中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与等腰三角形问题（2份打包，教师版+原卷版）

中考数学二轮压轴培优专题
二次函数与等腰三角形问题
已知二次函数y＝x2﹣(2m＋2)x＋m2＋2m(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为B，将二次函数的图象沿y轴翻折，所得图象的顶点为B1，若△ABB1是等边三角形，求m的值．
【答案解析】解：(1)证明：令y＝0，则x2﹣(2m＋2)x＋m2＋2m＝0
∵△＝[﹣(2m＋2)]2﹣4(m2＋2m)＝4m2＋8m＋4﹣4m2﹣8m＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点．
(2)∵抛物线y＝x2﹣(2m＋2)x＋m2＋2m与y轴交于点A，
∴A(0，m2＋2m)；
∵y＝x2﹣(2m＋2)x＋m2＋2m＝[x﹣(m＋1)]2﹣1，
∴该抛物线的顶点为B(m＋1，﹣1)，
将该抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线的顶点为B1(﹣m﹣1，﹣1)；
如图，设BB1交y轴于点D，
由翻折可知，△ABB1是以y轴为对称轴的轴对称图形，且边BB1被y轴垂直平分，
∴AD垂直平分BB1，
∴BB1∥x轴，D(0，﹣1)，∠ADB＝90°；
当△ABB1是等边三角形时，则∠ABD＝60°，
∴tan∠ABD＝，∴，
整理，得|m＋1|＝，解得m＝﹣1＋或m＝﹣1﹣．





如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案解析】解：(1)由题意得：y＝﹣(x＋1)•(x﹣3)，
∴y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)设P(1，m)，
∵PB2＝PC2，
∴(3﹣1)2＋m2＝1＋(m﹣3)2，
∴m＝1，
∴P(1，1)；
(3)假设存在M点满足条件，作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，

∵PQ的解析式为y＝﹣x＋2，
∴Q(0，2)，
∵C(0，3)，S△BCM＝S△BCP，
∴N(0，4)，
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x＋4，
由﹣x2＋2x＋3＝﹣x＋4得，x＝，
∴M点横坐标为或．



如图，抛物线y＝x2＋bx﹣1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案解析】解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴b＝2，
∴y＝x2＋2x﹣1；
(2)令x2＋2x﹣1＝0，
∴x＝﹣＋2或x＝﹣﹣2，
∴A(﹣﹣2，0)，B(﹣＋2，0)，
∴BA＝4，
∴△ABC的面积＝×4×1＝2；
(3)点E存在，理由如下：设E(﹣，t)，
由y＝x2＋2x﹣1，可求C(0，﹣1)，D(﹣，﹣4)，
△CDE为等腰三角形，分三种情况：
①CD＝CE，∴3＋9＝3＋(t＋1)2，
∴t＝2或t＝﹣4，
∴E(﹣，2)或E(﹣，﹣4)(舍)；
②CD＝DE，3＋9＝(t＋4)2，
∴t＝2﹣4或t＝﹣2﹣4，
∴E(﹣，2﹣4)或E(﹣，﹣2﹣4)；
③CE＝DE，3＋(t＋1)2＝(t＋4)2，
∴t＝﹣2，
∴E(﹣，﹣2)；
综上所述：得△CDE为等腰三角形时，
E点坐标为(﹣，2)或(﹣，2﹣4)或(﹣，﹣2﹣4)或(﹣，﹣2)．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
(3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案解析】解：(1)由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x＋4①；
(2)对于y＝x2﹣5x＋4，令y＝x2﹣5x＋4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，
故点B的坐标为(4，0)，点C(0，4)，
设直线BC的表达式为y＝kx＋t，
则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x＋4，
设点P的坐标为(x，﹣x＋4)，则点Q的坐标为(x，x2﹣5x＋4)，
则PQ＝(﹣x＋4)﹣(x2﹣5x＋4)＝﹣x2＋4x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
此时点Q的坐标为(2，﹣2)；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；
(3)∵D是OC的中点，则点D(0，2)，
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x＋2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，

