人教版中考一轮复习 第5讲 二次函数--提高班 试卷

第5讲 二次函数

知识点1 二次函数图象和性质
概念：一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
1、

2.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
3.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
4. 二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【典例】
例1 已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
3
…
则这个二次函数图象的对称轴是直线　x＝1　．
【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是0相等，
∴此函数图象的对称轴为直线x=0+22=1．
故答案为：x＝1．
【方法总结】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
例2 对于抛物线y=-12（x+1）2+4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，4）；④x＞1时，图象从左至右呈下降趋势．其中正确的结论是　①③④　（只填序号）．
【解答】解：∵抛物线y=-12（x+1）2+4，
∴a=-12＜0，该抛物线的开口向下，故①正确；
对称轴是直线x＝﹣1，故②错误；
顶点坐标为（﹣1，4），故③正确；
当x＞﹣1时，图象从左至右呈下降趋势，故④正确；
故答案为：①③④．
【方法总结】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【随堂练习】
1．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为　±6　．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
即m2﹣36＝0，
解得m＝±6．
故答案为：±6．
2．已知：抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小，求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，
∴m2﹣1＝0，
∴m＝±1，
∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴m＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x，
当y＜0时，对应x的取值范围为0＜x＜3．

3．如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y＝（2a2﹣1）x2与y＝ax2．若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为　1+32　．

【解答】解：由图象可知，根据题意2a＝2a2﹣1，
解得a=1±32，
∵抛物线开口向上，
∴a=1+32，
故答案为1+32．
4．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值的差（　　）
A．与p、q的值都有关 B．与p无关，但与q有关
C．与p、q的值都无关 D．与p有关，但与q无关
【解答】解：∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+p2）2+4q-p24，
∴该抛物线的对称轴为x=-p2，且a＝1＞0，
当x=-p2＜0，
∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q，
∴函数最大值与最小值的差为1+p；
当x=-p2＞1，
∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q，
∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q，
∴函数最大值与最小值的差为﹣1﹣p；
当0≤x=-p2＜12，
此时当x＝1时，函数有最大值1+p+q，
当x=-p2时，函数有最小值q-p24，差为1+p+p24，
12＜x=-p2≤1，当x＝0时，函数有最大值q，当x=-p2时，函数有最小值q-p24，差为p24，
x=-p2=12，当x＝0或1时．函数有最大值q，
当x=-p2时，函数有最小值q-p24，差为p24，
综上所述，此函数最大值与最小值的差与p有关，但与q无关，
故选：D．

知识点2 二次函数与方程不等式综合
1、二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
抛物线与x轴交点的个数由一元二次方程中的决定。
若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若，抛物线图像与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。
2、二次函数与不等式的综合
二次函数与一元二次不等式之间的关系
若，的解集为；
的解集为。
若，的解集为；
的无解。
若，的解集为x可取任意实数。
的无解。
【典例】
例1（2020秋•呼和浩特期末）已知二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积为（　　）
A．-12 B．-14 C．﹣1 D．0
【解答】解：∵二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
∴该函数的对称轴为直线x=-a+22(2-a)=0，
解得a＝﹣2，
∴二次函数y＝4x2﹣1，
∴当y＝0时，0＝4x2﹣1，解得x1=-12，x2=12，
∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根是x1=-12，x2=12，
∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积是（-12）×12=-14，
故选：B．
【方法总结】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
例2（2020秋•松山区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（　　）

A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝3，x2＝﹣3
【解答】解：
∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，
∴把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0得，
﹣9+6+k＝0，解得k＝3，
∴原方程可化为：﹣x2+2x+3＝0，
∴x1+x2＝3+x2＝2，解得x2＝﹣1．
故选：B．
【方法总结】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，解答此类题目的关键是熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系．
例3（2020秋•同心县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（4，﹣2），且经过点B（0，6）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象与x轴的交点A和C的坐标．

