中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与新定义综合问题（2份打包，教师版+原卷版）

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1.我们约定[a，﹣b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的“相关数”．
特例感知
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为y1＝x2﹣4x＋3；
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为y2＝2x2﹣5x＋3；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为y3＝3x2﹣6x＋3；
(1)下列结论正确的是 ①②③ (填序号)．
①抛物线y1，y2，y3都经过点(0，3)；
②抛物线y1，y2，y3与直线y＝3都有两个交点；
③抛物线y1，y2，y3有两个交点．
形成概念
把满足“相关数”为[n，n＋3，3](n为正整数)的抛物线yn称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，…，yn．抛物线yn与x轴的交点为An，Bn．
探究问题
(2)①“一簇抛物线”y1，y2，y3，…，yn都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ．
②抛物线yn的顶点为∁n，是否存在正整数n，使△AnBn∁n是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
③当n≥4时，抛物线yn与x轴的左交点An，与直线y＝3的一个交点为Dn，且点Dn不在y轴上．判断AnAn＋1和DnDn＋1是否相等，并说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(ac≠0)与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B(其中B在A的右侧)，与y轴交于点C，且OA＝4OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．
①求PD的最大值；
②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．
3.在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上的点A(x，y)的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1(x，x＋y)．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2＋x＋1的“简朴曲线”就是y＝x2＋x＋1＋x＝x2＋2x＋1，请按照定义完成：
(1)点P(1，2)的“简朴”点是 ；
(2)如果抛物线y＝ax2﹣7x＋3(a≠0)经过点M(1，﹣3)，求该抛物线的“简朴曲线”；
(3)已知抛物线y＝x2＋bx＋c图象上的点B(x，y)的“简朴点”是B1(﹣1，1)，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为(m，n)，当0≤c≤3时，求n的取值范围．
4.我们定义：若点P在一次函数y＝ax＋b(a≠0)图象上，点Q在反比例函数(c≠0)图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2＋bx＋c为一次函数y＝ax＋b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
(1)若二次函数y＝x2＋2x＋1是一次函数y＝ax＋b与反比例函数的“衍生函数”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)若一次函数y＝x＋b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；
(3)若一次函数y＝ax＋2b(a＞b＞0)和反比例函数y=﹣eq \f(2,x)的“衍生函数”经过点(2，6)．①试说明一次函数y＝ax＋2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax＋2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．
5.在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣eq \f(2\r(3),3)x2﹣eq \f(4\r(3),3)x＋2eq \r(3)与其“梦想直线”交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C．
(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
6.定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点(﹣1，1)是函数y＝x＋2的图象的“好点”．
(1)在函数①y＝﹣x＋3，②y＝③y＝x2＋2x＋1的图象上，存在“好点”的函数是 ；(填序号)
(2)设函数y＝﹣eq \f(4,x)(x＜0)与y＝kx＋3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；
(3)若将函数y＝x2＋2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．
7.有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．
(1)如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；
(2)如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A(12，0)，B(0，9)两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
(3)如图3，抛物线y＝ax2＋eq \f(2\r(3),3)x＋2(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC，求a的值．
8.定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点(﹣1，﹣1)是函数y＝4x＋3图象的“1倍点”，点(﹣eq \f(3,2)，﹣3)是函数y＝4x＋3图象的“2倍点”．
(1)函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
(2)若抛物线y＝ax2＋5x＋c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点(点M在点N的左侧)．当a＞1时，求：
①c的取值范围；
②直接写出∠EMN的度数．
9.定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点(﹣1，﹣1)是函数y＝4x＋3图象的“1倍点”，点(﹣eq \f(3,2)，﹣3)是函数y＝4x＋3图象的“2倍点”．
(1)函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
(2)若抛物线y＝ax2＋5x＋c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点(点M在点N的左侧)．当a＞1时，求：c的取值范围．
(3)将函数y＝x2﹣8(x≥m)的图象记为W1，其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．
10.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点(eq \f(1,3)，eq \f(1,3))是函数y＝x图象的“eq \f(1,2)阶方点”；点(﹣1，1)是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．
(1)在①(﹣1，2)；②(0，0)；③(eq \f(1,2)，﹣1)三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有 (填序号)；
(2)若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点(n，n)，则点(n，n)称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝eq \f(1,4)x2＋(p﹣t＋1)x＋q＋t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．