故设直线QE的表达式为y＝2x＋r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，
联立①②并解得(不合题意的值已舍去)，
故点E的坐标为(5，4)，
设点F的坐标为(0，m)，
由点B、E的坐标得：BE2＝(5﹣4)2＋(4﹣0)2＝17，
同理可得，当BE＝BF时，即16＋m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25＋(m﹣4)2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16＋m2＝25＋(m﹣4)2，解得m＝；
故点F的坐标为(0，1)或(0，﹣1)或(0，)．










如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案解析】解：(1)由题意得，点A、B、C的坐标分别为(﹣2，0)、(4，0)、(0，8)，
设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
则，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋8；
(2)存在，理由：
当∠CP′M为直角时，

则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，
则点P′的坐标为(1，8)；当∠PCM为直角时，
在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝2＝tanα，
则sinα＝，cosα＝，
在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，则BM＝3，
同理可得，MN＝6，
由点B、C的坐标得，BC＝4，则CM＝BC﹣MB＝，
在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，
则PM＝＝，
则PN＝MN＋PM＝6＋＝，故点P的坐标为(1，)，
故点P的坐标为(1，8)或(1，)；
(3)∵D为CO的中点，则点D(0，4)，
作点C关于函数对称轴的对称点C′(2，8)，作点D关于x轴的对称点D′(0，﹣4)，
连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，

理由：G走过的路程＝DE＋EF＋FC＝D′E＋EF＋FC′＝C′D′为最短，
由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，
对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，
故点E、F的坐标分别为(，0)、(1，2)；
G走过的最短路程为C′D′＝2；
(4)存在，理由：①当点Q在y轴的右侧时，设点Q的坐标为(x，﹣x2＋2x＋8)，
故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，

∵∠MQC＋∠RQN＝90°，∠RQN＋∠QRN＝90°，
∴∠MQC＝∠QRE，
∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，
∴△ANQ≌△QMC(AAS)，
∴QN＝CM，
即x＝﹣x2＋2x＋8，解得x＝(不合题意的值已舍去)，
故点Q的坐标为(，)；
②当点Q在y轴的左侧时，
同理可得，点Q的坐标为(，)．
综上，点Q的坐标为(，)或(，)．















如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA＋45°时，求点P的坐标；
(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

【答案解析】解：(1)∵A(﹣1，0)，B(4，0)是抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴的两个交点，
且二次项系数a＝﹣，
∴根据抛物线的两点式知，y＝﹣x2＋x＋2．
(2)根据抛物线表达式可求C(0，2)，即OC＝2．
∴＝＝2，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC＋∠CAO＝∠CBA＋45°＋∠CAO＝∠ACO＋∠CAO＋45°＝135°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，
设P(m，n)，且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m＋1＝﹣n①，
又∵P在抛物线上，
∴②，
联立①②两式，解得m＝6(﹣1舍去)，此时n＝﹣7，
∴点P的坐标是(6，﹣7)．
(3)设PH与x轴的交点为Q，P(a，﹣a2＋a＋2)，
则H(a，﹣a+2)，PH＝﹣a2＋2a，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，
∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，
∴AQ＝2PQ，
即a＋1＝2(﹣a2＋a＋2)，解得a＝3(﹣1舍去)，此时PH＝．
若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，

∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠QHB，
又∵∠ACF＝∠BQH＝90°，
∴△ACF∽△BQH，
∴CF＝AC＝，
在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，F(1，)，
∴AF：y=x+，
将上式和抛物线解析式联立并解得x＝(﹣1舍去)，
此时 PH＝．
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E(见上图)，
∵∠CAF＋∠CFA＝90°，
∠PAQ＋∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ，即 AP平分∠CAB，
∴CE＝CA＝，
∴E(，2)，
∴AE：，
联立抛物线解析式，解得x＝5﹣(﹣1舍去)．
此时 PH＝3-5．
∴当FP＝FH时，PH＝；
当PF＝PH时，PH＝；
当HF＝HP时，PH＝3-5.
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5，0)，点B(1，0)(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝﹣x﹣经过点A，且与y轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
(3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H(点H在第一象限)，当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．