【解答】解：（1）设该函数的解析式为y＝a（x﹣4）2﹣2，
∵该函数图象经过点B（0，6），
∴6＝a（0﹣4）2﹣2，
解得a=12，
∴该函数的解析式为y=12（x﹣4）2﹣2；
（2）当y＝0时，0=12（x﹣4）2﹣2，
解得，x1＝2，x2＝6，
即二次函数图象与x轴的交点A和C的坐标分别为（2，0），（6，0）．
【方法总结】
本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
例4（2020秋•长春期末）已知抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为A，与x轴的交点为B、C（点B在点C左边）．
（1）直接写出点A、B、C的坐标．
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这条抛物线．
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．

【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点A（2，4），
在y＝﹣x2+4x中，令y＝0，则﹣x2+4x＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
∴B（0，0），C（4，0）；
（2）描点、连线，画出函数图象如图：


（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
【方法总结】
此题主要考查了二次函数的顶点坐标求法以及图象与坐标轴求法，利用数形结合得出是解题关键．
例5（2020秋•梁子湖区期中）如图，二次函数y1=-25x2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D．
（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；
（2）求点D的坐标；
（3）结合图象，请直接写出y1≤y2时，x的取值范围：　x≤0或x≥132　．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（0，2）代入y1=-25x2+bx+c，得：c=2-25-b+c=0，
解得：b=85c=2，
∴二次函数的解析式为y1=-25x2+85x+2．
∵二次函数的对称轴为直线x=-852×(-25)=2，
∴C（2，0），
∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C，
∴n=22m+n=0，解得m=-1n=2，
∴一次函数的解析式为y2＝﹣x+2；
（2）解y=-25x2+85x+2y=-x+2得x=0y=2或x=132y=-92，
∴点D为（132，-92）；
（3）由图象可知，当x≤0或x≥132时，有y1≤y2．
故答案为x≤0或x≥132．
【方法总结】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•科左中旗期末）已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
【解答】解：令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0．
∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，
∴k≠0△=(-6)2-4k×(-9)＞0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：B．
2．（2020秋•西宁期末）二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是　x1＝﹣3，x2＝1　．

【解答】解：如图所示，该抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣3，0），该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（1，0）．
所以关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是：x1＝﹣3，x2＝1．
故答案是：x1＝﹣3，x2＝1．

3．（2020秋•定西期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1，则下列结论中正确的是（　　）

A．b＜0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根
【解答】解：A、根据图象，二次函数开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧可得a、b异号，即b＞0，故本选项结论错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项结论错误；
C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，则c＞0，故本选项结论错误；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是x＝1，
设另一交点为（x，0），
﹣1+x＝2×1，
x＝3，
∴另一交点坐标是（3，0），
∴x＝3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，
故本选项结论正确．
故选：D．
4．（2020秋•海珠区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C（﹣1，0）和D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）结合图象填空：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3的解是　x1＝0，x2＝2　；
②不等式ax2+bx+c＜0的解集为　x＜﹣1或x＞3　．

【解答】解：（1）由图象可知抛物线顶点为（1，4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵抛物线与y轴交于点B（0，3），
∴3＝a+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）①∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴（0，3）的对称点是（2，3），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝0，x2＝2；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴（﹣1，0）的对称点是（3，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3，
故答案为x＜﹣1或x＞3．

知识点3 二次函数的应用
1、根据题意把具体问题抽象成二次函数问题，熟练掌握数学建模的基本技巧。
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
3、掌握用二次函数建立最优化问题的模型。
【典例】
例1（2020•泸县模拟）某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值．

【解答】解：（1）y＝30﹣2x，（6≤x＜15）；

（2）设矩形苗圃的面积为S
S＝xy＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
由（1）知，6≤x＜15，
∴当x＝7.5时，S有最大值112.5
即当垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5．
【方法总结】
此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．

例2（2020秋•肃州区期末）喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．
（1）假设设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售该商品的利润为y元，求y与x之间的函数关系式．
（2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润？此时，该商品的定价为多少元？获得的最大利润为多少？
【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，
总销量为：（200﹣10x）件，
商品利润为：
y＝（60﹣50+x）（200﹣10x），
＝（10+x）（200﹣10x），
＝﹣10x2+100x+2000（0≤x＜20）；
（2）根据题意得y＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250，
所以，当x＝5时，y取得最大值为2250．
答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元．
【方法总结】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润＝一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．
例3（2020秋•朝阳区期末）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．

