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人教版中考一轮复习 第1讲 数与式--尖子班
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这是一份人教版中考一轮复习 第1讲 数与式--尖子班，文件包含第1讲数与式--尖子班教师版docx、第1讲数与式--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
第1讲 数与式
知识点1实数
无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
实数
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算，按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
6.平方根和立方根
【典例】
例1（2020秋•嵊州市期中）把下列各数填在相应的横线上
1.4，2020，-2，-32，0.3.1.，0，3-8，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）
（1）整数： ；
（2）分数： ；
（3）无理数： ．
例2（2020秋•杏花岭区校级期中）如图，边长为1的正方形ABCD，沿着数轴顺时针连续滚动．起点A和﹣2重合，则滚动2026次后，点C在数轴上对应的数是 ．
例3 （2020秋•会宁县期末）计算：（-12）﹣2÷20210﹣2sin60°﹣|1-3|．
例4 （2020秋•庐阳区校级月考）如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，根据图回答下列问题：
（1）比较大小：a﹣1 0；b+1 0；c+1 0；
（2）化简﹣|a﹣1|+|b+1|+|c+1|．
例5 （2020秋•北仑区期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）
（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 表示的点重合；
②3表示的点与数 表示的点重合；
③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是 、点B表示的数是
（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．
例6（2020春•西城区校级期中）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若38-y和32y-5互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
【随堂练习】
1．（2020秋•兴化市月考）将下列各数填在相应的集合里：227，1﹣π，﹣0.2020020002…，0，﹣（﹣200%），﹣|﹣5|，﹣（﹣1）2，3.14159
负数集合（ …）
正分数集合（ …）
自然数集合（ …）
无理数集合（ …）
2．（2020•吉安模拟）如图，有一个正三角形图片高为2厘米，A是三角形的一个顶点，现在A与数轴的原点O重合，将图片沿数轴负方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是 ．
3．（2020秋•肇源县期末）计算：|﹣3|+（﹣1）2014×（π﹣3.14）0-(-13)-2+tan45°．
4．（2020春•西城区校级期中）已知|x|=5，y是3的平方根，且|y﹣x|＝x﹣y，求x+y的值．
5．（2020春•定州市校级期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|m﹣1|+m+6的值．
知识点2 二次根式
二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
5.二次根式的运算
① 乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【典例】
例1（2020春•蔡甸区校级月考）若24n是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
例2 （2020秋•道里区期末）下列是最简二次根式的是（ ）
A．8 B．42 C．23 D．4a2b3
例3 （2020秋•静安区校级期中）计算：8x-2x2+2x29x．
例4 （2020秋•浦东新区月考）计算：2bab5•（-23a2b）÷13ba（a＞0）．
例5（2020秋•温江区校级月考）化简并代入求值：（6-2x）2﹣（2x+3）（2x-3），其中x=16-2．
【随堂练习】
1．（2020秋•绿园区期末）已知18n是正整数，则实数n的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．118
2．（2020春•江岸区校级月考）下列二次根式1.2，x+y，4a3，x2-4，15，26，其中是最简二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2020春•余干县校级期末）计算：a8a-2a218a+32a3．
4．（2020秋•静安区校级期中）计算：3ax÷（﹣2ba）•xa．（a＞0）
5．（2020春•雨花区校级月考）已知a=7-5，b=7+5，求值：
（1）ba+ab；
（2）a2b+ab2．
知识点3代数式
1.代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.
注：单独一个字母或一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则：
（1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写作“”或省略不写，字母之间的顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母之前.如：不要写成
（2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如：写成
（3）代数式中，如果字母系数是分数，要写成假分数，不能写成带分数.如：不要写成
（4）代数式运算中结果是加减运算的式子，若需注明单位，那么必须用括号把代数式括起来，.
4.简单的代数式求值
1、求代数式的值的一般步骤：
（1）代入，将指定的字母数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号，原来的数字都不能改变，对原来省略的乘号应还原.
（2）计算，按照代数式指明的运算计算出结果，运算时应分清运算种类及运算的顺序，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号的顺序进行.
