广东省揭阳市2023年八年级下学期期中数学试题【含答案】

八年级下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列是不等式的是（　　）

A．            B．          C．            D．

2．已知一个关于a的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是（　　）

A．            B．           C．                D．

3．如图，所给图形中是中心对称图形的是（　　）

A．         B．        C．            D．

4．如图，把沿方向平移得到，，则的长是（　　）

A．             B．            C．                D．

5．用反证法证明“若，则”时，应假设（　　）

A．           B．          C．             D．

6．如图，于点D，于点F，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（　　）

A．         B．        C．           D．

7．如图，函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集是（　　）

A．           B．           C．              D．

8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（　　） 

A．14               B．18               C．20                 D．26

9．如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点，则下列结论正确是（　　）

A．          B．         C．           D．

10．某班数学兴趣小组对不等式组，讨论得到以下结论：

①若，则不等式组的解集为；

②若，则不等式组无解；

③若不等式组有解，则a的取值范围；

④若不等式组只有四个整数解，则a的值只可以为7；

其中，正确结论的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

11．如图，数轴上表示关于x的不等式组的解集是．

12．已知点和点关于原点对称，则．

13．在中，，，则度．

14．若，则．（填“＞”或“＝”或“＜”）

15．如图，在中，，，，垂足为D．若，则的长为．

16．如图，在中，，边的垂直平分线交于D，交于E．若平分，则的度数为．

17．已知不等式组的解集为，则的值为．

三、解答题

18．解不等式：．

19．解不等式组，请按下列步骤完成解答：

（1）解不等式①，得；

（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集为．

20．如图，在中，，，，，求的长．

21．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．

（ 1 ）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形；

（ 2 ）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的；

（ 3 ）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．

22．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长.

23．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）请利用一次函数的知识说明：该商店购进A型多少台才能使销售利润最大，最大利润是多少？

（3）若限定该商店购进B型电脑数量不少于50台，则这100台电脑的销售总利润能否为12800元？若能，求出购进A型的数量，若不能，请说明理由．

24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：对于，这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得（1）（2）

从而将陌生的高次不等式化成了学过的一元一次不等式组，分别解两个不等式组即可求得原不等式组的解集，即：解不等式组（1）得，

解不等式组（2）得，

所以的解集为或．

请利用上述解题思想解决下面的问题：

（1）请直接写出的解集．

（2）对于，请根据有理数的除法法则化为我们学过的不等式（组）．

（3）求不等式的解集．

25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，，，C为y轴正半轴上一点，且．

（1）求∠OBC的度数；

（2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：

若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值；

若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系．

答案

1．A

2．D

3．C

4．C

5．A

6．C

7．A

8．A

9．D

10．B

11．

12．-1

13．50

14．＜

15．

16．84°

17．-1

18．解：去分母得：，

移项得：，

合并同类项得：，

解得：．

19．（1）x≤3

（2）x＞﹣1

（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：

（4）﹣1＜x≤3

20．证明：∵，，

∴（等边对等角），

∴（三角形的内角和是），

∵，

∴（垂直定义），

∴，

∴，

∴（等角对等边），

在中，，

∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边是斜边的一半），

答：BD的长是6．

21．⑴如图所示，即为所求；

⑵∵点P向右平移4个单位，向上平移4个单位得到点P′，

∴△ABC向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，如图所示.

⑶（2，1）

22．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，

在Rt△AED和Rt△AFD中， ，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE=AF，

∵BE=CF，

∴AE+BE=AF+CD， 即AB=AC，

即△ABC是等腰三角形；

（2）解：由（1）可知△ABC是等腰三角形，

又∵AD是△ABC的角平分线，BC=6，

∴BD=CD=3，AD⊥BC，

∵AB=5，

∴，

∵DE⊥AB，AD⊥BC，

∴S△ABD=BD•AD=AB•DE，

∴.

23．（1）解：由题意可得，

y＝120x+140（100-x）＝-20x+14000，

即y与x的函数关系是y＝-20x+14000；

（2）解：设购进A型电脑x台，购进B型电脑台

∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，

∴，解得，

∵，y随x的增大而减小，

∴当x＝25时，y取得最大值，此时，

答：该商店购进A型电脑25台时，才能使销售利润最大，最大利润是13500元；

（3）解：不能，

理由：由（2）知，，

由题意可得：，解得，

∴，

∵，y随x的增大而减小，

∴当x＝50时，y取得最小值，此时，

∵13000＞12800，

∴若限定该商店购进B型电脑数量不少于50台，则这100台电脑的销售总利润不能为12800元．

24．（1）

（2）解：由有理数的除法法则：两数相除，同号得正，

可以化为：①或②；

（3）解：根据除法法则可得：①或②，

解不等式组①得：，

解不等式组②得：，

所以的解集是或．

25．（1）解：（1）如图1：

在OA上取一点D，使得OD=OB，连接CD，则BD=2OB=4，

∵CO⊥BD，

∴CD=CB=4，

∴CD=CB=BD，

∴△DBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°；

（2）解：（2）①由题意，得AP=2t，BQ=t，

∵A（﹣3，0），B（2，0），

∴AB=5，

∴PB=5﹣2t，

∵∠OBC=60°≠90°，

∴下面分两种情况进行讨论，

Ⅰ）如图2：

当∠PQB=90°时，

∵∠OBC=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BQ=，

∴t=，解得：t=；

Ⅱ）当∠QPB=90°时，如图3：

∵∠OBC=60°，

∴∠BQP=30°，

∴PB=，

∴，

解得：t=2；

②如图4：

当a＜5时，

∵AP=a，BQ=b，

∴BP=5﹣a，

∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，

∴△PQB是等边三角形，

∴b=5﹣a，即a+b=5，

如图5：当a＞5时，

∵AP=a，BQ=b，

∴BP=a﹣5，

∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，

∴BP=BQ，

∴a﹣5=b，即a﹣b=5．