中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与正方形存在性问题（2份打包，教师版+原卷版）

中考数学二轮压轴培优专题二次函数与正方形存在性问题1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过(1，0)，(3，0)，(0，6)三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上．(1)求抛物线解析式，并直接写出当﹣1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差．(2)将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，①当点C首次落在抛物线上，求h的值．②当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围．               2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋，以PQ，QM为边作矩形PQMN．(1)求b的值．(2)当点Q与点M重合时，求m的值．(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．(4)抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围．                3.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．(1)求抛物线的解析式；(2)当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；(3)当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．                    4.如图，抛物线y＝x2＋2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)．(1)请求出A、B、C三点的坐标；(2)平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．                   5.如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A(﹣2，0)和B(4，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P为直线BC下方抛物线上一动点(不与点B、C重合)，PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM＋PN的值最大？(3)点P在第四象限的抛物线上移动，以PC为边作正方形CPEF、当抛物线的对称轴经过点E时，求出此时点P的坐标．                  6.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直．则称该矩形为点P，Q的相关矩形“．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．(1)已知点A的坐标为(1，0)．①若点B的坐标为(2，5)，求点A，B的“相关矩形”的周长；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，已知抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A和点C，求抛物线y＝x2＋mx＋n与y轴的交点D的坐标；(2)⊙O的半径为4，点E是直线y＝3上的从左向右的一个动点．若在⊙O上存在一点F，使得点E，F的“相关矩形”为正方形，直接写出动点E的横坐标的取值范围．                7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点为A，B(点A在点B的左侧)，在线段AB上取两点M、N(点M不与点A重合)，点M、N关于这条抛物线的对称轴对称，点M在点N的左侧，分别过点M、N作x轴的垂线交抛物线于点P、Q，我们称这样的四边形MPQN为这条抛物线的“抛物线矩形．”(1)若抛物线y＝2(x＋1)(x﹣3)的抛物线矩形MPQN的顶点M的坐标为(0，0)，则点N的坐标为　  　，点P的坐标为　   　，点Q的坐标为　   　．(2)当抛物线y＝﹣x2＋bx的抛物线矩形MPQN为正方形时，若点M的坐标为(﹣2，0)，求b的值．(3)设抛物线y＝x2＋4x﹣6的抛物线矩形MPQN的周长为C．点M的横坐标为m，求C与m之间的函数关系式．(4)将抛物线y＝ax2﹣6ax＋5a(a≠0)的抛物线矩形MPQN绕点P顺时针或逆时针旋转90°后，边MN恰好落在y轴上，若MN＝2，直接写出a的值．              8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx﹣2(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；(2)求△BCD的面积；(3)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．                   9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ＋QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．                  10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c(b＞0，c＞0)图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形．(1)如图2，若CD∥x轴．①求证：b2＝4c；②若▱ABOD是矩形，求二次函数的解析式；(2)当b＝2时，▱ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由．