2、求代数式值的一般方法: (1)直接代入求值；(2)整体代入求值
3、对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值.
【典例】
例1（2020秋•襄汾县期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．表示x，y，3，12的积的代数式为312xy
B．a是代数式，1不是代数式
C．a-3b的意义是a与3的差除b的商
D．m，n两数的差的平方与m，n两数积的2倍的和表示为（m﹣n）2+2mn
例2 （2020秋•达州期中）下列式子a3+b，S=ab，0，d，8+y，m+1=2，25＞27，代数式有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
例3（2020秋•福田区期末）观察下列等式：
（1）13＝12；
（2）13+23＝32；
（3）13+23+33＝62；
（4）13+23+33+43＝102；
根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（ ）
A．45 B．54 C．55 D．65
例4（2020秋•顺城区期末）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值为1，则第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，……；那么2021次输出的结果是 ．
【随堂练习】
1．（2020秋•凤县期末）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第2020次输出的结果是（ ）
A．1010 B．4 C．2 D．1
2．（2020秋•巴南区期中）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，通过观察，用你所发现的规律确定整数72023的个位数字是（ ）
A．9 B．7 C．3 D．1
知识点4整式
1. 单项式：数与字母的乘积，叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.
2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.
4. 多项式：几个单项式的和叫做多项式.
5. 多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项.
6. 常数项：在多项式中，不含字母的项叫做常数项.
7. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
8. 升幂排列：按某个字母的指数从小到大的顺序排列.
9. 降幂排列：按某个字母的指数从大到小的顺序排列.
10. 整式：单项式与多项式统称为整式.
11. 同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
12. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项的运算叫做合并同类项；合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母不变.
13. 合并同类项的步骤：① 找同类;②同类项系数相加，字母部分不变;③不是同类项的项照抄为结果的一项.
14. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反
15. 添括号法则：如果添括号的前面是正号，添括号后括号内各项符号不变；
如果添括号的前面是负号，添括号后括号内各项符号与以前的相反
整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
【典例】
例1（2020秋•双阳区期末）已知下面5个式子：①x2﹣x+1，②m2n+mn﹣1，③x4+1x+2，④5﹣x2，⑤﹣x2．
回答下列问题：
（1）上面5个式子中有 个多项式，次数最高的多项式为 （填序号），整式有 个．
（2）选择2个二次多项式，并进行加法运算．
例2（2020秋•恩施市期中）小明在抄写单项式时把字母中有的指数漏掉了，抄成-45xyz，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？这样的单项式有几个，不妨都写出来．
例3（2020秋•讷河市期末）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．
（1）求A﹣2B；
（2）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值；
（3）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
例4（2020春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
例5（2020秋•海淀区校级期中）（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2﹣4ab．
例6（2020秋•鼓楼区校级期中）化简求值：[（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣y（2x﹣y）]÷（﹣3y），其中x＝1，y＝﹣2．
【随堂练习】
1．（2020秋•达州期中）关于x，y的多项式x2+2kxy﹣3y2﹣6xy﹣y+k（xy﹣x）中不含xy项，求k的值．
2．（2020秋•利津县期中）已知（m+3）x3y|m+1|是关于x，y的七次单项式，求m2﹣3m+1的值．
3．（2020秋•西丰县期末）先化简，再求值：13（9x2﹣3y）﹣2（x2+y﹣1），其中x＝﹣2，y=-13．
4．（2020春•常州期末）已知a﹣b＝5，ab＝1，求下列各式的值：
（1）（a+b）2；
（2）a3b+ab3．
5．（2020秋•浦东新区期中）计算：（x+3）（x﹣3）﹣（2﹣x）2．
6．（2020秋•越秀区校级期中）先化简，再求值：[2（x﹣y）2﹣2（x﹣2y）（2y+x）]÷（﹣2y），其中x＝2，y＝﹣1．
知识点5 因式分解
1.分解因式
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
（2）因式分解与整式乘法是互逆关系.
