2022-2023学年福建省龙岩市九年级（上）期末数学试卷（一检）（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省龙岩市九年级（上）期末数学试卷（一检）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 二次函数y=(x+3)2+7的顶点坐标是( )
A. (−3,7)B. (3,7)C. (−3,−7)D. (3,−7)
3. 若x=−1是关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0的一个根，则a−b的值为( )
A. 1B. −2C. −1D. 2
4. 下列事件中，是随机事件的是( )
A. 画一个三角形，其内角和是180°
B. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
C. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7
D. 在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6
5. 将抛物线y=x2通过一次平移可得到抛物线y=(x+5)2，对这一平移过程描述正确的是( )
A. 向上平移5个单位长度B. 向下平移5个单位长度
C. 向左平移5个单位长度D. 向右平移5个单位长度
6. 某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，计划2023年投入400亿元研发资金.若2021年到2023年投入的研发资金年平均增长率均为x，则下列方程中正确的是( )
A. 100(1+x)=400B. 100(1+2x)=400
C. 100(1+x)+100(1+x)2=400D. 100(1+x)2=400
7. 如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 80°
8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧.如图1，点M表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O(O在水面上方)为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米.若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为( )
A. 2米B. 3米C. 4米D. 5米
9. 将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形.例如，三角形既有外接圆也有内切圆，所以三角形是双心多边形.下列图形中：①正方形；②长方形；③正五边形；④六边形.其中是双心多边形的有( )
A. ①②④B. ①③C. ①④D. ②③④
10. 已知，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是线段AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，过F作FG⊥CD于点G，连接EF，取EF的中点H，连接DH，AH.点E在运动过程中，下列结论：
①△ADE≌△GDF；
②当点H和点G互相重合时，AE=6；
③AH平分∠DAB；
④32≤AH≤72.正确的有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 点(−2,1)关于原点对称的点的坐标为______．
12. 动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位.某天，小刘计划从龙岩坐动车前往福州出差，于是在铁路12306平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率为 ．
13. 用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出了如下表格：
根据以上信息，当x=0时，y= ．
14. 如图，点A是y轴正半轴上一点，将线段AO绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC，若△AOC的面积为3，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点C，则k的值为 ．
15. 如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则阴影部分的面积是 (结果保留π)．
16. 已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线y=ax2−3x+1上的两点，其对称轴是直线x=x0，若|x1−x0|>|x2−x0|时，总有y1>y2，同一坐标系中有M(−1,−2)，N(3,2)，且抛物线y=ax2−3x+1与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解下列方程：
(1)x2−16=0；
(2)x2+4x=12．
18. (本小题8.0分)
已知关于x的方程x2−4x+2k+1=0．
(1)k取什么值时，方程有两个实数根；
(2)如果方程有两个实数根x1，x2，且x2−2x1−2x2+9=0，求k的值．
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,4)，B(3,2)，若△OAB绕点O逆时针旋转90°后，得到△OA1B1(A对应点是A1，B对应点是B1).
(1)画出△OA1B1，并直接写出A1的坐标；
(2)求旋转过程中A点的运动路径长(结果保留π)．
20. (本小题8.0分)
2022年10月16日至10月22日，中国共产党的第二十次全国代表大会在北京召开.在党的二十大召开之际，为激励引领全校青少年传承红色基因，争做党的事业接班人，某校团委组织了“红心永向党喜迎二十大”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.(其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”)