【解答】解：（1）如图②中，A（4，0），C（0，4），

设抛物线解析式为y＝ax2+k，
由题意，得16a+k=0k=4，
解得：a=-14k=4，
∴抛物线表达式为y=-14x2+4．
（2）2+0.42=2.2，
当x＝2.2时，y=-14×2.22+4＝2.79，
当y＝2.79时，2.79﹣0.5＝2.29 （m）．
答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m．
【方法总结】
本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式等知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．
【随堂练习】
1．（2020秋•兴宁区校级期中）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地的所用时间为（　　）

A．3s B．4s C．5s D．6s
【解答】解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2，
得t（20﹣5t）＝0，
解得t＝0（舍去）或t＝4，
即小球从飞出到落地所用的时间为4s，
故选：B．
2．（2020秋•硚口区期中）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面宽增加（26-4）m时，则水面应下降的高度是（　　）

A．2m B．1m C．6m D．（6-2）m
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，
∴OA＝OB=12AB＝2米，
∵抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把x=6代入抛物线解析式得出：y＝﹣0.5×6+2＝﹣1，
∴水面应下降的高度是1米，
故选：B．
3．（2020秋•硚口区月考）某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）矩形空地的面积能否为164m2，若能，求x的值；不能，请说明理由．

【解答】解：（1）AB＝xm，则BC＝（36﹣2x）m，
由题意：y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36，
∵0＜BC≤18，即0＜36﹣2x≤18，解得9≤x＜18，
即y＝﹣2x2+36（9≤x＜18）；

（2）由题意：﹣2x2+36x＝160，
解得x＝10或8．
∵9≤x＜18，
故x＝10；

（3）不能，理由：
由题意：﹣2x2+36x＝164，即x2﹣18x+82＝0，
即（x﹣9）2＝﹣1＜0，
故此方程无解，
故矩形空地的面积不能为164m2．
4．（2020秋•本溪期末）某商品在商场的售价为每件60元，每星期可卖出300件，甲、乙两位网红主播在直播间为商场售货．甲主播每件商品每涨价1元，每星期少卖出10件；改为乙时，每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，通过计算你认为甲、乙每星期谁能使利润最大？
【解答】解：由题意调整价格包括涨价和降价两种情况：
①涨价的情况：设每件涨价x元，
则每星期售出商品的利润y＝（60+x）（300﹣10x）﹣40（300﹣10x）y＝﹣10x2+100x+6000（0≤x≤30），
当，
∴当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元；
②降价的情况：设降价x元时的利润为，
y＝（60﹣x）（300+18x）﹣40（300+18x）＝﹣18x2+60x+6000（0≤x≤20），
答：定价为5813元时，利润最大，最大利润为6050元；
∴甲每星期能使利润最大．
5．（2020秋•二道区期末）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（Ⅱ）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

【解答】解：（Ⅰ）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，
解得：a=-15，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-15（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
（Ⅱ）当y＝1.8时，有-15（x﹣3）2+5＝1.8，
解得：x1＝﹣1，x2＝7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
综合运用
1．（2020秋•绥棱县期末）函数y＝3x2与直线y＝kx+2的交点为（2，b），则k+b＝　17　．
【解答】解：将x＝2代入函数y＝3x2，得
y＝3×22＝12，
∴函数y＝3x2经过点（2，12），
∵函数y＝3x2与直线y＝kx+2的交点为（2，b），
∴b＝12，12＝2k+2，
∴k＝5，
∴k+b＝5+12＝17，
故答案为：17．
2．（2021•宝山区一模）如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向　向上　．
【解答】解：由抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（﹣1，m），
∵顶点坐标在第二象限，
∴m＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：向上．
3．（2021•奉贤区一模）当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线．如果抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2是关于直线x＝﹣1的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为　y＝（x+3）2﹣1　．
【解答】解：抛物线C1：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，其顶点坐标是（1，﹣1）．
∴点（1，﹣1）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，﹣1）．
∵抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2是关于直线x＝﹣1对称，
∴抛物线C2的顶点坐标是（﹣3，﹣1），其开口方向与大小均与抛物线C1一致，
∴抛物线C2的表达式为y＝（x+3）2﹣1．
故答案是：y＝（x+3）2﹣1．
4．（2020秋•镇原县期末）抛物线y=-12x2+x﹣4的顶点坐标为　（1，-72）　．
【解答】解：y=-12x2+x﹣4=-12（x﹣1）2-72，
∴顶点的坐标是（1，-72），
故答案为（1，-72）．
5．（2020秋•呼和浩特期末）下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③y=12x2，④y＝3x2，其中抛物线开口按从大到小的顺序排列是　③①②④　．
【解答】解：∵|12|＜|1|＜|﹣2|＜|3|，
∴抛物线开口按从大到小的顺序排列是③①②④，
故答案为：③①②④．
6．（2020秋•西宁期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y2＝﹣x+c与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论错误的是（　　）

