苏科版八年级下册11.2 反比例函数的图象与性质优秀习题

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专题11.2反比例函数的图象与性质专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•昆山市校级期末）已知反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）
A．图像经过点（2，﹣4）
B．图像分别在二、四象限
C．y≤1时，x≥﹣8
D．在每个象限内y随x增大而增大
【分析】利用反比例函数图象与系数的关系进行分析判断．
【解答】解：A、当x＝2时，y＝﹣4，即反比例函数y＝﹣的图像经过点（2，﹣4），说法正确；
B、因为反比例函数y＝﹣中的k＝﹣8，所以图像分别在二、四象限，说法正确；
C、y≤1时，x≤﹣8或x＞0，故C说法不正确；
D、因为反比例函数y＝﹣中的k＝﹣8，所以在每个象限内y随x增大而增大，说法正确；
故选：C．
2．（2022秋•如皋市期中）若点A（x1，y1）与B（x2，y2）在函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2．则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＜y1＜0
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第二象限，B在第四象限，从而判定y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A在第二象限，B在第四象限，
∴y1＞0＞y2；
故选：A．
3．（2022•兴化市二模）在平面直角坐标系中，直线y＝2x+3b（b为常数）与双曲线（k≠0）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝6，则y1﹣y2的值为（　　）
A．﹣12 B．6 C．﹣6 D．12
【分析】将点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入直线y＝2x+3b，得y1＝2x1+3b，y2＝2x2+3b，则y1﹣y2＝2（x1﹣x2），即可得出答案．
【解答】解：将点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入直线y＝2x+3b，
得y1＝2x1+3b，y2＝2x2+3b，
∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2），
∵x1﹣x2＝6，
∴y1﹣y2＝12．
故选：D．
4．（2022春•吴中区校级期中）如图，点N在反比例函数上，点M在反比例上，其中点A为MN中点，则△OMN的面积是多少（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】作MB⊥y轴于点B，NC⊥y轴于点C，由点N在反比例函数上，点M在反比例上，得S△ONC＝4＝2，S△OMB＝＝4，再证明△NAC≌△MAB，则S△NAC＝S△MAB，所以S△OMN＝+S△OMB＝2+4＝6．
【解答】解：如图，作MB⊥y轴于点B，NC⊥y轴于点C，
∴∠NCA＝∠MBA＝90°，

∵点N在反比例函数上，点M在反比例上，
∴S△ONC＝4＝2，S△OMB＝＝4，
∵点A为MN中点，
∴NA＝MA，
∵∠NAC＝∠MAB，
∴△NAC≌△MAB（AAS），
∴S△NAC＝S△MAB，
∴S△OMN＝S△ONC+S△OMB＝2+4＝6，
故选：A．
5．（2022•丹徒区模拟）如图，平面直角坐标系中，过原点的直线AB与双曲线交于A、B两点，在线段AB左侧作等腰三角形ABC，底边BC∥x轴，过点C作CD⊥x轴交双曲线于点D，连接BD，若S△BCD＝16，则k的值是（　　）

A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣16
【分析】过点A作AH⊥BC于H，设BC与y轴交于E，则OE∥AH，由△ABC是等腰三角形得到BH＝CH，由A、B关于点O中心对称得到点E是BH的中点，则BH＝2BE，即有BC＝4BE，设BE＝a，则CE＝3a，得到点A、点C和点D的坐标，再由△BCD的面积求得k的值．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，设BC与y轴交于E，

则OE∥AH，
∵△ABC是等腰三角形，且底边BC∥x轴，
∴BH＝CH，
∵过原点的直线AB与双曲线交于A、B两点，
∴A、B关于原点O对称，即O为AB的中点，
∴点E为BH的中点，
∴BH＝2BE，
∴BC＝4BE，
设BE＝a，则CE＝3a，BC＝4a，
∴A（﹣a，﹣），B（a，），C（﹣3a，），D（﹣3a，﹣），
∴CD＝﹣﹣＝﹣，
∵S△BCD＝BC•CD＝16，
∴•4a•（﹣）＝16，
解得：k＝﹣6，
故选：B．
6．（2022春•姜堰区期末）函数y＝+3的图象可以由y＝的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据所获信息判断，下列直线中与函数y＝﹣2的图象没有公共点的是（　　）
A．经过点（0，2）且平行于x轴的直线
B．经过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线
C．经过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线
D．经过点（1，0）且平行于y轴的直线
【分析】根据题意可以知道平移后的反比例函数不会与直线x＝1、直线y＝﹣2相交，判断出答案即可．
【解答】解：根据题意可知，如下图所示，图1根据题意平移后得到图2，
函数y＝﹣2的图象是函数y＝的图象向右平移1个单位，在向下平移2个单位得到的，
∴由反比例函数的图象的性质和平移的定义可知，函数y＝的图象与直线x＝1、直线y＝﹣2不会相交．

