中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与面积最值定值问题（2份打包，教师版+原卷版）

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如图，抛物线y＝a(x﹣2)2﹣2与y轴交于点A(0，2)，顶点为B．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P(t，y1)，Q(t＋3，y2)都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线y＝﹣x＋m与y轴交于点D，连接DQ，DB，求△BDQ面积的最大值和最小值．
【答案解析】解：(1)将A(0，2)代入到抛物线解析式中，得，
4a﹣2＝2，解得，a＝1，
∴抛物线解析式为y＝(x﹣2)2﹣2；
(2)∵y1＝y2，
∴(t﹣2)2﹣2＝(t＋3﹣2)2﹣2，解得，t＝eq \f(1,2)，
∴P(eq \f(1,2),eq \f(1,4))，Q(eq \f(7,2),eq \f(1,4))；
(3)由题可得，顶点B为(2，﹣2)，将直线y＝﹣x＋m进行平移，
当直线经过B点时，﹣2＝﹣2＋m，解得m＝0，
当直线经过点Q时，eq \f(1,4)＝﹣eq \f(7,2)+m，解得m＝eq \f(15,4)，
∵经过点C直线y＝﹣x＋m与y轴交于点D，
∴D为(0，m)，
∵点C是线段QB上一动点，
∴0≤m≤eq \f(15,4)，
延长QB交y轴于点E，设直线QB的解析式为y＝kx＋b，
代入点Q、B坐标得，
，解得，
∴QB的解析式为：，令x＝0，则y＝﹣5，
∴E(0，﹣5)，
由图可得，S△BDQ＝S△DEQ﹣S△DEB，
∴＝，
∵0≤m≤eq \f(15,4)，
∴当m＝0时，S△BDQ最小值为eq \f(15,4)，
当m＝eq \f(15,4)时，S△BDQ最大值为．
如图，抛物线y＝ax2＋eq \f(3,2)x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1，0)，C(0，﹣2)，连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋eq \f(3,2)x＋c过点A(1，0)，C(0，﹣2)，
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为y＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x﹣2．
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，则
，解得：．
∴直线AC的表达式为y＝2x﹣2．
(2)点D不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为y＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x﹣2，
∴点B坐标为(﹣4，0)．
∵OA＝1，OC＝2，
∴．
又∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO＝∠CBO．
∴∠ACO＋∠BCO＝∠OBC＋∠BCO＝90°，
∴AC⊥BC．
∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，
延长AC至D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．
又∵∠ACO＝∠DCE，
∴△ACO≌△DCE(AAS)．
∴DE＝AO＝1，则点D横坐标为﹣1，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣eq \f(3,2)．
故点D不在抛物线的对称轴上．
(3)设过点B、C的直线表达式为y＝px＋q，
∵C(0，﹣2)，B(﹣4，0)，
∴，解得：．
∴过点B、C的直线解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x﹣2．
过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为(1，﹣eq \f(5,2))，
过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．
设点P坐标为(m，eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m﹣2)，则点N坐标为(m，﹣eq \f(1,2)m﹣2)，
∴PN＝﹣eq \f(1,2)m﹣2﹣(eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m﹣2)＝﹣eq \f(1,2)m2﹣2m，
∵PN∥AM，
∴△AQM∽△PQN．
∴．
若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积(同高不等底)，
则△BPQ与△BAQ的面积比为，即．
∴＝＝．
∵﹣eq \f(1,5)＜0，
∴当m＝﹣2时，的最大值为，此时点P坐标为(﹣2，﹣3)．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣eq \f(3,2))．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；
(3)如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．
【答案解析】解：(1)依题意，设y＝a(x＋1)(x﹣3)，
代入C(0，﹣eq \f(3,2))得：a•1•(﹣3)＝﹣eq \f(3,2)，解得：a＝eq \f(1,2)，
∴y＝eq \f(1,2)(x＋1)(x﹣3)＝eq \f(1,2)x2﹣x﹣eq \f(3,2)；
(2)∵BE＝2OE，
设OE为x，BE＝2x，