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为 人，m= ；
(2)学校将从获得一等奖的4名同学(1名男生，3名女生)中随机抽取2名参加全市的比赛，请利用树状图或列表求抽取同学中恰有1名男生和1名女生的概率．
21. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=x−3的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(4,m)．
(1)求△AOB的面积；
(2)若y1>y2，结合图象，直接写出对应的自变量x的取值范围 ．
22. (本小题10.0分)
如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF)，菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m.(篱笆的宽度忽略不计)
(1)菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由．
(2)因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．
23. (本小题10.0分)
阅读下列材料，并回答问题．
[材料]自从《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生.他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”.在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，⊙O及⊙O外一点P.求作：直线PM，使PM与⊙O相切于点M”．
班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：
(1)连接OP，以O为圆心，OP长为半径作大圆O；
(2)若OP交小圆O于点N，过点N作小圆O的切线与大圆O交于A，B两点(点A在点B的上方)；
(3)连接AO交小圆O于M，连接PM，则PM是小圆O的切线．
[问题]
(1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图(尺规作图，保留作图痕迹)，并说明理由．
(2)延长AO交大圆O于C，连接CN，若OA=2，OM=1，求CN的长．
24. (本小题12.0分)
将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，且点D落在BC的延长线上，连接CE．
(1)如图1，若α=120°，∠DEC=90°，CE交AD于点F．
①求∠BAC的度数；
②直接写出EFCF的值．
(2)如图2，若点M，N分别为BD，CE的中点，连接MN并延长交AD于点G，求证：MG⊥AD．
25. (本小题14.0分)
已知抛物线y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点O为坐标原点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若点D是线段OC上靠近点O的一个三等分点，点P是抛物线的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交射线BC，BD于点M，N．
①求直线BD的解析式(用含a的式子表示)；
②设△NBM，△NBP的面积分别为S1，S2，若S1S2=12，求此时点P的横坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=(x+3)2+7是顶点式，
∴顶点坐标为(−3,7)．
故选：A．
因为顶点式y=a(x−h)2+k，其顶点坐标是(h,k)，对照求二次函数y=(x+3)2+7的顶点坐标．
本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考考查重点，同学们应熟练掌握．
3.【答案】A
【解析】解：把x=−1代入方程ax2+bx−1=0得a−b−1=0，
所以a−b=1．
故选：A．
利用一元二次方程根的定义把x=−1代入方程可得到a−b的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】D
【解析】解：A、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
B、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；
C、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7，是必然事件；
D、在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6，属于随机事件；
故选：D．
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项判断即可．
本题主要考查随机事件的概念：随机事件是可能发生，也可能不发生的事件．
5.【答案】C
【解析】解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+5)2，则这个平移过程正确的是向左平移了5个单位，
故选：C．
根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意得，100(1+x)2=400，
故选：D．
根据题意得到关系式为：2021年研发资金投入×(1+年平均增长率)2=2023年研发资金投入，把相关数值代入即可
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
7.【答案】B
【解析】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示：
∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，
∴A、C、B、D四点共圆，
∵量角器上点D对应的读数是100°，
∴∠BOD=180°−100°=80°，
∴∠BCD=12∠BOD=40°，
故选：B．
根据以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，可知A、C、B、D四点共圆，再根据圆周角定理求解即可．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，

∵AB=8米
∴AE=BE=12AB=12×8=4米，
∵DE=2米，
∴设OD=OA=x米，则OE=(x−2)米，
在Rt△AOE中，OE2+AE2=OA2，即(x−2)2+42=x2，
解得x=5，
故OA=5米．
故选：D．
过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE=BE=4，设OD=x，则OE=x−2，再利用勾股定理计算出x的值即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据正多边形既有外接圆又有内切圆可知：正方形、正五边形、都是双心多边形，
∴双心多边形有①③，
故选：B．
根据正多边形既有外接圆又有内切圆可得答案．
本题主要考查了正多边形和圆的知识，熟练掌握正多边形既有外接圆又有内切圆是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，
∴DE=DF，∠EDF=90°=∠ADC，
∴∠ADE=∠FDG，
∵FG⊥CD，
∴∠FGD=90°=∠DAB，
∴△ADE≌△GDF(AAS)，故①正确；
当点H和点G互相重合时，如图：

∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，
∴DE=DF，∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵H是EF中点，FG⊥DC，
∴∠HDE=12∠FDE=45°=∠DEH，
∴∠ADE=∠ADC−∠HDE=45°，
∴∠AED=180°−∠DAB−∠ADE=45°=∠ADE，
∴AE=AD=BC=6，故②正确；
如图：

∵△DEF是等腰直角三角形，H是EF的中点，
∴∠DHE=90°，∠EDH=45°，
∵∠DAE=90°，
∴∠DHE+∠DAE=180°，
∴D，H，E，A共圆，
∴∠HAE=∠EDH=45°，
∴∠DAH=∠DAB−∠HAE=90°−45°=45°，
∴∠DAH=∠HAE，
∴AH平分∠DAB，故③正确；
当E与A重合时，AH最短，如图：

此时F与G都在DC上，
∵△DEF是等腰直角三角形，H是EF中点，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=AD2=62=32，
∴AH最小为32，
当E与B重合时，AH最大，过H作HK⊥AB于K，如图：