故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
7．（2021春•镇江期末）若反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 　k＜﹣1　．
【分析】根据反比例函数的性质得k+1＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得k+1＜0，
解得k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
8．（2022春•姜堰区期末）如图是反比例函数y＝的图象，则k的值可能是 　1（答案不唯一）　（写出一个可能的值即可）．

【分析】反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象在第一象限，则k＞0，符合上述条件的k的一个值可以是2．（正数即可，答案不唯一）
【解答】解：∵反比例函数的图象在一象限，
∴k＞0，
又∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，1）时，k＝2×1＝2．
∴0＜k＜2．
∴k的值可以是1．
故答案是：1（答案不唯一）．
9．（2022春•淮安区期末）反比例函数y＝与正比例函数y＝﹣2x的图象的一个交点为（﹣3，6），则另一个交点为 　（3，﹣6）　．
【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性即可求解．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，
∵一个交点坐标为（﹣3，6），
∴另一个交点坐标为（3，﹣6）．
故答案为：（3，﹣6）．
10．（2022春•沭阳县月考）如图，若反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax+b的图象交于A（2，y1）、B（﹣1，y2）两点，则不等式ax+b＞的解集为 　﹣1＜x＜0或x＞2　．

【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
则不等式ax+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞2．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2．
11．（2022春•苏州期中）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　6　．

【分析】连接OA、OB，由反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC＝5，S△BOC＝，又S△AOB＝S△APB＝2，所以S△AOC﹣S△BOC＝2，代入计算即可得出k的值．
【解答】解：如图，连接OA、OB，

∵AC⊥x轴，
∴AC∥y轴，
∴S△AOB＝S△APB，
∵S△APB＝2，
∴S△AOB＝2，
由反比例函数系数k的几何意义可得：
S△AOC＝＝5，S△BOC＝k，
∴5﹣＝2，
解得：k＝6，
故答案为6．
12．（2022春•姑苏区校级期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在函数y＝与y＝﹣的图象上，点P在x轴上．若AB∥x轴．则△PAB的面积为 　5　．

【分析】连接OA、OB，如图，利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE＝1.5，S△OBE＝3.5，所以S△OAB＝5，进而得出结果．
【解答】解：连接OA、OB，设AB交y轴于点E，如图，

∵AB∥x轴，
∴S△OAE＝×|3|＝1.5，S△OBE＝×|﹣7|＝3.5，
∴S△ABP＝S△OAB＝S△OAE＝1.5+3.5＝5．
故答案为：5．
13．（2022•天宁区校级二模）在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝﹣x+4的图象交于点P（a，b），则代数式+的值是 　6　．
【分析】式子变形，＝＝＝，函数y＝（x＞0）与y＝﹣x+4的图象交于点P（a，b），可得b＝，b＝﹣a+4，即ab＝2，a+b＝4，进而求出的值．
【解答】解：∵函数y＝（x＞0）与y＝﹣x+4的图象交于点P（a，b），
∴b＝，b＝﹣a+4，
∴ab＝2，a+b＝4，
＝＝＝＝＝8﹣2＝6，
∴＝6．
故答案为：6．
14．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为12，则k的值为 　8　．

【分析】连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于点N，过点F作FM⊥OE于点M，先证明BD∥AE，得到S△ABE＝S△AOE＝12，得到S△EOF＝S△AOE＝6，可得S△FME＝S△FOE＝2，由此可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于点N，过点F作FM⊥OE于点M，
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵点A，F在反比例函数图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝k，
∴×ON×AN＝×OM×FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠AOE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE＝12，
∵AF＝EF，
∴S△FOE＝S△AOE＝6，
∴S△FME＝S△FOE＝2，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝6﹣2＝4，
∴k＝4，
∴k＝8，
故答案为：8．

15．（2018春•泰兴市校级期中）如图，直线x＝2与反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是　2.5　．

【分析】依据AB∥y轴，可得△AOB与△APB的面积相等，再根据反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别过A、B两点，即可得到S△AOC＝1.5，S△BOC＝1，进而得出△PAB的面积为2.5．
【解答】解：如图，连接AO，BO，
∵AB∥y轴，
∴△AOB与△APB的面积相等，
又∵反比例函数y＝和y＝﹣的图象分别过A、B两点，
∴S△AOC＝1.5，S△BOC＝1，
∴S△AOB＝2.5，
∴△PAB的面积2.5，
故答案为：2.5．

