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中考数学优化探究一轮复习（理数） 第11章 选修4－5 不等式选讲课件PPT
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这是一份中考数学优化探究一轮复习（理数） 第11章 选修4－5 不等式选讲课件PPT，共51页。PPT课件主要包含了a＋b，ab≥0，a＝b，a＝b＝c，判断差的符号，A≥B，要证的结论，充分条件等内容，欢迎下载使用。
第十一章 选修系列选修4－5 不等式选讲
知识点一 绝对值不等式1.绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_________，当且仅当_________时，等号成立.定理2：如果a，b，c是实数，那么______________________，当且仅当__________________时，等号成立.
|a－c|≤|a－b|＋|b－c|
(a－b)(b－c)≥0
2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解.②利用零点分段法求解.③构造函数，利用函数的图像求解.
1.函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( )A.2 B.4C.6 D.10解析：由|x－4|＋|x－6|的几何意义可知|x－4|＋|x－6|≥2.
2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是_________.解析：①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x≤1；②当1
知识点二 不等式的证明1.基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_________，当且仅当_________时，等号成立.
3.综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的___________而得出命题_________.(2)分析法：从____________出发，逐步寻求使它成立的_________，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立.
2.已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为_________.解析：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).因为a≥b>0.所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案：M≥N
题型一 绝对值不等式的解法
[例] (2020·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图像；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集.
(2)函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y＝f(x＋1)的图像，如图(2)所示.
绝对值不等式的常见三种解法(1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；
③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|＜c(c＞0)或|x－a|－|x－b|＞c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.
(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解.
[对点训练](2021·衡水中学摸底)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋2|x－3|.(1)求不等式f(x)≤7x的解集；(2)若关于x的方程f(x)＝|m|存在实数解，求实数m的取值范围.
(2)∵f(x)＝|2x－6|＋|2x＋1|≥|(2x－6)－(2x＋1)|＝7，∴关于x的方程f(x)＝|m|存在实数解，即|m|≥7有解，解得m≥7或m≤－7.∴实数m的取值范围为{m|m≥7或m≤－7}.
不等式的证明是考查热点，归纳起来常见的命题角度有：(1)比较法证明不等式；(2)综合法证明不等式；(3)分析法证明不等式；(4)放缩法证明绝对值不等式.
比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论.(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论.[提醒] (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法.(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法.
考法(二) 综合分析法证明不等式[例2] (2021·长沙长郡中学调研)已知函数f(x)＝|x＋2|.(1)解不等式f(x)>4－|x＋1|；
综合法与分析法常常结合起来使用，称为综合分析法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确要干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程.
2.(2021·福州八中质检)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
解析：(1)依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.当x<－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.当－3≤x≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅.当x>1时，则2x＋2≥8，解得x≥3.∴不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≥3或x≤－5}.
绝对值不等式应用中的核心素养
直观想象、数学运算——不等式成立问题的应用[例] (2021·玉溪模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围.
处理绝对值不等式的成立问题，一是抓住等价转化思想，二是充分利用数形结合思想.
[对点训练]已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)≥3；(2)若存在实数x，使f(x)≤m2－m＋1成立，求实数m的取值范围.
由图可知f(x)min＝1.因为存在实数x，使f(x)≤m2－m＋1成立，所以1≤m2－m＋1，即0≤m2－m，解得m≤0或m≥1，所以实数m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞).
法二：由于|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1，所以f(x)min＝1.因为存在实数x，使f(x)≤m2－m＋1成立，所以1≤m2－m＋1，即0≤m2－m，解得m≤0或m≥1，所以实数m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞).
第十一章 选修系列选修4－5 不等式选讲
知识点一 绝对值不等式1.绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_________，当且仅当_________时，等号成立.定理2：如果a，b，c是实数，那么______________________，当且仅当__________________时，等号成立.
|a－c|≤|a－b|＋|b－c|
(a－b)(b－c)≥0
2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|
(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解.②利用零点分段法求解.③构造函数，利用函数的图像求解.
1.函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( )A.2 B.4C.6 D.10解析：由|x－4|＋|x－6|的几何意义可知|x－4|＋|x－6|≥2.
2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是_________.解析：①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x≤1；②当1
知识点二 不等式的证明1.基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_________，当且仅当_________时，等号成立.
3.综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的___________而得出命题_________.(2)分析法：从____________出发，逐步寻求使它成立的_________，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立.
2.已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为_________.解析：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).因为a≥b>0.所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案：M≥N
题型一 绝对值不等式的解法
[例] (2020·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图像；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集.
(2)函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y＝f(x＋1)的图像，如图(2)所示.
绝对值不等式的常见三种解法(1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；
③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|＜c(c＞0)或|x－a|－|x－b|＞c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.
(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解.
[对点训练](2021·衡水中学摸底)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋2|x－3|.(1)求不等式f(x)≤7x的解集；(2)若关于x的方程f(x)＝|m|存在实数解，求实数m的取值范围.
(2)∵f(x)＝|2x－6|＋|2x＋1|≥|(2x－6)－(2x＋1)|＝7，∴关于x的方程f(x)＝|m|存在实数解，即|m|≥7有解，解得m≥7或m≤－7.∴实数m的取值范围为{m|m≥7或m≤－7}.
不等式的证明是考查热点，归纳起来常见的命题角度有：(1)比较法证明不等式；(2)综合法证明不等式；(3)分析法证明不等式；(4)放缩法证明绝对值不等式.
比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论.(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论.[提醒] (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法.(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法.
考法(二) 综合分析法证明不等式[例2] (2021·长沙长郡中学调研)已知函数f(x)＝|x＋2|.(1)解不等式f(x)>4－|x＋1|；
综合法与分析法常常结合起来使用，称为综合分析法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确要干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程.
2.(2021·福州八中质检)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
解析：(1)依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.当x<－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.当－3≤x≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅.当x>1时，则2x＋2≥8，解得x≥3.∴不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≥3或x≤－5}.
绝对值不等式应用中的核心素养
直观想象、数学运算——不等式成立问题的应用[例] (2021·玉溪模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围.
处理绝对值不等式的成立问题，一是抓住等价转化思想，二是充分利用数形结合思想.
[对点训练]已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)≥3；(2)若存在实数x，使f(x)≤m2－m＋1成立，求实数m的取值范围.
由图可知f(x)min＝1.因为存在实数x，使f(x)≤m2－m＋1成立，所以1≤m2－m＋1，即0≤m2－m，解得m≤0或m≥1，所以实数m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞).
法二：由于|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1，所以f(x)min＝1.因为存在实数x，使f(x)≤m2－m＋1成立，所以1≤m2－m＋1，即0≤m2－m，解得m≤0或m≥1，所以实数m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞).
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