注意：因式分解与整式乘法的区别和联系:
①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式；
②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
2.提公共因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: ab＋ac＝a（b＋c）
（2）概念内涵:
①因式分解的最后结果应当是“积”；
②公因式可能是单项式,也可能是多项式；
③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m（a＋b－c）
3.运用公式法
（1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
（2）主要公式：
①平方差公式：
②完全平方公式:
(3)易错点：
因式分解要分解到底.如就没有分解彻底.
【典例】
例1（2020•天心区校级模拟）因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝ ．
例2（2020秋•浦东新区期末）分解因式：x4﹣10x2+9．
例3（2020秋•金昌期末）因式分解
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
例4 （2020秋•皇姑区校级月考）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）解方程：x2+7x﹣18＝0；
（2）若x2﹣6xy+8y2＝0，则yx= ．
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是 ．
【随堂练习】
1．（2020•浙江自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝ ．
2. 因式分解：
（1）9x3y﹣xy3；
（2）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
3．（2020秋•建华区期末）分解因式：
（1）3a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）；
（2）4ab2﹣4b3﹣a2b．
4．（2020秋•怀安县期末）先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：
解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）
解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．
知识点6 分式
分式的有关概念及性质
1．分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
分式的运算
1．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4．零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【典例】
例1（2020春•卧龙区期中）（1）（﹣2）﹣2﹣（12）﹣1+（π﹣2020）0．
（2）a2xyb2m÷a2ymb2x2÷x2m．
例2（2020秋•海淀区校级月考）已知1y-1x=4，求2x+3xy-2yx-2xy-y的值．
例3 （2020秋•渝北区校级月考）x2-6x+9x2-9÷（x﹣3-3x-9x+3）-1x-1，其中x是方程x-12=x-23的解．
例4（2020秋•船营区期末）先化简，再求值：（m+2+52-m）•2m-43-m，其中m=12．
例5（2020•余杭区一模）如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为1x+3．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）原分式的值能等于17吗？为什么？
【随堂练习】
1.（2020春•兰考县期末）计算：
（1）（13）﹣1﹣（2020+2）0+（﹣2）2×|﹣1|；
（2）xx2-1÷x2x2+x．
2．（2020秋•乌苏市期末）先化简再求值（1-1x+2）÷x2+2x+1x2-4，其中x＝﹣3．
3. （2020秋•永年区期末）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
•y2x2-xy-y2-x2x2-2xy+y2=xx-y
（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；
（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5．
4. （2020•西宁）先化简，再求值：(1-aa2+a)÷a2-1a2+2a+1，其中a=2+1．
综合运用
1．（2020秋•靖江市期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内．
﹣3，134，﹣0.25，|﹣12|，﹣359，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5.2|，206，0，-π2，21%，305，2.010010001…
分数集合{ …}；
负有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
2．（2020秋•达州期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
（1）用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0．
（2）化简：|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|﹣|a|．
3．（2020春•丛台区校级月考）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值是（ ）
A．92+2 B．92-2 C．92+2或92-2 D．132
4．（2020秋•静安区月考）计算：8x2xy÷x3y×3y2x．
5．（2020秋•闵行区期中）先化简，再求值：[4(x+y)(x-y)+x+yxy(y-x)]÷x-yxy，其中x＝1，y＝2．
6．（2020秋•永吉县期末）某学生化简分式3(x-2)(x+1)-1x-2出现了错误，其解答过程如下：
原式=3(x-2)(x+1)-x+1(x-2)(x+1)（第一步）
=3-x+1(x-2)(x+1)（第二步）
=4-x(x+1)(x-2)．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
7．（2020秋•绥中县期末）计算与求值：
（1）计算：a2-b2a2+ab÷（a-2ab-b2a）．
（2）先化简再求值：[（3x+y）2﹣（3x﹣y）（3x+y）﹣2y2]÷2x2y2，其中x＝6，y=-12．
8．（2020秋•内江期中）仔细观察，探索规律：
（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝① （其中n为正整数，且n≥2）．
②（2﹣1）（2+1）＝ ；③（2﹣1）（22+2+1）＝ ；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝ ；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝ ；