16．（2022•如皋市一模）在平面直角坐标系xOy中，过O点的直线AB分别交函数y＝﹣（x＜0），y＝（k＜0，x＞0）的图象于点A，B，作AC⊥y轴于点C，作CD∥AB交y＝（k＜0，x＞0）的图象于点D，连接OD．若△COD的面积为2，则k的值等于 　﹣12　．
【分析】先表示三角形COD面积，再求k．
【解答】解：设A（m，﹣），则AC＝﹣m，OC＝﹣，
∴C（0，﹣），
∵△COD的面积为2，
∴OC•DM＝2，即即×（﹣）•DM＝2，
∴DM＝﹣4m，
∴设D（﹣4m，﹣），
再设直线AB：y＝ax，
代入A（m，﹣）得：﹣＝am．
∴a＝﹣．
∴直线AB：y＝﹣x，
∵直线CD∥AB．
∴设直线CD：y＝﹣x+b，
将C代入直线CD得：b＝﹣，
∴y＝﹣x﹣．
将D（﹣4m，﹣）代入直线CD得：﹣＝﹣×（﹣4m）﹣．
∴k＝﹣12．

故答案为：﹣12．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2019春•东台市期中）已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．
（1）y与x的函数表达式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值．
【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式；
（2）代入x的值即可求得函数值．
【解答】解：（1）设y1＝，y2＝b（x﹣2），则y＝﹣b（x﹣2），
根据题意得，解得，
所以y关于x的函数关系式为y＝+4（x﹣2）；
（2）把x＝﹣1代入y＝+4（x﹣2）；
得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15．
18．（2019春•大丰区期中）如图，函数y1＝﹣x+4的图象与函数的图象交于A（m，1），B（1，n）两点．
（1）求k、m、n的值；
（2）利用图象写出当x＞1时，y1和y2的大小关系．

【分析】（1）把 A（m，1）代入 y＝﹣x+4 得到关于m的一元一次方程，解之，即可得到m的值，把点A的坐标代入y＝，解之，即可得到k的值，把 B（1，n） 代入y＝﹣x+4得到关于n的一元一次方程，解之，即可得到n的值，
（2）结合（1）的结果，得到点A和点B的坐标，根据图象，即可得到答案．
【解答】解：（1）把 A（m，1）代入 y＝﹣x+4 得：1＝﹣m+4，即 m＝3，
∴A（3，1），把 A（3，1）代入 得：k＝3，
把 B（1，n） 代入y＝﹣x+4得：n＝﹣1+4＝3，
（2）∵A（3，1），B（1，3），
∴根据图象得：
当 1＜x＜3 时，y1＞y2；
当 x＞3 时，y1＜y2；
当 x＝3 时，y1＝y2．
19．（2022•昆山市校级一模）如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若OC＝2，点B的纵坐标为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）OC＝2得C（0，2）可求出一次函数解析式，把点B的纵坐标为3代入一次函数解析式得B坐标，从而求得反比例函数的解析式；
（2）求出△AOC、△BOC面积相加即可．
【解答】解：（1）∵OC＝2，
∴C（0，2），代入y＝x+b得b＝2，
∴y＝x+2，
∵点B的纵坐标为3，
∴3＝x+2得x＝1，
∴B（1，3），
把B（1，3）代入反比例函数y＝得k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由得或，
∴A（﹣3，﹣1），B（1，3），
而C（0，2），
∴S△AOC＝OC•|xA|＝×2×3＝3，
S△BOC＝OC•|xB|＝×2×1＝1，
∴S△AOB＝4．
20．（2021•如皋市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与双曲线y＝交于A，B两点，已知点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出关于x的不等式x+3的解集．

【分析】（1）求出A（2，5），代入y＝即得k＝10；
（2）设直线AB交y轴于C，联立解析式求出B（﹣5，﹣2），由y＝x+3求出C（0，3），从而可得S△OAB＝S△BOC+S△AOC＝；
（3）数形结合直接写出解集．
【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝2，得y＝5，
∴A（2，5），
∴5＝，
∴k＝10；
（2）设直线AB交y轴于C，如图：

由得或，
∴B（﹣5，﹣2），
在y＝x+3中令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
S△OAB＝S△BOC+S△AOC
＝OC•|xA﹣xB|
＝×3×[2﹣（﹣5）]
＝；
（3）由图象可知：不等式x+3的解集是﹣5＜x＜0或x＞2．
21．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B（a，b）在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且BE＝2CE．
（1）求证：BD＝2AD；
（2）若四边形ODBE的面积是6，求k的值．

【分析】（1）应从BE＝2CE入手，得到反比例函数上点E的坐标，进而得到反比例函数上另一点D的坐标，和B的纵坐标比较即可求解；
（2）把所给的四边形面积分割为长方形面积减去两个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】（1）证明：∵BE＝2CE，B（a，b），
∴E的坐标为（a，b），
又∵E在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝ab，
∵D的横坐标为a，D在反比例函数y＝的图象上，
∴D的纵坐标为b，
∴BD＝2AD；
（2）解：∵S四边形ODBE＝6，
∴S矩形ABCO﹣S△OCE﹣S△OAD＝6，
即ab﹣ab﹣ab＝6，
∴ab＝9，
∴k＝ab＝3．
22．（2022•亭湖区校级模拟）如图，正比例函数y＝kx（k为常数）的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（a，3）．点B为x轴正半轴上一动点，过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点 D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若CD＝，求线段OB的长．