由勾股定理得：OE2＋BE2＝OB2，
x2＋4x2＝9，解得：x1＝eq \f(3\r(5),5)，x2＝﹣eq \f(3\r(5),5)(舍)，
∴OE＝eq \f(3\r(5),5)，BE＝eq \f(6\r(5),5)，
过点E作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BG⊥TG于G，
∴△ETO∽△OEB，
∴＝＝，
∴OE2＝OB•TE，
∴TE＝＝，
∴OT＝＝，
∴E(eq \f(3,5)，﹣eq \f(6,5))，
∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，
∵OE的延长线交抛物线于点D，
∴，解得：x1＝1，x2＝﹣3(舍)，
当x＝1时，y＝﹣2，
∴D(1，﹣2)；
(3)如图所示，延长BC于点F，AF∥y轴，过A点作AH⊥BF于点H，作MT∥y轴交BF于点T，过M点作MG⊥BF于点J，
∵AF∥MT，
∴∠AFH＝∠MTJ，
∵AH⊥BF，MJ⊥BF，
∴∠AHF＝∠MJT＝90°，
∴△AFH∽△MJT，
∴＝，
∵S1＝eq \f(1,2)NB•MJ，S2＝eq \f(1,2)NB•AH，
∴＝＝，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B，C两点代入得，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝eq \f(1,2)x﹣eq \f(3,2)，
当x＝﹣1时，y＝eq \f(1,2)•(﹣1)﹣eq \f(3,2)＝﹣2，
∴F(﹣1，﹣2)，
∴AF＝2，
设M(x，eq \f(1,2)x2﹣x﹣eq \f(3,2))，
∴MT＝eq \f(1,2)x﹣eq \f(3,2)﹣(eq \f(1,2)x2﹣x﹣eq \f(3,2))＝﹣eq \f(1,2)(x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,8)，
∴a＝﹣eq \f(1,2)＜0，
∴MTmax＝eq \f(9,8)，
∴＝＝＝＝．
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为(﹣2，0)，(8，0)，(13，10)．
(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
(3)设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．
【答案解析】解：(1)过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：
由题意得∠EOB＝∠DHC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBO＝∠DCH，
∴△EBO∽△DCH，
∴，
∵B(﹣2，0)、C(8，0)、D(13，10)，
∴BO＝2，CH＝13﹣8＝5，DH＝10，
∴，解得：EO＝4，
∴点E坐标为(0，4)，
设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝a(x＋2)(x﹣8)，
将E点代入得：4＝a×2×(﹣8)，解得：a＝﹣eq \f(1,4)，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y＝﹣eq \f(1,4)(x＋2)(x﹣8)＝﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4；
(2)抛物线的顶点在直线EF上，理由如下：
由(1)可知该抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
当x＝3时，y＝eq \f(25,4)，∴该抛物线的顶点坐标为(3，eq \f(25,4))，
又∵F是AD的中点，
∴F(8，10)，
设直线EF的解析式为：y＝kx＋b，将E(0，4)，F(8，10)代入得，
解得：，
∴直线EF解析式为：y＝eq \f(3,4)，
把x＝3代入直线EF解析式中得：y＝eq \f(25,4)，故抛物线的顶点在直线EF上；
(3)由(1)(2)可知：A(3，10)，
设直线AB的解析式为：y＝k'x＋b'，将B(﹣2，0)，A(3，10)代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝2x＋4，
∵FQ∥AB，
故可设：直线FQ的解析式为：y＝2x＋b1，将F(8，10)代入得：
b1＝﹣6，
∴直线FQ的解析式为：y＝2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴Q点坐标为(0，﹣6)，
设M(0，m)，直线BM的解析式为：y＝k2x＋b2，将M、B点代入得：
，解得：，
∴直线BM的解析式为：y＝，
∵点P为直线BM与抛物线的交点，
∴联立方程组有：，
化简得：(x＋2)(x﹣8＋2m)＝0，解得：x1＝﹣2(舍去)，x2＝8﹣2m，
∴点P的横坐标为：8﹣2m，
则此时，S△PBQ＝eq \f(1,2)MQ×(|xP|＋|xB|)
＝＝﹣(m＋)2＋，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝﹣eq \f(1,2)时，S取得最大值，
∴点P横坐标为8﹣2×(﹣eq \f(1,2))＝9，
将x＝9代入抛物线解析式中y＝﹣eq \f(11,4)，
综上所述，当△PBQ的面积最大时，P的坐标为(9，﹣eq \f(11,4))．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且A(﹣1，0)，对称轴为直线x＝2．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
