中考数学优化探究一轮复习（理数） 第2章 第2节　函数的单调性与最值课件PPT

这是一份中考数学优化探究一轮复习（理数） 第2章 第2节　函数的单调性与最值课件PPT，共51页。PPT课件主要包含了上升的，下降的，增函数，减函数，区间D，知识点二函数的最值，fx≤M，fx≥M，答案8，答案1等内容，欢迎下载使用。

第二章 函数、导数及其应用第二节　函数的单调性与最值
知识点一　函数的单调性1．单调函数的定义
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)

2．单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，_________叫做函数y＝f(x)的单调区间．
二级结论函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)的单调性相同，若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．
必明易错1．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数．
3．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
1．函数y＝x2－6x－6在区间[2，4]上是(　　)A．递减函数　　　　　　B．递增函数C．先递减再递增函数 D．先递增再递减函数解析：函数y＝x2－6x－6的对称轴为直线x＝3，且抛物线开口向上，所以函数在[2，3]上为减函数，在[3，4]上为增函数．
解析：因为函数的定义域是(－∞，0)∪(2，＋∞)，令g(x)＝x2－2x，由复合函数的单调性可知，原函数的递减区间即为函数g(x)的递增区间，也即为(2，＋∞)．
3．函数y＝|x2－4x＋3|的单调递增区间是__________．
解析：先作出函数y＝x2－4x＋3的图像，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图像如图所示．由图像可知，函数的递增区间为[1，2]，[3，＋∞)．
答案：[1，2]，[3，＋∞)
题型一　函数单调性的判断与单调区间的求法
1．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－2)　　　　　B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4．因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4， ＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
确定已知解析式的函数单调区间的三种方法
题型二　函数的值域(最值)的求法
解析：法一：在同一直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图像，依题意，h(x)的图像如图所示．
易知点A(2，1)为图像的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1．
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，
求函数最值(值域)的方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求出最值(值域)．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点求出最值(值域)，若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法求解．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求最值(值域)．(4)导数法：先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，再结合端点值，求出最值(值域)．(5)换元法：对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(值域)．
(7)配方法：它是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题均可使用配方法，求解时要注意f(x)整体的取值范围．
题型三　函数单调性的应用
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中．常见的命题角度有：(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；(2)解函数不等式；(3)利用单调性求参数的取值范围或值．
利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解．
[解析]　∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图像是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1．
利用函数的单调性求参数的取值范围根据函数的单调性构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解，或先得到图像的升降情况，再结合图像求解．[注意]　讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意分段点处的函数值．
[题组突破]1．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(lg0．53)，b＝f(lg25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|－1．图像如图所示，由函数的图像可知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∵a＝f(lg0．53)＝f(lg23)，b＝f(lg25)，c＝f(0)，又lg25＞lg23＞0，∴b＞a＞c．
函数单调性应用问题中的核心素养
[解析]　由函数f(x)对定义在(－∞，2]上的任意两个值x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)成立可知(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0成立，即函数f(x)是(－∞，2]上的增函数，又函数满足f(x＋2)＝f(2－x)，则函数f(x)关于直线x＝2对称，由f(a)≤f(3)可知|a－2|≥|3－2|，所以a－2≤－1或a－2≥1，即a≤1或a≥3．所以实数a的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
求解与函数的单调性有关的问题，首先应判断函数的单调性，然后根据函数的单调性求解，而判断函数的单调性需要利用推理论证法．
(二)数学抽象——抽象函数中的单调性应用问题[例2]　已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x＞0时，f(x)＞－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4．
[解析]　(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．证明如下：在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1．又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}．
求解抽象函数问题的切入点与关键点切入点：(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能考虑用定义证明；(2)将不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”．关键点：(1)根据单调性定义，赋值构造出f(x2)－f(x1)，并与0比较大小；(2)根据已知条件，将所求的不等式转化为f(M)＜f(N)的形式，从而利用单调性求解．
[题组突破]1．已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋5，若对任意的x1，x2∈(4，＋∞)，当x1＞x2时，总有f(x1)－f(x2)＞x2－x1，则实数a的取值范围是__________．
解析：由x1＞x2时，总有f(x1)－f(x2)＞x2－x1，可知f(x1)＋x1＞f(x2)＋x2，因此函数h(x)＝f(x)＋x在区间(4，＋∞)上是增函数．因为h(x)＝f(x)＋x＝x2－2ax＋5的单调递增区间是(a，＋∞)，因此a≤4．答案：(－∞，4]
2．已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0．(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．证明：(1)因为对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)．再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，从而f(－1)＝0，于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．