（2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？
（3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？
9．（2020春•如东县校级月考）已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝ ；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
10．（2020秋•资中县期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3．
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2020，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（必须写出解答过程）．
第1讲 数与式
知识点1实数
无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
实数
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算，按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
6.平方根和立方根
【典例】
例1（2020秋•嵊州市期中）把下列各数填在相应的横线上
1.4，2020，-2，-32，0.3.1.，0，3-8，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）
（1）整数： ；
（2）分数： ；
（3）无理数： ．
例2（2020秋•杏花岭区校级期中）如图，边长为1的正方形ABCD，沿着数轴顺时针连续滚动．起点A和﹣2重合，则滚动2026次后，点C在数轴上对应的数是 ．
例3 （2020秋•会宁县期末）计算：（-12）﹣2÷20210﹣2sin60°﹣|1-3|．
例4 （2020秋•庐阳区校级月考）如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，根据图回答下列问题：
（1）比较大小：a﹣1 0；b+1 0；c+1 0；
（2）化简﹣|a﹣1|+|b+1|+|c+1|．
例5 （2020秋•北仑区期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）
（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 表示的点重合；
②3表示的点与数 表示的点重合；
③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是 、点B表示的数是
（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．
例6（2020春•西城区校级期中）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若38-y和32y-5互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
【随堂练习】
1．（2020秋•兴化市月考）将下列各数填在相应的集合里：227，1﹣π，﹣0.2020020002…，0，﹣（﹣200%），﹣|﹣5|，﹣（﹣1）2，3.14159
负数集合（ …）
正分数集合（ …）
自然数集合（ …）
无理数集合（ …）
2．（2020•吉安模拟）如图，有一个正三角形图片高为2厘米，A是三角形的一个顶点，现在A与数轴的原点O重合，将图片沿数轴负方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是 ．
3．（2020秋•肇源县期末）计算：|﹣3|+（﹣1）2014×（π﹣3.14）0-(-13)-2+tan45°．
4．（2020春•西城区校级期中）已知|x|=5，y是3的平方根，且|y﹣x|＝x﹣y，求x+y的值．
5．（2020春•定州市校级期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|m﹣1|+m+6的值．
知识点2 二次根式
二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
5.二次根式的运算
① 乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【典例】
例1（2020春•蔡甸区校级月考）若24n是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
例2 （2020秋•道里区期末）下列是最简二次根式的是（ ）
A．8 B．42 C．23 D．4a2b3
例3 （2020秋•静安区校级期中）计算：8x-2x2+2x29x．
例4 （2020秋•浦东新区月考）计算：2bab5•（-23a2b）÷13ba（a＞0）．
例5（2020秋•温江区校级月考）化简并代入求值：（6-2x）2﹣（2x+3）（2x-3），其中x=16-2．
【随堂练习】
1．（2020秋•绿园区期末）已知18n是正整数，则实数n的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．118
2．（2020春•江岸区校级月考）下列二次根式1.2，x+y，4a3，x2-4，15，26，其中是最简二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2020春•余干县校级期末）计算：a8a-2a218a+32a3．
4．（2020秋•静安区校级期中）计算：3ax÷（﹣2ba）•xa．（a＞0）
5．（2020春•雨花区校级月考）已知a=7-5，b=7+5，求值：
（1）ba+ab；
（2）a2b+ab2．
知识点3代数式
1.代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.
注：单独一个字母或一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则：
（1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写作“”或省略不写，字母之间的顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母之前.如：不要写成
（2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如：写成
（3）代数式中，如果字母系数是分数，要写成假分数，不能写成带分数.如：不要写成
（4）代数式运算中结果是加减运算的式子，若需注明单位，那么必须用括号把代数式括起来，.
4.简单的代数式求值
1、求代数式的值的一般步骤：
（1）代入，将指定的字母数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号，原来的数字都不能改变，对原来省略的乘号应还原.
（2）计算，按照代数式指明的运算计算出结果，运算时应分清运算种类及运算的顺序，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号的顺序进行.
2、求代数式值的一般方法: (1)直接代入求值；(2)整体代入求值
3、对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值.