(3)点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P(xP，yP)，当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值(可含a表示)．
【答案解析】解：(1)抛物线过A(﹣1，0)，对称轴为x＝2，
∴，解得，
∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
(2)过点C作CE⊥x轴于点E，
∵∠CAB＝45°，∴AE＝CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc＋1，
∴C(xc，xc＋1)，
代入y＝x2﹣4x﹣5得，xc＋1＝xc2﹣4xc﹣5，解得xc＝﹣1(舍去)，xc＝6，
∴yc＝7，
∴点C的坐标是(6，7)；
(3)由(2)得C的坐标是(6，7)，
∵对称轴x＝2，
∴点D的坐标是(﹣2，7)，
∴CD＝8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，
设△PCD以CD为底边的高为h，则h＝|yp|＋7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，
∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当1≤a＜2时，1≤xp≤a，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5＋4a﹣a2，
∴h＝|yp|＋7＝12＋4a﹣a2，
∴△PCD的最大面积为：Smax＝eq \f(1,2)×CD×h＝eq \f(1,2)×8×(12＋4a﹣a2)＝48＋16a﹣4a2；
②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp＜a内，
∴|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，
∴h＝9＋7＝16，
∴△PCD的最大面积为Smax＝eq \f(1,2)×CD×h＝eq \f(1,2)×8×16＝64，
综上所述：当1≤a＜2时，△PCD的最大面积为48＋16a﹣4a2；
当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64．
如图，抛物线y＝﹣eq \f(3,4)x2＋bx＋c与x轴交于点A和点C(﹣1，0)，与y轴交于点B(0，3)，连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝eq \f(1,2)OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
(3)如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
【答案解析】解：(1)由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3；
(2)对于y＝﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3，令y＝﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3＝0，解得x＝4或﹣1，
故点A的坐标为(4，0)，则PF＝2，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣eq \f(3,4)x＋3，
设点P的坐标为(x，﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3)，则点E(x，﹣eq \f(3,4)x＋3)，
则矩形PEGF的面积＝PF•PE
＝2×(﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x＋3＋eq \f(3,4)x﹣3)＝3S△BOC＝3×eq \f(1,2)×BO•CO＝eq \f(3,2)×3×1，解得x＝1或3，
故点P的坐标为(1，eq \f(9,2))或(3，3)；
(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝eq \f(3,2)，故点Q的坐标为(eq \f(3,2)，n)，
当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，
设BQ交x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝eq \f(3,4)，则tan∠BHO＝eq \f(4,3)，
故设直线BQ的表达式为y＝eq \f(4,3)x＋t，
该直线过点B(0，3)，故t＝3，
则直线BQ的表达式为y＝eq \f(4,3)x＋3，
当x＝eq \f(3,2)时，y＝eq \f(4,3)x＋3＝5，即n＝5；
②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠BQN＋∠MQA＝90°，∠MQA＋∠MAQ＝90°，
∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，
即，解得n＝eq \f(3,2)±eq \r(6)；
③当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣eq \f(10,3)；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣eq \f(10,3)＜n＜eq \f(3,2)﹣eq \r(6)或eq \f(3,2)＋eq \r(6)＜n＜5．
如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求过B，C两点的抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的解析式；