∵∠HAB=45°，
∴AK=HK，
∵BD=AD2+AB2=10，
∴BH=BD2=52，
设AK=HK=x，则BK=8−x，
∵BH2−BK2=HK2=AK2，
∴(52)2−(8−x)2=x2，
解得x=1(舍去)或x=7，
∴HK=7，
∴AH=2HK=72，
∴AH最大为72，
∴32≤AH≤72，故④正确；
∴正确的有4个，
故选：D．
由四边形ABCD是矩形，线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，可证△ADE≌△GDF(AAS)，故①正确；当点H和点G互相重合时，由△DEF是等腰直角三角形，H是EF中点，FG⊥DC，可得∠AED=45°=∠ADE，从而AE=AD=BC=6，故②正确；由∠DHE+∠DAE=180°，可得D，H，E，A共圆，有∠HAE=∠EDH=45°，即得∠DAH=∠HAE，AH平分∠DAB，故③正确；分别求出AH的最大，最小值，可得32≤AH≤72，故④正确．
本题考查矩形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是求出AH的最大，最小值．
11.【答案】(2,−1)
【解析】解：点(−2,1)关于原点对称的点的坐标为(2,−1)．
故答案为(2,−1)．
根据点P(a,b)关于原点对称的点P′的坐标为(−a,−b)即可得到点(−2,1)关于原点对称的点的坐标．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点P(a,b)关于原点对称的点P′的坐标为(−a,−b)．
12.【答案】25
【解析】解：∵动车上二等座车厢每排都有A，B，C，D，F五个座位，其中A和F是靠窗的座位，
∴小刘的座位是靠窗的概率为25，
故答案为：25．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：由上表可知函数图象经过点(1,0)和点(3,0)，
∴对称轴为x=2，
∴当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值，
∵当x=4时，y=3，
∴当x=0时，y=3．
故答案是：3．
根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=0时，y的值即可．
本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：作CD⊥OA于点D，

∵将线段AO绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC，，
∴O′B=OB=4，
∴△AOC是等边三角形，
∴CD=OCsin60°=32OA，OD=AD=AC⋅cs60°=12OA，
∵△AOC的面积为3，
∴12OA⋅CD=12OA⋅32OA=3，
∴OA=2，
∴CD=3，OD=1，
∴点C的坐标为：(3,1)，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点C，
∴k=3×1=3，
故答案为：3．
根据题意得到∴△AOC是等边三角形，解直角三角形求得点C的坐标，进而可以求得k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化−旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．
15.【答案】4π−4
【解析】解：连接CD，
在Rt△ACB中，AB=42+42=42，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=22，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分=S扇形ACB−S△ADC=14π×42−12×(22)2=4π−4．
故答案为：4π−4．
已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
16.【答案】12≤a<2
【解析】解：设直线MN的解析式为y=kx+b(k≠0)，
则−k+b=−23k+b=2，
∴k=1b=−1，
∴MN的解析式为y=x−1，
∵A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线y=ax2−3x+1上的两点，其对称轴是直线x=x0，若|x1−x0|>|x2−x0|时，总有y1>y2，
∴a>0，
∵抛物线y=ax2−3x+1与线段MN有两个不相同的交点，
∴x=3时，y≥2，且抛物线与直线MN有交点，且−−32a≤3满足条件，
∴a≥12，
令x−1=ax2−3x+1，整理得：ax2−4x+2=0，
∵Δ=16−8a>0，
∴a<2，
∴12≤a<2，
故答案为：12≤a<2．
用待定系数法求出MN的解析式，根据二次函数的性质得出x=3时，y≥2，且−−32a≤3，进一步利用Δ>0求解即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．
17.【答案】解：(1)x2−16=0，
x2=16，
∴x=±4，
∴x1=−4，x2=4；
(2)x2+4x=12，
x2+4x−12=0，
(x−2)(x+6)=0，
∴x−2=0或x+6=0，
∴x1=2，x2=−6．
【解析】(1)利用直接开平方法解方程；
(2)利用因式分解法进行求解一元二次方程即可．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵方程有两个实数根，
∴(−4)2−4×1×(2k+1)≥0，
16−8k−4≥0，
解得：k≤32；
(2)∵方程有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=4，
∵x2−2x1−2x2+9=0，
∴x2−2(x1+x2)+9=0，
∴x2−2×4+9=0，
∴x2=−1，
∵x1+x2=4，
∴x1=5，
∵x1⋅x2=2k+1，
∴−1×5=2k+1，
解得：k=−3．
【解析】(1)根据根的判别式大于等于0，求出k的范围即可；
(2)利用根与系数的关系化简已知等式，计算即可得到k的值．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△OA1B1即为所求．
点A1的坐标为(−4,1)．
(2)由勾股定理得，OA=12+42=17，
∴旋转过程中A点的运动路径长为90π×17180=17π2．

