2022-2023学年河北省廊坊市三河市燕郊金子塔学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省廊坊市三河市燕郊金子塔学校九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  新冠肺炎传染性很强，曾有人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后人患上新冠肺炎，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  对于反比例函数，下列结论：
图象分布在第二，四象限；
当时，随的增大而增大；
图象经过点；
若点，都在图象上，且，则，
其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得函数的对称轴和最小值分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点、的读数分别为、，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点．若的半径为，且，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知函数，则下列函数图象正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点的坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：
；
；
方程的两个根是，；
当时，的取值范围是．
其中结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共20.0分）

11.  已知关于的一元二次方程有一个根为，则______．

12.  若点与点关于原点对称．
点在第        象限；
的值为        ．

13.  如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起，将直角三角形沿着轴正方向平移到直角三角形的位置．已知点，点，，平移距离为．
点的坐标为______；
阴影部分的面积______．

14.  如图，圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为______．
 

15.  如图，在中，，将绕点顺时针旋转得，若平分，则______；若平分，则______．

16.  如图，的顶点和分别在轴、轴的正半轴上，且轴，点，将以点为旋转中心顺时针方向旋转得到，恰好有一反比例函数图象恰好过点，则的值为______．

17.  如图，有公共顶点、的正五边形和正六边形，连接交正六边形于点，则的度数为______．
 

18.  如图，的半径弦于点，连结并延长交于点，连结若，，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：
；
．

20.  本小题分
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
求当时此方程的根．

21.  本小题分
请你依据如图图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：
若小颖选择了房间，那么她获胜的概率为______；
用树状图表示出所有可能的寻宝情况；求在寻宝游戏中胜出的概率．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，位置如图所示：
写出点关于轴对称的点的坐标为______，点关于原点的对称点的坐标为______．
将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得，其中、、分别和、、对应，则点的坐标为______；将绕原点逆时针旋转得，其中、、分别和、、对应，则点的坐标为______；
在轴上找一点，使得点到、两点的距离相等，则点的坐标为______；
在轴上找一点，使得与的面积相等，求点的坐标．

23.  本小题分
某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件．如果每件商品的售价每上涨元，则每个月就会少卖出件，但每件售价不能高于元，设每件商品的售价上涨元为整数，每个月的销售利润为元．
求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
当为何值时的值为？
每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

24.  本小题分
如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点．
求反比例函数的表达式和点的坐标；
利用图象，直接写出当时的取值范围；
为线段上一点，作轴与反比例函数图象交于点，与轴交于点，当时，直接写出点的坐标．

25.  本小题分
如图，是等边内的一点，且，，，将绕点逆时针旋转，得到．
旋转角为______度；
求点与点之间的距离；
求的度数．

26.  本小题分
一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．
求抛物线的函数解析式不写自变量的取值范围；
小球在斜坡上的落点的垂直高度为______米；
若要在斜坡上的点处竖直立一个高米的广告牌，点的横坐标为，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故选：．
根据“人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后人患上新冠肺炎”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：反比例函数，
该函数的图象分布在第二、四象限，故正确；
当时，随的增大而增大，故正确；
当时，，故正确；
若点，都在图象上，且，则点和点都在第二象限或都在第四象限时，点在第二象限，点在第四象限时，故错误；
故选：．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

4.【答案】 

【解析】解；将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的函数表达式是，即．
所以对称轴为，最小值为；
故选：．
根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，．

由题意，，
，
故选：．
连接，，利用圆周角定理求解即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意．
故选：．
先由二次函数的图像 得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．
本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的图像与系数间的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：设与正方形的两边，相切于点、，连接、，
四边形是正方形，
，，
圆与正方形的两边、相切，
，
，
四边形是正方形，
，
和与圆相切，圆的半径为，
，，
，
故选：．
连接、，证明正方形，求出长和长，根据求出即可．
本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出长和得出．
 

8.【答案】 

【解析】解：，开口向上，对称轴是轴，顶点坐标是，当时，、、D正确；
，图象在第一、三象限，当时，C正确．
故选：．
分析在时的性质和在时的性质，选出正确选项即可．
本题考查的是二次函数图象和反比例函数图象，正确理解图象与系数之间的关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
的半径，
阴影部分的面积扇形的面积的面积


，
故选：．
根据圆周角定理可得，然后根据阴影部分的面积扇形的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以错误；
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
方程的两个根是，，所以正确；
当时，，所以正确；
故选：．
利用抛物线开口方向以及与轴的交点情况可对进行判断；与对称轴的位置结合开口方向，则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置，抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的解的定义把代入原方程得到关于的一元二次方程，解得，然后根据一元二次方程的定义确定的值．
【解答】
解：把代入得，解得，
，
．
故答案为．  