(3)抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；
(4)若点M是抛物线上的动点，当△ABM的面积与△ABC的面积相等时，求点M的坐标．
【答案解析】解：(1)∵点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴，
∴点A的坐标为(0，4)且OA＝4，
∵△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴OB＝OA＝4，
∵点B的坐标为(4，0)，
设直线AB的解析式为：y＝mx＋n，
由题意得 ，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x＋4；
(2)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过B，C两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋3x＋4；
(3)BD＝OC；理由：
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2＋3x＋4＝﹣{x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(5,2)，
∴抛物线的对称轴直线为x＝eq \f(3,2)，
∵点B的坐标为(4，0)，点B与点D关于对称轴对称，
∴点D的坐标为(﹣1，0)，
∴BD＝4﹣(﹣1)＝5，
∵点C的坐标为(3，4)，
∴OC＝5，
∴BD＝OC；
(4)∵点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴，
∴AC＝3，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC•yC＝eq \f(1,2)×3×4＝6，
当点M在直线AB的上方时，如图所示，
过点M作MN∥y轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(t，﹣t2＋3t＋4)，
则N的坐标为(t，﹣t＋4)，
∴MN＝﹣t2＋3t＋4﹣(﹣t＋4)＝﹣t2＋4t，
∴S△AMB＝eq \f(1,2)MN•xB＝eq \f(1,2)(﹣t2＋4t)×4＝﹣2t2＋8t，
∵△ABM的面积与△ABC的面积相等，
∴﹣2t2＋8t＝6，解得：t＝1或t＝3(舍，该点为点C)，
此时M的坐标为(1，6)或(3，4)；
当点M在直线AB的下方时，如图所示，
过点M作MN∥x轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(t，﹣t2＋3t＋4)，
则N的坐标为(t2﹣3t，﹣t2＋3t＋4)，
∴MN＝t2﹣3t﹣t＝t2﹣4t，
∴S△ABM＝eq \f(1,2)MN•yA＝eq \f(1,2)(t2﹣4t)×4＝2t2﹣8t，
∵△ABM的面积与△ABC的面积相等，
∴2t2﹣8t＝6，解得：t＝2±eq \r(7)，
此时M的坐标为(2＋eq \r(7)，﹣1﹣eq \r(7))或(2﹣eq \r(7)，eq \r(7)﹣1)；
综上可得，M的坐标为(2＋eq \r(7)，﹣1﹣eq \r(7))或(2﹣eq \r(7)，eq \r(7)﹣1)或(1，6)．
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax＋3与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，OB＝2OA．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上一点，连接AD交y轴于点E，过C作CF⊥y轴交抛物线于点F，连接DF，设四边形DECF的面积为S，点D的横坐标的t，求S与t的函数解析式；
(3)在(2)的条件下，过F作FM∥y轴交AD于点M，连接CD交FM于点G，点N是CE上一点，连接MN、EG，当∠BAD＋2∠AMN＝90°，MN：EG＝2eq \r(13)：5，求点D的坐标．
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2﹣2ax＋3与y轴正半轴交于点C，与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，
∴C(0，3)，对称轴x＝1，BO﹣1＝AO＋1，BO﹣AO＝2，
∵BO＝2AO，
∴AO＝2，BO＝4，即 A(﹣2，0)，B(4，0)，
把B(4，0)代入y＝ax2﹣2ax＋3，得：
0＝16a﹣8a＋3，解得：a＝﹣eq \f(3,8)，
∴y＝﹣eq \f(3,8)(x＋2)(x﹣4)，即y＝﹣eq \f(3,8)x2＋eq \f(3,4)x＋3；
(2)过点D作DT⊥y轴于点T，
由(1)得：C(0，3)，∴点F与点C关于对称轴对称，坐标为F(2，3)，CF＝2，
∵点D的横坐标的t，点D是第四象限内抛物线上一点，
∴D(t，﹣eq \f(3,8)t2＋eq \f(3,4)t＋3)，
∵A(﹣2，0)，
∴tan∠BAD＝＝＝eq \f(3,8)(t﹣4)，
∵OE＝AO•tan∠BAD＝2[eq \f(3,8)(t﹣4)]＝eq \f(3,4)t﹣3，
∴CE＝CO＋OE＝3＋(eq \f(3,4)t﹣3)＝eq \f(3,4)t，
∵S△CED＝eq \f(1,2)CE•DT＝eq \f(1,2)×(eq \f(3,4)t)t＝eq \f(3,8)t2，
S△CFD＝eq \f(1,2)CF•CT＝eq \f(1,2)×2[3﹣(﹣eq \f(3,8)t2＋eq \f(3,4)t＋3)]＝t2﹣eq \f(3,4)t，
∴S四边形CEDF＝S△CED＋S△CFD＝eq \f(3,8)t2＋eq \f(3,8)t2﹣eq \f(3,4)t＝eq \f(3,4)t2﹣eq \f(3,4)t；
即S＝eq \f(3,4)t2﹣eq \f(3,4)t；
(3)过点E作EL⊥FM于点L，过点M作MS⊥x轴于点S，
∴四边形CFMS、四边形CFLE是矩形，SM＝CF＝2＝OA，
∵SM∥AO，
∴＝＝1，
∴OE＝ES＝eq \f(3,4)t﹣3，
∵CE＝eq \f(3,4)t，
∴CS＝CE＋ES＝eq \f(3,2)t﹣3，
由(2)知：D(t，﹣eq \f(3,8)t2＋eq \f(3,4)t＋3)，tan∠BAD＝eq \f(3,8)(t﹣4)，
∴tan∠CDT＝eq \f(3,8)t﹣eq \f(3,4)，
∵CF∥DT，
∴∠FCG＝∠CDT，即tan∠FCG＝tan∠CDT，
∴FG＝CF•tan∠CDT＝eq \f(3,4)t﹣eq \f(3,2)，
∴GL＝FL﹣FG＝CE﹣FG＝eq \f(3,4)t﹣(eq \f(3,4)t﹣eq \f(3,2))＝eq \f(3,2)，∴EG＝eq \f(5,2)，
∵MN：EG＝2eq \r(13)：5，
∴MN＝eq \r(13)，NS＝3，
∴NE＝NS﹣ES＝3﹣(eq \f(3,4)t﹣3)＝6﹣eq \f(3,4)t＝ME，
在Rt△ESM中，∠ESM＝90°，
由勾股定理得：ES2＋SM2＝EM2，
∴(eq \f(3,4)t﹣3)2＋22＝(6﹣eq \f(3,4)t)2，解得：t＝，
∴D(，﹣)．
如图，已知抛物线y＝ax2＋1.6x＋c与x轴交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，﹣4)，直线l:y＝﹣eq \f(1,2)﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y＝ax2＋1.6x＋c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S．①求S关于m的函数解析式及S的最大值；②点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求△QOC周长的最小值及FQ的长．
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋1.6x＋c经过A(2，0)、C(0，﹣4)，
∴，解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝eq \f(1,5)x2＋1.6x﹣4；
(2)①如图1，连接BP，
∵抛物线y＝eq \f(1,5)x2＋1.6x﹣4，令y＝0，
得eq \f(1,5)x2＋1.6x﹣4＝0，解得：x1＝﹣10，x2＝2，
∴B(﹣10，0)，设P(m，eq \f(1,5)m2＋1.6m﹣4)，
∵PE⊥x轴，
∴E(m，0)，
∴OE＝﹣m，BE＝m＋10，PE＝﹣(eq \f(1,5)m2＋1.6m﹣4)＝﹣eq \f(1,5)m2﹣1.6m＋4，
∴S＝S△PBE＋S梯形OCPE
＝eq \f(1,2)×(m＋10)×(﹣eq \f(1,5)m2﹣1.6m＋4)＋eq \f(1,2)×(﹣eq \f(1,5)m2﹣1.6m＋4＋4)×(﹣m)
＝﹣m2﹣10m＋20，
∵S＝﹣m2﹣10m＋20＝﹣(m＋5)2＋45，
∴当m＝﹣5时，S的最大值为45；
②由①得：当m＝﹣5时，S的最大值为45，
∴P(﹣5，﹣7)，E(﹣5，0)，
∴OE＝BE＝5，
∵PE⊥x轴，
∴直线PE是线段OB的垂直平分线，
∴点B与点O关于直线PE对称，
连接BC交PE于点Q，则QO＝QB，
∴QO＋QC＝QB＋QC＝BC，此时QO＋QC最小，即△QOC的周长最小，
在Rt△BCO中，BC＝2eq \r(29)，
∴△QOC的周长的最小值为：BC＋OC＝2eq \r(29)＋4，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把B(﹣10，0)，C(0，﹣4)代入，
得，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣eq \f(2,5)x﹣4，
当x＝﹣5时，y＝﹣eq \f(2,5)×(﹣5)﹣4＝﹣2，
∴Q(﹣5，﹣2)；
∵直线l的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x﹣4，
∴当x＝﹣5时，y＝﹣eq \f(1,2)×(﹣5)﹣4＝﹣eq \f(3,2)，
∴F(﹣5，﹣eq \f(3,2))，
∴FQ＝﹣eq \f(3,2)﹣(﹣2)＝eq \f(1,2)，
故△QOC周长的最小值为2eq \r(29)＋4，FQ的长为eq \f(1,2)．
如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒(t＞0)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，﹣5)，D(4，0)．
(1)求c，b(含t的代数式表示)；
(2)当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式．并求t为何值时，△MPN的面积为．
【答案解析】解：(1)将(0，0)代入y＝x2＋bx＋c，
∴c＝0，
由题可知P(t，0)，
∴t2＋bt＝0，
∴b＝﹣t；
(2)①∠AMP的大小不会变化，理由如下：
由(1)知y＝x2﹣tx，
∵四边形ABCD是矩形，
∴M(1，1﹣t)，
∴AM＝t﹣1，
∵P(t，0)，A(1，0)，
∴AP＝t﹣1，
∴AM＝AP，
∵AM⊥AP，
∴∠AMP＝45°；
②∵A(1，0)，D(4，0)，
∴M(1，1﹣t)，N(4，16﹣4t)，
∴AM＝t﹣1，DN＝4t﹣16，
∴S△MNP＝S△DPN＋S梯形NDAM﹣S△PAM
＝eq \f(1,2)×(t﹣4)×(4t﹣16)＋eq \f(1,2)×(4t﹣16＋t﹣1)×3﹣eq \f(1,2)×(t﹣1)2＝eq \f(3,2)t2﹣eq \f(15,2)t＋6，
∵△MPN的面积为，
∴eq \f(3,2)t2﹣eq \f(15,2)t＋6＝，解得t＝eq \f(1,2)或t＝eq \f(9,2)，
∵4＜t＜5，
∴t＝eq \f(9,2)．