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中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与矩形存在性问题（2份打包，教师版+原卷版）
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这是一份中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与矩形存在性问题（2份打包，教师版+原卷版），文件包含中考数学二轮压轴培优专题二次函数与矩形存在性问题教师版doc、中考数学二轮压轴培优专题二次函数与矩形存在性问题原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋eq \f(3,2)．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点Q与点M重合时，求m的值；
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋eq \f(3,2)．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求b的值．
(2)当点Q与点M重合时，求m的值．
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
3.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
4.如图1，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
5.如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋1c和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2(|a1|＝|a2|)都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线．
(1)观察图象，写出对称抛物线两条特征；(如：抛物线开口大小相同)
(2)若抛物线C1的解析式为y＝﹣x2＋2x，确定对称抛物线C2的解析式．
(3)若MN＝4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式．
6.如图，抛物线y＝ax2＋3x＋c与x轴交于点A，B，直线y＝x＋1与抛物线交于点A，C(3，n)．点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．
(2)已知直线l：x＝m＋5与直线AC交于点D，过点P(横坐标为m)，作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．
①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为 (请直接写出)
②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值．
7.已知二次函数y＝﹣eq \f(1,2)x2＋nx﹣eq \f(1,2)n2＋2n﹣3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n﹣1，点B的横坐标为2n﹣2，在点A和点B之间的图象为G．
(1)当n＝2时，
①求二次函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
(2)AB所在的直线交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值．
(3)当图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围．
8.九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 ．
(2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)？
(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图；已知抛物线y＝ax2＋3x＋c与直线y＝x＋1交于两点A，B(3，n)，且点A在x轴上．
(1)求a，c，n的值；
(2)设点P在抛物线上，其横坐标为m．直线l：x＝m＋5与直线AB交于点C，过点P作PD⊥l于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部．
①直接写出：m的取值范围是 ；
②求PD＋CD的最小值．
10.已知抛物线L：y＝﹣x2＋4x＋a(a≠0)．
(1)抛物线L的对称轴为直线 ．
(2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．
(3)当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．
(4)点M的坐标为(4，﹣1)，点N的坐标为(﹣1，﹣1)，当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋eq \f(3,2)．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点Q与点M重合时，求m的值；
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋eq \f(3,2)．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求b的值．
(2)当点Q与点M重合时，求m的值．
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
3.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
4.如图1，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
5.如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋1c和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2(|a1|＝|a2|)都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线．
(1)观察图象，写出对称抛物线两条特征；(如：抛物线开口大小相同)
(2)若抛物线C1的解析式为y＝﹣x2＋2x，确定对称抛物线C2的解析式．
(3)若MN＝4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式．
6.如图，抛物线y＝ax2＋3x＋c与x轴交于点A，B，直线y＝x＋1与抛物线交于点A，C(3，n)．点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．
(2)已知直线l：x＝m＋5与直线AC交于点D，过点P(横坐标为m)，作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．
①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为 (请直接写出)
②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值．
7.已知二次函数y＝﹣eq \f(1,2)x2＋nx﹣eq \f(1,2)n2＋2n﹣3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n﹣1，点B的横坐标为2n﹣2，在点A和点B之间的图象为G．
(1)当n＝2时，
①求二次函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
(2)AB所在的直线交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值．
(3)当图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围．
8.九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 ．
(2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)？
(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图；已知抛物线y＝ax2＋3x＋c与直线y＝x＋1交于两点A，B(3，n)，且点A在x轴上．
(1)求a，c，n的值；
(2)设点P在抛物线上，其横坐标为m．直线l：x＝m＋5与直线AB交于点C，过点P作PD⊥l于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部．
①直接写出：m的取值范围是 ；
②求PD＋CD的最小值．
10.已知抛物线L：y＝﹣x2＋4x＋a(a≠0)．
(1)抛物线L的对称轴为直线 ．
(2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．
(3)当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．
(4)点M的坐标为(4，﹣1)，点N的坐标为(﹣1，﹣1)，当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
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