【解析】(1)根据旋转的性质作图，即可得出答案．
(2)利用勾股定理求出OA的长，再利用弧长公式求解即可．
本题考查作图−旋转变换、弧长公式、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理以及弧长公式是解答本题的关键．
20.【答案】40 30
【解析】解：(1)获奖总人数为8÷20%=40(人)，
C等级人数为40−(4+8+16)=12(人)，
∴m%=1240×100%=30%，即m=30，
故答案为：40、30；
(2)画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中1男1女的结果数为6，
所以抽取的同学恰好是1男1女的概率为612=12．
(1)由B等级人数及其所占百分比可得总人数，再求出C等级人数，继而除以总人数可得m的值；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
21.【答案】x<−1或0【解析】解：(1)∵点A(4,m)在一次函数y2=x−3的图象上，
∴m=4−3=1．
∴A(4,1)，
点A(4,1)在反比例函数y1=kx的图象上，
∴k=4×1=4，
∴y1=4x，
由y=4xy=x−3解得x=4y=1或x=−1y=−4，
∴B(−1,−4)
设直线y2=x−3与x轴的交点为C，
令y=0，则x−3=0，解得x=3，
∴C(3,0)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×4=152．
(2)若y1>y2，自变量x的取值范围x<−1或0故答案为：x<−1或0(1)由一次函数解析式求得m的值，然后根据待定系数法求得反比例函数解析式，解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，设直线AB与x轴的交点为C(3,0)，然后根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求得；
(2)根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，求得函数的解析式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设AB的长为x m，则BC的长为(60−3x)m，
根据题意得：x(60−3x)=252，
解得x=6或x=14，
当x=6时，BC=60−18=42>39，舍去；
当x=14时，BC=60−42=18<39，满足题意，
∴花园面积可能是252m2，此时边AB长为14m；
(2)设AB的长为x m，菜园面积为ym2，
由题意得：y=x(60−3x)=−3x2+60x=−3(x−10)2+300，
∵−3<0，
∴当x<10时，y随x的增大而增大，
∵x≤8，
∴当x=8时，y最大，最大值为288．
答：该菜园面积的最大值为288平方米．
【解析】(1)设AB的长为x m，则BC的长为(60−3x)m，根据矩形的面积=252列出方程，解方程取符合题意的值即可；
(2)设AB的长为x m，菜园面积为ym2，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和解析式．
23.【答案】解：(1)小岩同学所在的学习小组提供的作图方法正确．理由：
按照步骤完成作图如下：

由题意得：OA=OP，ON=OM，
∵AB为小圆的切线，
∴ON⊥AB，
∴∠ANO=90°．
在△PMO和△ANO中，
OP=OA∠O=∠OOM=ON，
∴△PMO≌△ANO(SAS)，
∴∠PMO=∠ANO=90°，
∴OM⊥PM，
∵OM为小圆的半径，
∴PM是小圆的切线；
(2)连接BC，如图，

∵AB为小圆的切线，
∴ON⊥AB，
∴AN=NB=12AB．
∵OM=ON，OM=1
∴ON=1，
∴AN=OA2−ON2=3，
∴BN=AN=3．
∵AC为小圆的直径，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵ON⊥AB，
∴ON//BC，
∴BC=2ON=2，
∴CN=BN2+BC2=7．
【解析】(1)利用同圆的半径相等，全等三角形的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)连接BC，利用圆的解析的性质定理，垂径定理和勾股定理求得AN，BN，再利用圆周角定理，三角形的中位线定理和勾股定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
24.【答案】(1)解：①∵AB=AD，∠BAD=120°，
∴∠B=∠ADB=30°，
∵AC=AE，∠CAE=120°，
∴∠ACE=∠AEC=30°，
∵∠DEC=90°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=30°+90°=120°，
由旋转变换的性质可知∠ACB=∠AED，
∴∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB=180°−30°−120°=30°；
②由①可知，∠ADB=∠ADE=30°，
∴∠CDE=60°，
∵∠CED=90°，
∴∠ECD=∠FDC=30°，
∴CF=FD，
∵∠DEF=90°，∠EDF=30°，
∴DF=2EF，
∴CF=2EF，
∴EFCF=12．
(2)证明：连接AM，AN．

