，
当时，
，
，
当时，
，
．
答：李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米． 

【解析】求出李梅同学前米的时间就可以确定李梅米时的图象位置，再连接、就可以画出图象；
根据函数图象求出王芳跑，，三段路程的速度，再比较大小就可以求出王芳的最快速度；
运用待定系数法求出的解析式和的解析式，再根据一次函数与二元一次方程的关系就可以求出李梅同学在起跑后追上王芳同学的时间和离终点的距离．
本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，描点法画函数图象的运用，一次函数的交点坐标点的运用，解答本题时正确理解函数图象表示的意义是关键．
 

26.【答案】解：点在轴的正半轴，如图，即：点的坐标为，

当点在轴上方时，
可得等边三角形的边长，
由等边三角形的性质可得，
的坐标为，点的坐标为，
，
故可得点的坐标为；
当点在轴下方时，由对称可知，点的坐标为；
即：点的坐标为或；
连接，当点在轴上方时，
当点在右侧时，作轴，

直线与相切，
，
，，，
，，
，
，
，，
点的坐标；
当点在左侧时，

，
点在轴上，，
点的坐标为；
当点在轴下方时，由对称可知，点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或；
过点作于点，

在中，，
在中，，
故，
其中，
当时，的最大值为，
当时，的最小值为． 

【解析】点在轴的正半轴，根据等边三角形的性质可得出点的坐标．
根据题意画出图形，分两种情况：点在上半圆上，点在下半圆上，进行讨论即可；
过点作于点，利用勾股定理得，根据可得函数关系式，根据函数增减性，利用可得最值．
此题考查了切线的性质、一次函数的性质、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考查的知识点较多，关键是仔细审题，仔细、逐步解答．