相似判定第三课时课件PPT

27.2 三角形相似的判定（3）复习1、相似三角形有哪些判定方法?2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？ （１）．定义法（不常用）（２）．“平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（３）．“三边”定理：三边对应的比相等，两个三角形相似.（４）．“两边夹角”定理：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似. 观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺,它们一定相似吗？ 如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？探究3 (1)作△ABC和△ A’B’C’,使得∠A＝∠A’,∠B＝∠B’，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C’吗?(2)分别度量这两个三角形的边长,计算 ,你有什么发现?(3)△ABC和△ A’B’C’相似吗?分析:要证两个三角形相似，目前只有四个途径。一是三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理；四是上节课学习的“两边夹角”定理。已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,求证:ΔABC∽ △A/B/C/ （把小的三角形移动到大的三角形上）。怎样实现移动呢?为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。P48 判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/（SAS）∴ ∠ADE=∠B/，又∵ ∠B/=∠B，∴ ∠ADE=∠B，∴ DE//BC，∴ ΔADE∽ΔABC。∴ ΔA/B/C/∽ΔABC求证：△ABC∽△ A’B’C’已知：在△ABC 和△ A’B’C’,中,若∠A=∠A’，∠B=∠B’，----“两角”定理用数学符号表示：CC'∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'用数学符号表示：相似三角形的识别(两个角分别对应相等的两个三角形相似)例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800， ∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF 证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400，∠B=800， ∴ ∠C=1800－∠A －∠B =1800－400 －800 ＝600 ∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600 ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。400 800 800 600 600 2、课堂练习（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500，∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？（2）已知等腰三角形ΔABC和ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角，求证：①如果∠A=∠A/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。 ②如果∠B=∠B/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。例2. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB， 试说明△ADE∽△EFC. 解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知），∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）∠AED＝∠C. （两直线平行，同位角相等）∴ △ADE∽△EFC. （两个角分别对应相等的两个三角形相似．）3.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相似的三角形证明.应用新知：选一选（1）与（4）与（5）----“两角”定理（2）与（6）--“两边夹角”定理4、判断题：(1)所有的直角三角形都相似 . ( ) (2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.( )(3)所有的等边三角形都相似. ( )(4)所有的等腰直角三角形都相似. ( )(5)顶角相等的两个等腰三角形相似. ( )(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似. ( )×√√ √√×应用新知：想一想填一填（1）如图3，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时， △ACD∽△ABC。（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似。∠ ACD∠ B (或者∠ ACB＝∠ ADB)DE//BCD(或者∠ C＝∠ ADE)(或者∠ B＝∠ ADE)DP48 练习 1、2例2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD证明：连接AC、BD。∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，∴∠ A=∠D。同理∠C=∠B （或∠APC＝∠DPB） 。∴△PAC∽△PDB。∴ABCDPO·即PA·PB=PC·PD例2.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA·PB=PC·PDABCDPO证明:连接AD、BC∵∠A、∠C都是BD所对的圆周角⌒∴ ∠A=∠C同理: ∠D=∠B（或∠APD＝∠CPB）∴△PAD∽△PCB即PA·PB=PC·PD例3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD·AB= AE·AC85°35°60°85°例4、在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ACD=∠ABC。求证：AC2=AB·ADABCD1、在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥BA于点D。证明：AC2＝AD·AB2、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，对角线BD⊥DC。证明：BD2＝AD·BCBDACEABDC3.如图已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且 。证明：EABDC解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =43.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB DBCA18　　相似三角形的识别方法有那些？方法1：通过定义方法5：“两角”定理：两角对应相等，两三角形相似。课 堂 小 结（这可是今天新学的，要牢记噢！)方法2： “平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。方法3：“三边”定理：三组对应的比相等，两个三角形相似.方法4：“两边夹角”定理：两组对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似.（不常用） 四、课外作业1.填《练习册》2.复习再见5、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D ABDCEF问：若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB : AC=DF : BF常见图形如图, ⊿ABC中,CD是边AB上的高,且AD:CD=CD:BD, 求∠C的大小.综合提高4.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条应用新知：画一画C4.如图, ∠B=90°,AB=BE=EF=FC=1,求证:(1) ⊿AEF∽⊿ CEA.(2) ∠1+ ∠2= 45 °证一证应用新知：已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。 学以致用例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。求证：延伸练习已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；F答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.课外思考题： 如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？ （提示：图有两种可能）泰勒斯测量金字塔高度的示意图: 如果人体高度AC＝1.7米，人影长BC＝2.2米，而B′C′＝176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？可证△ABC∽△A’B’C’即所以A’ C’=1.7x176÷2.2=136m怎样创造具备预备定理条件的图形？是否相似？利用相似三角形的定义？利用相似三角形的预备定理？ 条件不够可以证明！把小的三角形移动到大的三角形上。ABCD F E ∵ AM=DE,∠A=∠D，AN=DF∴ ΔAMN≌ΔDEF，∴ ∠AMN=∠E，又∵ ∠B=∠E，∴ ∠AMN=∠B，∴ MN//BC，∴ ΔAMN∽ΔABC。∴ ΔDEF∽ΔABC证明：在AB,AC上分别截取AM= DE,AN = DF已知:在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,求证: △ABC与△ DEF.判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 (两角对应相等，两三角形相似)找一找（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。（2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。答：相似三角形有 △ADE∽△AFG∽△ABC。答：相似三角形有 △AOB∽△FOE∽△DOC。 （3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °