人教版中考一轮复习 第11讲代几综合--提高班

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知识点1方程与几何综合题
这类题目大都是一元二次方程与几何的综合，运用根的判别式及根与系数的关系解决与方程的根有关的几何问题.在解题时，要求我们能熟练地将方程的根与几何图形中的条件联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实行转化，数形结合，建立一元二次方程的两根与几何图形之间的联系；同时要根据题意，找到临界值，进行合理的分类讨论.
【典例】
例1（2020秋•南沙区期中）已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a、b、5，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值为 ．
例2（2020秋•巩义市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k-12）＝0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．
例3（2020•清苑区一模）发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业
探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m2-14=0的两个实数根．
（1）当m＝2时，求△ABC的周长；
（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．
【随堂练习】
1．（2020•师宗县一模）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k-12）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
2．（2020秋•潮安区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
（2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．
①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？
②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？
3．（2020春•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b＝0必有实数根；
（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．
知识点2函数与几何综合题
函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．
【典例】
例1（2020秋•双流区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与y＝kx+2分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为（-23，0），点E是AC的中点，连接OE交CD于点F．
（1）求点F的坐标．
（2）若∠OCB＝∠ACD，求k的值．
（3）在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线BC上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B、P、M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标．
例2 （2020秋•昌图县期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=6x的图象交于A（2，m），B（n，1）两点，连接OA，OB．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例3（2020秋•温州校级期末）如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．
【随堂练习】
1．（2020秋•青羊区校级期中）如图：直线y＝﹣x+5分别与x轴，y轴交于A、B两点，
（1）求出A、B两点的坐标，计算AB的长度；
（2）若点C在x轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标；（不写解答过程）
（3）已知两点E（1，0），F（3，0），若点G在边AB上，点H在边OB上，画图并求出四边形EFGH周长的最小值．
2．（2020秋•舞钢市期末）如图，反比例函数y=kx（k＞0）的图象与正比例函数y=34x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
（1）当点A的横坐标为2时，求k的值；
（2）若k＝12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，
①求△ACB的面积；
②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．
3．（2020秋•建华区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
综合运用
1．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．
2．（2020秋•城关区校级月考）如图，直线y=-12x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y＝x交于点C，在如图线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P，Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q做x轴的垂线，交直线AB、OC于点E，F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．
3．（2020秋•南召县期中）如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，CB⊥x轴于B，CA⊥y轴于A，且AC、BC的长恰好是一元二次方程m2﹣9m+18＝0的两根（AC＞BC）；反比例函数y1=kx刚好过点C．
（1）直接写出k＝ ，直线AB的函数表达式y2＝ ；
（2）直线l⊥x轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交AC于点E，交直线AB于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t（秒）．问是否存在这样的t值，使四边形DFBC为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
4．（2020秋•成都期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+1与双曲线y=kx（k＞0）相交于点A，B，已知点B（a，﹣2），点C在x轴正半轴上，点D（2，﹣3），连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形．
（1）求k和m的值；
（2）请直接写出：当x取何值时，反比例函数值大于一次函数值？
（3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标．
5．（2020秋•九龙县期末）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM＝4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设D（m，n），矩形ABCD的周长为l，写出l与m的关系式，并求出l的最大值；
（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出F点的坐标．
解：x2﹣7x+10＝0
a＝1 b＝﹣7 c＝10
∵b2﹣4ac＝9＞0
∴x=-b±b2-4ac2a=7+32
∴x1＝5，x2＝2
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．