人教版中考一轮复习 第9讲 锐角三角函数--基础班

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第9讲  锐角三角函数 知识点1  锐角三角函数1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．      2. 特殊角的三角函数值3.锐角三角函数值的变化规律当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小；当0°<<90°时，tan随的增大而增大．【典例】例1（2021•崇明区一模）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（　　）A． B． C． D． 例2 （2021•松江区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（　　）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα 例3（2021•杨浦区一模）计算：．  【随堂练习】1．（2021•普陀区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，那么tanB 的值等于（　　）A． B． C． D． 2．（2021•浦东新区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（　　）A． B．2sinα C． D．2cosα 3．（2021•嘉定区一模）计算：2sin45°+2sin60°﹣tan60°•tan45°． 4．（2021•虹口区一模）计算：2sin60°． 知识点2  解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．2.基础知识在Rt△ABC中，∠A ∠B ∠C所对的边分别是a，b，c.（1）三边之间的关系：（2）锐角之间的关系：+==（3）边角之间的关系：=   =  =    =   （4）面积公式：S=ab=ch（为斜边上的高）3. 解直角三角形的基本类型及其解法【典例】例1（2020秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC∠BAC，求sin∠BPC．  例2（2020秋•兰州期末）如图，在△ABC中，cosB，sinC，AC＝10，求△ABC的面积．  【随堂练习】1．（2020秋•龙沙区期末）如图，在△ABC中，tanC，点D在边BC上，AB＝AD，CD＝2BD＝4，求sinB的值． 2．（2020秋•城关区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝4，解这个直角三角形．  知识点3  解直角三角形的应用——坡度、坡角问题1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母表示．2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比，用字母表示，则i==． 【典例】例1（2020•泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移　　m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）  例2 （2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　　米（结果保留根号）．  【随堂练习】1．（2020秋•南岗区校级月考）如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（　　）A．5 m B．10m C．5m D．8 m 2．（2020春•东阳市期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（　　）A．6m B．3m C．9m D．6m 知识点4  解直角三角形的应用——仰角俯角问题1.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【典例】例1（2020秋•长春期末）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96] 例2（2020秋•长春期末）如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】 【随堂练习】1．（2020秋•宽城区期末）如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】   2．（2020秋•二道区期末）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升120米到达C处，在C处观察A地的俯角为42°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）[参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90] 知识点5  解直角三角形的应用——方向角问题1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．2. 方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．【典例】例1 （2020•雁塔区校级模拟）某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨利用它们测量小河的宽度，于是，他去了河边，如图．他从河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向，然后他沿正东方向步行80米到达点B处，此时测得大树P在其北偏西60°方向．请根据以上所测得的数据，计算小河的宽度．（结果保留根号）  例2 （2020•惠阳区一模）一艘货船以30海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏东30°，20分钟后货船至B处，看见灯塔C在船的北偏东60°，已知灯塔C周围7.1海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁？（提供数据：1.414，1.732） 【随堂练习】1．（2020•大连）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（　　）A．100m B．100m C．100m D．m 2．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）A．200tan70°米 B．米 C．200sin 70°米 D．米 综合运用1．（2020秋•武功县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sinB，则AC的长是（　　）A．25 B．12 C．5 D．13 2．（2020秋•肇州县期末）计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；（2）cos45°•sin60°．  3．（2020秋•龙沙区期末）如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）  声明：试题解析著作权34 未经书面同意，不得复制4．（2020春•思明区校级月考）设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、cosA和tanA． 5．（2020秋•龙凤区校级月考）根据下列条件，解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6．  6. 6.（2020•海陵区一模）水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（1.73）求：（1）坝底AB的长（精确到0.1）；（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．  7．（2020•安阳县模拟）如图，在某次军事演习时，中国空警机A在北偏东22°方向上发现有不明敌机在钓鱼岛P附近徘徊，并快速报告给东海司令部．此时正在空警机A的正西方向200km处巡逻的中国歼击机B接到任务，迅速赶往北偏东60°方向上的钓鱼岛P处，已知歼击机B的速度是2.2马赫（1马赫大约等于1200km/h）．请根据以上信息，求出歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间．（结果精确到1s．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，1.73）  经书面同意，不得复制发布日期：2021/1/22 18:59:47；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626