12.【答案】二   

【解析】解：点与点关于原点对称，
点，
点在第二象限．
故答案为：二；
点与点关于原点对称，
，，
解得：，，
．
故答案为：．
根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，即可求解；
根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得，，即可求解．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
 

13.【答案】   

【解析】解：，点，
，
平移距离为，
，，
，
，
；
故答案为：；
将直角三角形沿着轴正方向平移到直角三角形的位置，
，
，
梯形的面积阴影部分的面积，


．
故答案为：．
求出，的长度即可得出答案；
根据平移的性质得，从而，梯形的面积阴影部分的面积，求梯形的面积即可得到阴影部分的面积．
本题考查了坐标与图形变化平移，掌握梯形的面积阴影部分的面积是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
的直径垂直于弦，
，为等腰直角三角形，
，
．
故答案为．
根据圆周角定理得，由于的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
 

15.【答案】   

【解析】解：由旋转的性质得：，
，
若平分，
则；
若平分，
则与重合，；
故答案为：；．
由旋转的性质和角平分线定义即可得出答案．
本题考查了旋转的性质以及角平分线定义；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：轴，点，将以点为旋转中心顺时针方向旋转得到，
，
把代入中，得到，
故答案为．
利用旋转变换的性质求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】 

【解析】略
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
连结，设的半径为，由，根据垂径定理得，在中，，，根据勾股定理得到，解得，则，由于为的中位线，则，再根据圆周角定理得到，然后在中利用勾股定理可计算出．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．
【解答】
解：连结，设的半径为，如图，
，
，
在中，，，
，
，解得，
，
，
为直径，
，
在中，．
故答案为：．  

19.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得：，
解得；
当时，方程为，
则，
解得：，． 

【解析】由方程有两个不相等的实数根即可得出，据此即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
将代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：根据根的个数结合根的判别式得出关于的一元一次不等式．
 

21.【答案】 

【解析】解：若小颖选择了房间，那么她获胜的概率为．
故答案为：．
根据题意画树状图如下：

共有种等可能的情况数；
因为共有种等可能的情况数，其中在寻宝游戏中胜出的有种，
则寻宝游戏中胜出的概率是．
若小颖选择了房间，那么她获胜的概率为；
找出在寻宝游戏中胜出的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
 

22.【答案】 
  

如图，点，点即为所求，，．
 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称和中心对称中的坐标变化，平移变换和旋转变换的坐标变化，正确作出图形是解题关键，同时考查三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
根据关于轴、轴对称的点的坐标规律可直接写出答案；
利用平移变换，旋转变换的性质分别作出图形，可得结论；
线段的垂直平分线与轴的交点即为所求；
利用等高模型以及轴对称的性质作出点即可解决问题．
【解答】
解：，
点关于轴对称点的坐标是；
，
点关于原点对称点的坐标是，
故答案为：，；

如图，，即为所求．，；

故答案为：，；

如图，点即为所求，；
故答案为：；

见答案．  

23.【答案】解：，且为整数；

，
，
解得或，
，
，
当时，的值为；
由知，，且为整数．
，
当时，元，
此时，每件商品的售价为元．
答：每件商品的售价为元时，商品的利润最大，为元． 

【解析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，得到与的函数关系式是解决本题的突破点，注意结合自变量的取值求得相应的售价．
销售利润每件商品的利润上涨的钱数，根据每件售价不能高于元，可得自变量的取值；
让中的，解方程求得合适的的解即可；
利用公式法结合得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可．
 

24.【答案】解：把代入可得，
，即，
，解得，
反比例函数表达式为，
解，得或，
；
由图象可得，
当时，或；
设，则，
，
，
或，
点的坐标或 

【解析】由一次函数求得的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标；
根据图象即可求得；
设，则，根据题意列方程即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转，
，
为等边三角形，
，
旋转角度为，
故答案为：；
连接，
是等边三角形，

，，
是绕点逆时针旋转得到的，
≌，
，，，
，，
是等边三角形，
；
即点与点之间的距离是；
，，，
而，
，
是直角三角形，且，
是等边三角形，
，
．
根据旋转角度的定义进行解答便可；
连接，根据等边三角形的性质得，，由旋转的性质得，，，，，于是可判断是等边三角形，所以；
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再加上，然后计算即可．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为；
联立方程组，
解得或，
，
小球在斜坡上的落点的垂直高度为米，
故答案为：；
当时，，，
，
小球能飞过这棵树；
小球在飞行的过程中离斜坡的高度，
小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为 ．
设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案；
联立抛物线解析式和一次函数解析式，解方程组求出点坐标即可；
把分别代入和，即可得到答案；
根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．