2023届河南省焦作市普通高中高三下学期第二次模拟考试数学（理科）试题（PDF版）

焦作市普通高中2022~2023学年高三年级第二次模拟考试

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

2．设，则（    ）

A．    B．    C．3    D．

3．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A．  B．   C．   D．

4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ）

A．    B．   C．   D．

5．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（    ）

A．7    B．8    C．9    D．11

6．已知函数，则在上（    ）

A．单调递增   B．单调递减   C．先增后减   D．先减后增

7．已知等比数列的公比的平方不为1，，则“是等比数列”是“是等差数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

8．定义在上的函数满足，则的图象不可能为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在正方形中，，分别是边，上的点，，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

10．在直三棱柱中，为等边三角形，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

11．存在函数满足对任意，都有，给出下列四个函数：

①，②③，④．

所以函数不可能为（    ）

A．①③    B．①②    C．①③④   D．①②④

12．设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（    ）

A．    B．

C．   D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知单位向量，，满足，则______．

14．的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为______．

15．现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为______．

16．在正四棱锥中，为的中点，过作截面将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，，则的最大值是______．

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）已知求数列的前20项和．

18．（12分）

某学校食堂中午和晚上都会提供，两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晚上还选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晚上选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为．

（1）若同学甲晚上选择类套餐，求同学甲中午也选择类套餐的概率；

（2）记某宿舍的4名同学在晚上选择类套餐的人数为，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求的分布列及数学期望．

19．（12分）

如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且．现将沿翻折到，如图2．

（1）证明：．

（2）已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由．

20．（12分）

已知是椭圆的右焦点，且在椭圆上，垂直于轴．

（1）求椭圆的方程．

（2）过点的直线交椭圆于，（异于点）两点，为直线上一点．设直线，，的斜率分别为，，，若，证明：点的横坐标为定值．

21．（12分）

已知函数．

（1）若，求的极值；

（2）若，是的两个零点，且，证明：．

（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线过原点，且倾斜角为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线和直线的极坐标方程；

（2）已知曲线与直线交于，两点，若，求直线的直角坐标方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）已知函数的最小值为，且，，都是正数，，证明：．