初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理练习题

这是一份初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理练习题，共10页。试卷主要包含了下列数据不是勾股数的是等内容，欢迎下载使用。

1．下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4B．，，C．4，6，9D．3，4，5
2．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．下列数据不是勾股数的是（ ）
A．7，14，16B．5，12，13C．3，4，5D．9，40，41
4．已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：7B．∠A＝∠B﹣∠C
C．a：b：c＝2：3：4D．b2＝（a+c）（a﹣c）
5．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．4≤a≤5B．3≤a≤4C．2≤a≤3D．1≤a≤2
6．如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
7．如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
二．填空题
8．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的中线为 ．
9．我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）•意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长 尺．
10．某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处C需要小型爆破，经测量，已知点C与公路上的停靠站A的距离为30米，与公路上的另一停靠站B的距离为40米．且CA⊥CB．为了安全起见，已知进入爆破点C周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ．
11．在△ABC中，若BC＝24，AB＝7，AC＝25，则△ABC的形状是 ．
12．一架云梯长2.5米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙0.7米，如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了 米．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，动点D从A点出发，以每秒2cm的速度沿射线AC运动，则点D运动中使得△ABD为等腰三角形的所有时间t等于 秒．
14．已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC边上的中线AD＝3，则AC＝ ．
15．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为 ．
16．小明想测量旗杆的高度，他先将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子对应旗杆底端的位置上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底部4m处，绳头恰好接触到地面，他发现此时绳头距打结处约1m，小明计算出旗杆的高度为 m．
17．如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 米．
三．解答题
18．东营市某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形ABCD是规划好的“试验田”，经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．求四边形ABCD的面积．
19．已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
20．如图，某研究性学习小组为测量学校C与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点A，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂BC之间的距离是多少？
21．如图，每个小正方形的边长都为1．试判断△ABC的形状，并说明理由．
22．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．
（1）求公路CD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的总费用．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（）2+（）2＝7≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+62＝52≠92，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵32+42＝25＝52，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：根据勾股定理可以得到：BC＝AB＝，AC＝，
∵（）2+（）2＝（）2，
即AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ACB＝45°．
故选：B．
3．解：A、72+142≠162，不能构成直角三角形，不是正整数，故符合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，是整数，故不符合题意；
C、32+42＝52，三边是整数，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，故不符合题意．
故选：A．
4．解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为3x°、4x°、7x°，
∵3x°+4x°＝7x°，3x°+4x°+7x°＝180°，
∴∠C＝90°，故选项A能判定△ABC是直角三角形；
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C
∴∠B＝90°，故选项B能判定△ABC是直角三角形；
设a、b、c的边长分别为2a、3a、4a，
∵（2a）2+（3a）2＝13a2≠（4a）2，
∴∠C≠90°，故选项C不能判定△ABC是直角三角形；
∵b2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
∴∠A＝90°，故选项D能判定△ABC是直角三角形．
故选：C．
5．解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12cm；
∴a＝16﹣12＝4（cm），
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b＝＝13（cm），
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
6．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝10（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4（cm）；
故橡皮筋被拉长了4cm．
故选：A．
7．解：∵五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，
∴五种正方形纸片的边长分别是1，，，，，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，1+4＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是＝1，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2+3＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，2+2＝4，围成的三角形是直角三角形，面积是＝1，
∵＞1，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
二．填空题
8．解：∵62+82＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴这个三角形是直角三角形，
∴最长边上的中线长为10＝5，
故答案为：5．
9．解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
故答案为：13．
10．解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC＝40米，AC＝30米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝50米．
因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC
所以CD＝＝＝24（米），
由于24米＜25米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
故答案为：需要暂时封锁．
11．解：∵△ABC中，BC＝24，AB＝7，AC＝25，
∴72+242＝252，即AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
12．解：设子的底端在水平方向滑动了x米，
根据勾股定理得：
梯子距离地面的高度为：＝2.4；
又梯子下滑了2米，
即梯子距离地面的高度为（2.4﹣0.4）＝2，
根据勾股定理：
2.52＝22+（0.7+x）2，
解得：x＝0.8或﹣2.2（舍去）．
即梯子的底端在水平方向滑动了0.8米，
故答案为：0.8．
13．解：由题意可知AD＝2t，
当AB＝AD时，有2t＝10，解得t＝5；
当AB＝BD时，则可知AC＝CD，则AD＝12，即2t＝12，解得t＝6；
当AD＝BD时，CD＝2t﹣6，BD＝2t，在Rt△BDC中，由勾股定理可得BC2+CD2＝BD2，
即64+（2t﹣6）2＝4t2，解得t＝；
综上可知t的值为5s或6s或s．
故答案为：5或6或．
14．解：∵AD为中线，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，
∵32+42＝52，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴AC＝＝＝5．
故答案为：5．
15．解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：
x2+（x+6）2＝100，
故答案为：x2+（x+6）2＝100．
16．解：设旗杆的高为xm，则绳子长为（x+1）m，
由勾股定理得，（x+1）2＝x2+42，
解得，x＝7.5．
答：旗杆的高度是7.5m，
故答案为：7.5．
17．解：过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m．
∴BD＝＝400m，
设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m，
根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，
x2＝160000+x2﹣800x+3002，
800x＝250000，
x＝312.5．
答：商店与车站之间的距离为312.5米，
故答案为：312.5．
三．解答题
18．解：连接AC，如图，
在Rt△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC＝＝25（m），
在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，
∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．
∴S△ADC＝×AD×DC＝×20×15＝150（m2），
∵S△ABC＝×AB×BC＝×24×7＝84（m2），
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2），
答：四边形ABCD的面积234m2．
19．解：（1）∵△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，
而当m＞1时，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，
∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m＝3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）．
20．解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4（km），
∴BC＝＝＝2（km）．
故学校与工厂BC之间的距离是2km．
21．解：△ABC是直角三角形．理由：
因为AC2＝12+82＝65，BC2＝42+62＝52，AB2＝32+22＝13．
所以AB2+BC2＝13+52＝65，
所以AC2＝AB2+BC2．
所以△ABC是直角三角形．
22．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝9千米，AB＝15千米，
∴BC＝＝＝12（千米），
∵BD＝5千米，
∴CD＝12﹣5＝7（千米），
答：公路CD的长度为7千米；
（2）∵AC＝9千米，CD＝7千米，
∴AD＝＝（千米），
∵DH⊥AB，
∴AD2﹣AH2＝BD2﹣BH2，
∴130﹣（15﹣BH）2＝52﹣BH2，
∴BH＝4，
∴DH＝＝3，
∴修建公路DH的总费用为3×2000＝6000（万元）．