【答案解析】解：(1)将A(﹣5，0)，B(1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋5(a≠0)得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x＋5；
(2)∵D(﹣2，9)，B(1，0)，点N是抛物线上的一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形，
∴此题有两种情形：
①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，
∴N1(﹣5，0)，
②当DN＝BN时(如图1)，N在BD的垂直平分线上，
BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，
∵∠KBO＋∠OKB＝90°，∠KBO＋∠IQB＝90°，
∴∠OKB＝∠IQB，
在Rt△OKB中，sin∠OKB＝，
∴sin∠IQB＝，
∵I是BD的中点，BD＝3，
∴BI＝，
∴BQ＝15，
∴Q(﹣14，0)，I(﹣，)
设yQI＝kx＋b，代入得：
，解得：，
∴yQI＝x+，
联立得：，解得：x＝，
∴yQI＝，
N2(，)，N3(，)，
(3)如图1，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，
∴∠FGM＝∠FMG，
∴∠EFG＝∠BAE＋∠FGM＝∠BAE＋∠FMG＝∠BAE＋2∠BAE＝3∠BAE，
移动F点，当HG＝2FG时，点F为所求．
过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，
∴△FPG∽△HRG，
∴＝＝＝，GR＝2PG，HR＝2PF，
设F(m，﹣m﹣)，
则OP＝﹣m，PF＝m＋，HR＝2PF＝m＋5，
∵AP＝m＋5，
∴AP＝2PF，
∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，
∴在Rt△PMF中，PM2＋PF2＝MF2，PM2＋PF2＝(2PF﹣MP)2，
∴PM＝PF＝×＝m＋，
∴GP＝m＋，
∴GR＝2PG＝m＋，
∴PR＝3PG＝3PM，
∴AR＝AP＋PR＝AP＋3PM＝2PF＋3×PF＝＝，
∴OR＝，∴H(，m＋5)，
∵B(1，0)，D(﹣2，9)，
∴BD解析式为：yBD＝﹣3x＋3，
把H代入上式并解得：m＝﹣，
再把m＝﹣代入y＝﹣x﹣得：y＝﹣，
∴F(﹣，﹣)．







如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；
(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．

【答案解析】解：(1)把A(﹣1，0)，点C(0，3)的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1．
(2)如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P(1，m)．

∵点D与点C关于对称轴对称，C(0，3)，
∴D(2，3)，
∵B(3，0)，
∴T(，)，BD＝，
∵∠BPD＝90°，DT＝TB，
∴PT＝BD＝，
∴(1﹣)2＋(m﹣)2＝()2，解得m＝1或2，
∴P(1，1)或(1，2)．
(3)当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N(1，t)，设抛物线的对称轴交x轴于E．

∵△BMN是等边三角形，
∴∠NMB＝∠NBM＝60°，
∵∠NBT＝90°，
∴∠MBT＝30°，BT＝BN，
∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°，
∴∠MBT＝∠BTM＝30°，
∴MB＝MT＝MN，
∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°，
∴∠NBE＝∠BTJ，
∵∠BEN＝∠TJB＝90°，
∴△BEN∽△TJB，
∴＝＝＝，
∴BJ＝t，TJ＝2，
∴T(3＋t，2)，
∵NM＝MT，
∴M(，)，
∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，
∴＝﹣()2＋2×＋3，
整理得，3t2＋(4＋2)t﹣12＋4＝0，解得t＝﹣2(舍弃)或﹣，
∴M(3﹣，﹣)．
如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N(1，n)，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．

