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中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与交点综合问题（2份打包，教师版+原卷版）
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1.如图，已知二次函数y＝x2＋2x＋c与x轴正半轴交于点B(另一个交点为A)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2＋2x＋c≥kx＋b的解集；
(3)已知点P(﹣3，1)，Q(2，2t＋1)，且线段PQ与抛物线y＝x2＋2x＋c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．
2.如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x＋4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B(点B在右侧)，与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒eq \r(5)和2eq \r(5)个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
(1)求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点(0，0)的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2(a≠0)．
(1)当a＝﹣eq \f(1,8)时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线(用含a的代数式表示)及二次函数图象经过的定点坐标是 ．
(3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
(4)已知点A(0，﹣3)、B(5，﹣3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
4.已知二次函数y＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)(a为常数，且a≠0)．
(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)若点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，比较y1与y2的大小；
(3)当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点
(1)求分别以A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点为顶点的二次函数表达式；
(2)求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；
(3)设(m，0)是该函数图象与x轴的一个公共点．当﹣3＜m＜﹣1时，结合函数图象，写出a的取值范围．
6.在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是(0，﹣3)，(0，4)，点P(m，0)(m≠0)是x轴上一个动点，过点A作直线AC⊥BP于点D，直线AC与x轴交于点C，过点P作PE∥y轴，交AC于点E．
(1)当点P在x轴的正半轴上运动时，是否存在点P，使△OCD与△OBD相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
(2)小明通过研究发现：当点P在x轴上运动时，点E(x，y)也相应的在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上运动，为了确定函数解析式小明选取了一些点P的特殊的位置，计算了点E(x，y)的坐标，列表如下：
请填写表中空格，并根据表中数据求出二次函数的函数解析式；
(3)把(2)中所求的抛物线向左平移n个单位长度，把直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个单位长度，如果平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点，那么请直接写出n的取值范围．
7.在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣6m(x≤2m，m为常数)的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C(﹣2，﹣2)．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．
(1)当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；
(2)若图象G过点(3，﹣9)，求出m的取值范围；
(3)若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
(4)图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
8.定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．
(1)函数y＝x＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数y＝(x﹣2)2＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ；
(2)已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P(m，3)互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
(3)已知点A(0，1)，点B(4，1)，点C(2，0)，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
9.对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作d(M，N)．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d(M，N)＝0．一次函数y＝kx＋2的图象为L，L与y轴交点为D，在△ABC中，A(0，1)，B(﹣1，0)，C(1，0)．
(1)求d(点D，△ABC)＝ ；当k＝1时，求d(L，△ABC)＝ ；
(2)若d(L，△ABC)＝0，直接写出k的取值范围 ；
(3)函数y＝x＋b的图象记为W，若d(W，△ABC)≤2，则b的取值范围是 ．
10.若一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点”，例如直线y＝x＋2的图象上的(﹣1，1)即为反值点．
(1)判断反比例函数y=eq \f(9,x)的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；
(2)判断关于x的函数(a是常数)的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；
(3)将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m(m为常数，且m＞0)个单位后，若在其图象上存在两个反值点，求m的取值范围．
x
﹣2eq \r(3)
0
2eq \r(3)
y
0
﹣3
0
1.如图，已知二次函数y＝x2＋2x＋c与x轴正半轴交于点B(另一个交点为A)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2＋2x＋c≥kx＋b的解集；
(3)已知点P(﹣3，1)，Q(2，2t＋1)，且线段PQ与抛物线y＝x2＋2x＋c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．
2.如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x＋4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B(点B在右侧)，与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒eq \r(5)和2eq \r(5)个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
(1)求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点(0，0)的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2(a≠0)．
(1)当a＝﹣eq \f(1,8)时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线(用含a的代数式表示)及二次函数图象经过的定点坐标是 ．
(3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
(4)已知点A(0，﹣3)、B(5，﹣3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
4.已知二次函数y＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)(a为常数，且a≠0)．
(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)若点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，比较y1与y2的大小；
(3)当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点
(1)求分别以A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点为顶点的二次函数表达式；
(2)求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；
(3)设(m，0)是该函数图象与x轴的一个公共点．当﹣3＜m＜﹣1时，结合函数图象，写出a的取值范围．
6.在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是(0，﹣3)，(0，4)，点P(m，0)(m≠0)是x轴上一个动点，过点A作直线AC⊥BP于点D，直线AC与x轴交于点C，过点P作PE∥y轴，交AC于点E．
(1)当点P在x轴的正半轴上运动时，是否存在点P，使△OCD与△OBD相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
(2)小明通过研究发现：当点P在x轴上运动时，点E(x，y)也相应的在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上运动，为了确定函数解析式小明选取了一些点P的特殊的位置，计算了点E(x，y)的坐标，列表如下：
请填写表中空格，并根据表中数据求出二次函数的函数解析式；
(3)把(2)中所求的抛物线向左平移n个单位长度，把直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个单位长度，如果平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点，那么请直接写出n的取值范围．
7.在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣6m(x≤2m，m为常数)的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C(﹣2，﹣2)．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．
(1)当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；
(2)若图象G过点(3，﹣9)，求出m的取值范围；
(3)若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
(4)图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
8.定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．
(1)函数y＝x＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数y＝(x﹣2)2＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ；
(2)已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P(m，3)互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
(3)已知点A(0，1)，点B(4，1)，点C(2，0)，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
9.对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作d(M，N)．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d(M，N)＝0．一次函数y＝kx＋2的图象为L，L与y轴交点为D，在△ABC中，A(0，1)，B(﹣1，0)，C(1，0)．
(1)求d(点D，△ABC)＝ ；当k＝1时，求d(L，△ABC)＝ ；
(2)若d(L，△ABC)＝0，直接写出k的取值范围 ；
(3)函数y＝x＋b的图象记为W，若d(W，△ABC)≤2，则b的取值范围是 ．
10.若一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点”，例如直线y＝x＋2的图象上的(﹣1，1)即为反值点．
(1)判断反比例函数y=eq \f(9,x)的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；
(2)判断关于x的函数(a是常数)的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；
(3)将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m(m为常数，且m＞0)个单位后，若在其图象上存在两个反值点，求m的取值范围．
x
﹣2eq \r(3)
0
2eq \r(3)
y
0
﹣3
0
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