【典例】
例1（2020秋•襄汾县期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．表示x，y，3，12的积的代数式为312xy
B．a是代数式，1不是代数式
C．a-3b的意义是a与3的差除b的商
D．m，n两数的差的平方与m，n两数积的2倍的和表示为（m﹣n）2+2mn
例2 （2020秋•达州期中）下列式子a3+b，S=ab，0，d，8+y，m+1=2，25＞27，代数式有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
例3（2020秋•福田区期末）观察下列等式：
（1）13＝12；
（2）13+23＝32；
（3）13+23+33＝62；
（4）13+23+33+43＝102；
根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（ ）
A．45 B．54 C．55 D．65
例4（2020秋•顺城区期末）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值为1，则第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，……；那么2021次输出的结果是 ．
【随堂练习】
1．（2020秋•凤县期末）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第2020次输出的结果是（ ）
A．1010 B．4 C．2 D．1
2．（2020秋•巴南区期中）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，通过观察，用你所发现的规律确定整数72023的个位数字是（ ）
A．9 B．7 C．3 D．1
知识点4整式
1. 单项式：数与字母的乘积，叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.
2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.
4. 多项式：几个单项式的和叫做多项式.
5. 多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项.
6. 常数项：在多项式中，不含字母的项叫做常数项.
7. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
8. 升幂排列：按某个字母的指数从小到大的顺序排列.
9. 降幂排列：按某个字母的指数从大到小的顺序排列.
10. 整式：单项式与多项式统称为整式.
11. 同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
12. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项的运算叫做合并同类项；合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母不变.
13. 合并同类项的步骤：① 找同类;②同类项系数相加，字母部分不变;③不是同类项的项照抄为结果的一项.
14. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反
15. 添括号法则：如果添括号的前面是正号，添括号后括号内各项符号不变；
如果添括号的前面是负号，添括号后括号内各项符号与以前的相反
整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
【典例】
例1（2020秋•双阳区期末）已知下面5个式子：①x2﹣x+1，②m2n+mn﹣1，③x4+1x+2，④5﹣x2，⑤﹣x2．
回答下列问题：
（1）上面5个式子中有 个多项式，次数最高的多项式为 （填序号），整式有 个．
（2）选择2个二次多项式，并进行加法运算．
例2（2020秋•恩施市期中）小明在抄写单项式时把字母中有的指数漏掉了，抄成-45xyz，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？这样的单项式有几个，不妨都写出来．
例3（2020秋•讷河市期末）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．
（1）求A﹣2B；
（2）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值；
（3）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
例4（2020春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
例5（2020秋•海淀区校级期中）（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2﹣4ab．
例6（2020秋•鼓楼区校级期中）化简求值：[（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣y（2x﹣y）]÷（﹣3y），其中x＝1，y＝﹣2．
【随堂练习】
1．（2020秋•达州期中）关于x，y的多项式x2+2kxy﹣3y2﹣6xy﹣y+k（xy﹣x）中不含xy项，求k的值．
2．（2020秋•利津县期中）已知（m+3）x3y|m+1|是关于x，y的七次单项式，求m2﹣3m+1的值．
3．（2020秋•西丰县期末）先化简，再求值：13（9x2﹣3y）﹣2（x2+y﹣1），其中x＝﹣2，y=-13．
4．（2020春•常州期末）已知a﹣b＝5，ab＝1，求下列各式的值：
（1）（a+b）2；
（2）a3b+ab3．
5．（2020秋•浦东新区期中）计算：（x+3）（x﹣3）﹣（2﹣x）2．
6．（2020秋•越秀区校级期中）先化简，再求值：[2（x﹣y）2﹣2（x﹣2y）（2y+x）]÷（﹣2y），其中x＝2，y＝﹣1．
知识点5 因式分解
1.分解因式
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
（2）因式分解与整式乘法是互逆关系.