同法可得T(3﹣n，﹣2)，M(，)，
则有＝﹣()2＋2×＋3，
整理得，3n2＋(2﹣4)n﹣12﹣4＝0，解得n＝﹣﹣或2(舍弃)，
∴M(3+，﹣﹣)，
综上所述，满足条件的点M的横坐标为3﹣或3+．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．
(1)求该抛物线与直线AC的解析式；
(2)若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1(a≠0)，新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案解析】解：(1)把A(﹣1，0)、B(3，0)代入y＝ax2﹣x＋c，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣；
∵OC＝OA＝1，
∴C(0，1)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋1，则﹣k＋1＝0，解得k＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x＋1．
(2)如图1，作EG⊥x轴交直线AC于点G，作EH⊥AD于点H.
设E(x，x2﹣x﹣)(﹣1＜x＜3)，则G(x，x＋1)，
∴EG＝x＋1﹣(x2﹣x﹣)＝﹣x2＋2x＋．
∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，
∴∠OCA＝45°，AC＝，
∵∠HGE＝∠OCA＝45°，
∴EH＝EG•sin45°＝(﹣x2＋2x＋)，
∴S△ACE＝××(﹣x2＋2x＋)＝﹣x2＋x＋＝﹣(x﹣2)2＋，
∵﹣＜0，且﹣1＜2＜3，
∴当x＝2时，S△ACE最大＝，此时E(2，﹣)．
∴△ACE面积的最大值为，此时点E的坐标为(2，﹣)．
(3)存在．
如图2，在直线AC上取一点A′，使它的横坐标为1，则A′(1，2)，AA′＝2，
∴点A′即为抛物线平移后点A的对应点，
可知抛物线向右、向上各平移2个单位长度．
∵y＝x2﹣x﹣＝(x﹣1)2﹣2，
∴平移后的抛物线为y＝(x﹣3)2，其顶点坐标为(3，0)；
∵原抛物线与新抛物线都经过点B(3，0)，
∴点B即为新抛物线与原抛物线的交点F．
作A′K⊥x轴于点K，则∠AKA′＝∠FKA′＝90°，AK＝A′K＝FK＝2，
∴∠AA′K＝∠FA′K＝45°，
∴∠AA′F＝90°．
由，得或(不符合题意，舍去)，
∴D(5，6)，
∴FD＝2．
①当FP1＝FD时，则点P1与点D关于点A′对称，
∴P1(﹣3，﹣2)；
②当P2D＝FD＝2时，
∵CD＝×5＝5，
∴CP2＝5﹣2，
∴xp＝×(5﹣2)＝5﹣2，yp＝5﹣2＋1＝6﹣2，
P2(5﹣2，6﹣2)；
③当DP3＝FP3时，
∵∠P3DF＝∠FDP1，∠DFP3＝∠DP1F，
∴△P3DF∽△FDP1，
∴，
∵DP1＝×(5＋3)＝8，
∴P3D＝＝＝，
∴CP3＝5﹣＝，
∴xp＝×＝，yp＝+1＝，
∴P3(，)；
④当P4D＝FD＝2时，则CP4＝5＋2，
∴xp＝×(5＋2)＝5＋2，yp＝5＋2＋1＝6＋2，
∴P4(5＋2，6＋2)．
综上所述，点P的坐标为(﹣3，﹣2)或(5﹣2，6﹣2)或(，)或(5＋2，6＋2)．

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2＋bx＋c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧)．
(1)求抛物线的解析式及点B坐标；
(2)设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝　　 ；
(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；
(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案解析】解：(1)∵直线y＝﹣3x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、C，
∴A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，
∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
当y＝0时，由x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B(3，0)．
(2)设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，解得k＝1，
∴y＝x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴抛物线的顶点H(1，﹣4)，
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴F(1，﹣2)，
∴FH＝﹣2﹣(﹣4)＝2，
∴S△BCH＝FH•OG＋FH•BG＝FH•OB＝×2×3＝3．
故答案为：3．
(3)设E(x，x2﹣2x﹣3)(0＜x＜3)，则M(x，x﹣3)，
∴ME＝x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)＝﹣x2＋3x＝﹣(x﹣)2＋，
∴当x＝时，ME最大＝，此时M(，﹣)．
(4)存在．如图3，由(2)得，当ME最大时，则D(，0)，M(，﹣)，
∴DO＝DB＝DM＝；
∵∠BDM＝90°，
∴OM＝BM＝．
点P1、P2、P3、P4在x轴上，
当点P1与原点O重合时，则P1M＝BM＝，P1(0，0)；
当BP2＝BM＝时，则OP2＝3﹣，∴P2(3﹣，0)；
当点P3与点D重合时，则P3M＝P3B＝，P3(，0)；
当BP4＝BM＝时，则OP4＝3＋，∴P4(3＋，0)．
综上所述，P1(0，0)，P2(3﹣，0)，P3(，0)，P4(3＋，0)．