【分析】（1）把点A（a，3）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）设点B的坐标为（b，0），代入函数表达式中，得到C和D的坐标，根据CD的长度列出方程，求出b值即可．
【解答】解：（1）把点A（a，3）代入反比例函数（x＞0）得，
a＝2，
∴点A（2，3），代入y＝kx得，k＝，
∴正比例函数的关系式为；
（2）设点B的坐标为（b，0），
将x＝b代入和中，
得，，
∴C（b，），D（b，），
∵CD＝，
∴，
解得：b＝﹣1（舍）或b＝4，
∴OB的长度为4．
23．（2022春•吴中区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点 B、C在x轴的正半轴上，AB＝8，BC＝6．对角线AC，BD相交于点E，反比例函数（x＞0）的图象经过点E，分别与AB，CD交于点F，G．
（1）若OC＝10，求k的值；
（2）连接EG，若BF+BE＝11，求△CEG的面积．

【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到E（7，4），然后把E点坐标代入，可求得k的值；
（2）利用勾股定理计算出AC＝10，则BE＝EC＝5，所以BF＝6，设OB＝t，则F（t，6），E（t+3，4），利用反比例函数图象上点的坐标得到6t＝4（t+3），解得t＝6，从而得到反比例函数解析式为y＝，然后确定G点坐标，最后利用三角形面积公式计算△CEG的面积．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点B，AB＝8，BC＝6，
而OC＝10，
∴B（4，0），A（4，8），C（10，0），D（10，8），
∵对角线AC，BD相交于点E，
∴点E为AC的中点，
∴E（7，4），
把E（7，4）代入，得k＝7×4＝28；
（2）∵AC＝＝10，
∴BE＝EC＝5，
∵BF+BE＝11，
∴BF＝6，
设OB＝t，则F（t，6），E（t+3，4），
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点E、F，
∴6t＝4（t+3），解得t＝6，
∴k＝6t＝36，
∴反比例函数解析式为y＝，
∴OC＝12．
当x＝12时，y＝＝3，
∴G（12，3），
∴△CEG的面积＝×3×3＝．
24．（2022•靖江市校级三模）如图，在平面直角坐标系中，有函数y1＝（x＞0），y2＝（k＜0，x＞0），y3＝kx+6．
（1）若y2与y3相交于点A（2，m），
①求k与m的值；
②结合图象，直接写出y2＜y3时x的取值范围；
（2）在x轴上有一点P（a，0）且a＞0，过点P作y轴平行线，分别交y1、y2、y3于点B、C、D，经计算发现，不论k取何值，BC﹣BD的值均为定值，请求出此定值和点B的坐标．

【分析】（1）①将点A分别代入y2＝和y3＝kx+6，建立二元一次方程组，求解即可得m，k的值．
②由①可得，y3＝﹣4x+6，A（2，﹣2），则根据图象即可得出y2＜y3时x的取值范围．
（2）由已知条件，分别表示出点B，C，D的坐标，可得出BC﹣CD，进而可列方程求得a的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵y2与y3图象相交于点A（2，m），
∴把A（2，m）分别代入y2＝和y3＝kx+6，
得，
解得．
∴m的值为﹣2，k的值为﹣4．
②，y3＝﹣4x+6，A（2，﹣2），
根据图象可知，y2＜y3时，0＜x＜2．
（2）∵P（a，0），a＞0，
∴B（a，），C（a，），D（a，ak+6），
∴BC＝，BD＝|﹣ak﹣6|．
①当点D在点B下方时，
BC﹣BD＝﹣（﹣ak﹣6）＝﹣+ak+6＝ak﹣+6＝k（a﹣）+6．
∵不论k取何值，BC﹣BD的值均为定值，
∴a﹣＝0，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去）．
∴此定值为6，点B的坐标为（1，3）．
②当点D在点B上方时，
BC﹣BD＝﹣（ak+6﹣）＝+﹣ak﹣6＝k（﹣a﹣）﹣6．
∵不论k取何值，BC﹣BD的值均为定值，
∴﹣a﹣＝0，
此方程无解，
③当C与D重合时，则，
∴BC﹣BD＝0，随着k的变化，BC﹣BD必为定值，
∴k＝a2k+6a，解得k＝，
又∵a≠±1且a＞0，
∴当C与D重合时，此定值为0，点B的坐标为（a，），其中a＞0且a≠1，
，综上所述：此定值为6或0，点B的坐标为（1，3）或（a，）．