注意：因式分解与整式乘法的区别和联系:
①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式；
②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
2.提公共因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: ab＋ac＝a（b＋c）
（2）概念内涵:
①因式分解的最后结果应当是“积”；
②公因式可能是单项式,也可能是多项式；
③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m（a＋b－c）
3.运用公式法
（1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
（2）主要公式：
①平方差公式：
②完全平方公式:
(3)易错点：
因式分解要分解到底.如就没有分解彻底.
【典例】
例1（2020•天心区校级模拟）因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝ ．
例2（2020秋•浦东新区期末）分解因式：x4﹣10x2+9．
例3（2020秋•金昌期末）因式分解
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
例4 （2020秋•皇姑区校级月考）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）解方程：x2+7x﹣18＝0；
（2）若x2﹣6xy+8y2＝0，则yx= ．
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是 ．
【随堂练习】
1．（2020•浙江自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝ ．
2. 因式分解：
（1）9x3y﹣xy3；
（2）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
3．（2020秋•建华区期末）分解因式：
（1）3a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）；
（2）4ab2﹣4b3﹣a2b．
4．（2020秋•怀安县期末）先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：
解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）
解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．
知识点6 分式
分式的有关概念及性质
1．分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
分式的运算
1．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4．零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【典例】
例1（2020春•卧龙区期中）（1）（﹣2）﹣2﹣（12）﹣1+（π﹣2020）0．
（2）a2xyb2m÷a2ymb2x2÷x2m．
例2（2020秋•海淀区校级月考）已知1y-1x=4，求2x+3xy-2yx-2xy-y的值．
例3 （2020秋•渝北区校级月考）x2-6x+9x2-9÷（x﹣3-3x-9x+3）-1x-1，其中x是方程x-12=x-23的解．
例4（2020秋•船营区期末）先化简，再求值：（m+2+52-m）•2m-43-m，其中m=12．
例5（2020•余杭区一模）如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为1x+3．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）原分式的值能等于17吗？为什么？
【随堂练习】
1.（2020春•兰考县期末）计算：
（1）（13）﹣1﹣（2020+2）0+（﹣2）2×|﹣1|；
（2）xx2-1÷x2x2+x．
2．（2020秋•乌苏市期末）先化简再求值（1-1x+2）÷x2+2x+1x2-4，其中x＝﹣3．
3. （2020秋•永年区期末）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
•y2x2-xy-y2-x2x2-2xy+y2=xx-y
（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；
（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5．
4. （2020•西宁）先化简，再求值：(1-aa2+a)÷a2-1a2+2a+1，其中a=2+1．
综合运用
1．（2020秋•靖江市期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内．
﹣3，134，﹣0.25，|﹣12|，﹣359，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5.2|，206，0，-π2，21%，305，2.010010001…
分数集合{ …}；
负有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
2．（2020秋•达州期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
（1）用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0．
（2）化简：|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|﹣|a|．
3．（2020春•丛台区校级月考）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值是（ ）
A．92+2 B．92-2 C．92+2或92-2 D．132
4．（2020秋•静安区月考）计算：8x2xy÷x3y×3y2x．
5．（2020秋•闵行区期中）先化简，再求值：[4(x+y)(x-y)+x+yxy(y-x)]÷x-yxy，其中x＝1，y＝2．
6．（2020秋•永吉县期末）某学生化简分式3(x-2)(x+1)-1x-2出现了错误，其解答过程如下：
原式=3(x-2)(x+1)-x+1(x-2)(x+1)（第一步）
=3-x+1(x-2)(x+1)（第二步）
=4-x(x+1)(x-2)．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
7．（2020秋•绥中县期末）计算与求值：
（1）计算：a2-b2a2+ab÷（a-2ab-b2a）．
（2）先化简再求值：[（3x+y）2﹣（3x﹣y）（3x+y）﹣2y2]÷2x2y2，其中x＝6，y=-12．
8．（2020秋•内江期中）仔细观察，探索规律：
（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝① （其中n为正整数，且n≥2）．
②（2﹣1）（2+1）＝ ；③（2﹣1）（22+2+1）＝ ；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝ ；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝ ；
（2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？
（3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？
9．（2020春•如东县校级月考）已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝ ；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
10．（2020秋•资中县期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3．
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2020，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（必须写出解答过程）．
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