A．2a+b＝0 B．b2﹣4ac＞0
C．a﹣b+c＜0 D．当0＜x＜3时，y1＞y2
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以A正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以B正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以C正确，不符合题意；
∵直线y2＝﹣x+c与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴当0＜x＜3时，有一段是y1＜y2，所以D错误，符合题意，
故选：D．
7．（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（　　）

A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．

8．（2020秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）．
（1）求抛物线的对称轴及它与x轴两交点的坐标；
（2）已知点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
（3）若满足不等式ax2+2ax﹣3a≤5的x的最大值为2，直接写出实数a的取值范围．

【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4a），
令y＝0，得到ax2+2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣3或1，
∴抛物线与x轴交于（﹣3，0）和（1，0）．

（2）如图1中，当a＜0时，抛物线经过点A（0，4）时，a=-43，

观察图象可知当a≤-43时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．

如图2中，当a＞0时，抛物线经过B（3，4）时，a=13，

观察图象可知，a≥13时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
综上所述，满足条件的a的值为a≤-43或a≥13．

（3）当a＞0时，

当x＝2时，y＝5，即4a+4a﹣3a＝5，
∴a＝1，
观察图象可知a≥1时，满足条件．
当a＜0时，不存在符合题意的a的值．
综上所述，a≥1．
9．（2020秋•江岸区校级月考）如图1，用长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为28m，设垂直于墙的一边长为xm，平行于墙的一边长为ym．
（1）直接写出y与x满足的函数关系式及x的取值范围　y＝60﹣2x（16≤x＜30）　；
（2）求菜园面积S的最大值；
（3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为am的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为　0＜a≤43　．

【解答】解：（1）由题意得：y＝60﹣2x，
∵墙长为28m，篱笆长为60m，
∴0＜y≤28，
∴0＜60﹣2x≤28，
∴﹣60＜﹣2x≤﹣32，
∴16≤x＜30，
∴y＝60﹣2x（16≤x＜30）；
（2）∵y＝60﹣2x，
∴S＝xy
＝x（60﹣2x）
＝﹣2x2+60x
＝﹣2（x﹣15）2+450，
∵a＝﹣2＜0
∴开口向下，
∵对称轴为x＝15，
∴当16≤x＜30时，S随x增大而减小．
∴当x＝16时，S有最大值，最大值为448m2；
（3）由题意得：S路＝2ay+ax﹣2a2，
∴S种＝S﹣S路
＝﹣2x2+60x﹣[2a（60﹣2x）+ax﹣2a2]
＝﹣2x2+60x﹣120a+4ax﹣ax+2a2
＝﹣2x2+（3a+60）x+2a2﹣120a，
∵种菜部分的面积随x的增大而减小，且16≤x＜30，
∴-30a+602×(-2)≤16，
∴3a+60≤64，
∴3a≤4，
∴a≤43，
又∵a＞0，
∴0＜a≤43．
10．（2020秋•开福区校级月考）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，直接写出此时销售单价的取值范围．

【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：100=30k+b70=45k+b，
解得：k=-2b=160，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故函数有最大值，
∴当x＝55时，w有最大值，此时，w＝1250，
故销售单价定为55元时，该超市每天的利润最大，最大利润1250元；
（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，
解得：40≤x≤70，
故销售单价x的取值范围为40≤x≤70．

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日期：2021/1/22 11:06:15；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626