∵AB=AD，BM=DM，
∴AM⊥BD，AM平分∠BAD，
∵AC=AE，CN=EN，
∴AN⊥CE，AN平分∠CAE，
∴∠AMC=∠ANC=90°，
∴A，C，M，N四点共圆，
∴∠ACN=∠AMN，
∵∠BAD=∠CAE=α，
∵∠CAN=12∠CAE，∠MAD=12∠BAD，
∴∠CAN=∠MAD，
∵∠ACN+∠CAN=90°，
∴∠AMG+∠MAG=90°，
∴∠AGM=90°，
∴MG⊥AD．
【解析】(1)①由旋转变换的性质可知∠ACB=∠AED，求出∠AED=120°，可得结论；
②证明CF=DF，DF=2EF，可得结论；
(2)连接AM，AN，证明∠ACN=∠AMG，∠CAN=∠MAD，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题．
25.【答案】解：(1)抛物线y=ax2−2ax−3a，当y=0时，则ax2−2ax−3a=0，
∵a>0，
∴x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)．
(2)①抛物线y=ax2−2ax−3a，当x=0时，y=−3a，
∴C(0,−3a)，
∴OC=3a，
∵点D是线段OC上靠近点O的一个三等分点，
∴OD=13OC=13×3a=a，
∴D(0,−a)，
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∵直线y=kx+b经过点B(3,0)，D(0,−a)，
∴3k+b=0b=−a，解得k=13ab=−a，
∴直线BD的解析式为y=13ax−a．
②设直线BC的解析式为y=px+q，
∵直线y=px+q经过点B(3,0)，D(0,−3a)，
∴3p+q=0q=−3a，解得，p=aq=−3a，
∴直线BC的解析式为y=ax−3a，
∵△NBM，△NBP的面积分别为S1，S2，且S1S2=12，
∴MNPN=12，
∴PN=2MN，
设点P的横坐标为x，则P(x,ax2−2ax−3a)，M(x,ax−3a)，N(x,13ax−a)，
∴MN=13ax−a−(ax−3a)=−23ax+2a，
当点P在线段MN的延长线上，如图1，则PN=ax2−2ax−3a−(13ax−a)=ax2−73ax−2a，
∴ax2−73ax−2a=2(−23ax+2a)，解得x1=−2，x2=3(不符合题意，舍去)；
当点P在线段MN上，如图2，此时PN≠2MN；
当点P在线段NM的延长线上，如图3，则PN=13ax−a−(ax2−2ax−3a)=−ax2+73ax+2a，
∴−ax2+73ax+2a=2(−23ax+2a)，解得x1=23，x2=3(不符合题意，舍去)；
综上所述，点P的横坐标为−2或23．
【解析】(1)抛物线y=ax2−2ax−3a，令y=0，则ax2−2ax−3a=0，解得x1=−1，x2=3，则A(−1,0)，B(3,0)；
(2)①先求得C(0,−3a)，则D(0,−a)，即可用待定系数法求得直线BD的解析式为y=13ax−a；
②先求得直线BC的解析式为y=ax−3a，由题意得PN=2MN，设点P的横坐标为x，则P(x,ax2−2ax−3a)，M(x,ax−3a)，N(x,13ax−a)，所以MN=13ax−a−(ax−3a)=−23ax+2a，再分三种情况讨论，一是点P在线段MN的延长线上，则PN=ax2−2ax−3a−(13ax−a)=ax2−73ax−2a，可列方程ax2−73ax−2a=2(−23ax+2a)；二是点P在线段MN上，此时PN≠2MN；三是点P在线段NM的延长线上，则PN=13ax−a−(ax2−2ax−3a)=−ax2+73ax+2a，可列方程−ax2+73ax+2a=2(−23ax+2a)，解方程求出符合题意的x的值即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等高三角形面积的比等于底边长的比、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
x
…
1
2
3
4
…
y=ax2+bx+c
…
0
−1
0
3
…