2022-2023学年内蒙古包头市东河区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年内蒙古包头市东河区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是( )
A. B. C. D.
2. 若ab=cd=ef=13，则3a−2c+e3b−2d+f的值为( )
A. 13B. 1C. 1.5D. 3
3. 某校开展了学习二十大精神的知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取1名学生，恰好抽到女学生的概率为( )
A. 14B. 12C. 34D. 13
4. 下列说法正确的是( )
A. 有一个角等于105°的两个等腰三角形相似
B. 两个菱形一定相似
C. 有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D. 相似三角形一定不是全等三角形
5. 一元二次方程x2−16x−1=0，配方后可变形为( )
A. (x−4)2=1B. (x−4)2=17C. (x−8)2=1D. (x−8)2=65
6. 某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为4cm，∠B=60°，那么EF为( )
A. 43cmB. 2cmC. 23cmD. 1cm
9. 如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上.已知直角三角纸板中DE=18cm，EF=12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是( )
A. 74.2mB. 77.8mC. 79.6mD. 79.8m
10. 如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=2：1，则PQ的长为( )
A. 36mmB. 40mmC. 50mmD. 120mm
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 如图，在△ABC中，DE//AB，DF//BC，如果AFFB=23，那么CEEB= ．
12. 若a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则2a2+4a的值是______．
13. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率(结果保留两位小数)约 ．
14. 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是 ．
15. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，依题意可列方程，得______．
16. 在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为______．
17. 如图，已知点P(6,4)，过点P做PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=kx(x>0)的图象交于PM与点A，交PN于点B.若四边形OAPB的面积为16，则k= ．
18. 如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③CM：AM=1：3；④△FMC∽△ADC；⑤S△ADE：S△BCM=2：3.其中正确的结论是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题14.0分)
(1)用适当的方法解方程：
①x2=x+56．
②2x(x−2)=2−x．
(2)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根．
①求实数k的取值范围．
②设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=−3，求k的值．
20. (本小题10.0分)
一个不透明的袋中装有2个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．
(1)若先从袋中摸出1个球，记下颜色后放回，混合均匀后再摸出1个球．
①请列出所有可能出现的结果：求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率．
(2)若先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC和△ADE中，∠DAB=∠EAC，∠C=∠E．
(1)求证：AD⋅BC=AB⋅DE；
(2)若S△ADE：S△ABC=4：9，BC=6，求DE的长．
22. (本小题10.0分)
△ABC中，∠B=90°，AB=10cm，BC=12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒．
(1)填空：BQ= ，PB= (用含t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，PQ的长度等于10cm？
(3)是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于9cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图，一次函数y=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数y=k2x(k2≠0)的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−2,1)，点B的坐标为(1,n)．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出满足k1x+b>k2x的取值范围；
(3)求△ABO的面积；
(4)点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
24. (本小题12.0分)
在四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

(1)如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE=CF；
(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DECF=ADCD；
(3)如图3，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，DECF=ADCD成立？并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键.根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．
【解答】
解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是正方形，俯视图是正方形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选D．
2.【答案】A
【解析】解：∵ab=cd=ef=13，
∴3a3b=−2c−2d=ef=13，
∴3a−2c+e3b−2d+f=13，
故选：A．
利用等比性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵有3名女学生，1名男学生，从这4名学生中随机抽取1名学生，
∴恰好抽到女学生的概率为：34．
故选：C．
由概率公式，利用女生人数÷总数=抽到女学生的概率，求解即可．
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式的意义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、有一个角等于105°的两个等腰三角形相似，因为105°只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；
B、两个菱形一定相似，错误，角不一定相等，本选项不符合题意；
C、有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，错误，45°角不一定是对应角，本选项不符合题意；
D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
根据相似图形的定义一一判断即可．
本题考查相似图形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：∵x2−16x−1=0，
∴x2−16x=1，
∴x2−16x+64=1+64，即(x−8)2=65，
故选：D．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
易知y是x的反比例函数，再根据边长的取值范围即可解题．
本题考查反比例函数的应用，根据反比例函数解析式确定y的取值范围，即可求得x的取值范围，熟练掌握实际问题的反比例函数图象是解题的关键．
【解答】
解：∵长方形草坪面积为100m2，
∴x、y存在反比例关系：y=100x，
∵两边长均不小于5m，
∴x≥5、y≥5，
当y≥5时，x≤20，
∴5≤x≤20；
故选：C．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可．
【解答】
解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°−45°=135°，
A、C、D图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，BC=2，AC=2，
对应的图形B中的阴影三角形中钝角的两条边长分别为1和2，
∵12=22，
∴图B中的三角形(阴影部分)与△ABC相似，
故选B．
8.【答案】C
【解析】解：连接BD、AC，则两条线交于点O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD．
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°−60°=30°．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AO=12AB=12×4=2，
∴BO=DO=23，
∴BD=43．
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF垂直平分AO．
∵AO⊥BD，AO⊥EF，
∴EF//BD．
∵EF//BD，EF平分AO，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=12BD=23．
故选：C．
连接BD、AC，则两条线交于点O.分析题意，首先根据菱形的性质得出AC⊥BD、AC平分∠BAD，结合已知可得∠ABO=30°；在Rt△AOB中，根据30°所对的直角边为斜边的一半可得AO=12AB，再由勾股定理可得到BO的长度，进而可得BD的长；接下来，根据折叠的性质得出EF垂直平分AO，推出EF//BD，则有EF为△ABD的中位线，然后根据三角形中位线的性质即可求解．
此题考查的是菱形的性质、翻折性质、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D=∠D，∠DEF=∠DCB=90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴DEEF=CDBC，
即1812=114BC，
解得：BC=76(m)，
∵AC=1.8m，
∴AB=AC+BC=1.8+76=77.8(m)，
即树高79.8m，
故选：B．
先判定△DEF和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判定出△DEF和△DCB相似是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，设AD交PM于点K．
∵PM：PQ=2：1，
∴可以假设MP=2k mm，PQ=k mm．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM//BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC//PM，
∴AD⊥PN，
∴PMBC=AKAD，
∴2k120=90−k90，
解得k=36，
∴PQ=36mm．
故选：A．
利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】32
【解析】解：∵DF//BC，
∴AF：FB=AD：DC=2：3，
∴CDAD=32，
∵DE//AB，
∴CEEB=CDAD=32，
故答案为：32．
由平行线分线段成比例定理，得到AF：FB=AD：DC=2：3，CE：BE=CD：DA，即可得到答案．
本题考查平行线分线段成比例，关键是掌握平行线分线段成比例定理．
12.【答案】6
【解析】解：∵a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，
∴a2+2a−3=0，
∴a2+2a=3，
∴2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6，
故答案为：6．
将a代入x2+2x−3=0，即可得出a2+2a=3，再把a2+2a=3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
13.【答案】0.83
【解析】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为0.83．
故答案为：0.83．
根据大量的试验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
14.【答案】(−2,−4)
【解析】解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以−2，
故点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是(−2,−4)，
故答案为：(−2,−4)．
根据以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以−2，即可得出点A′的坐标．
此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或−k是解题关键．
15.【答案】(1+x)2=144
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=144，
即(1+x)2=144，
故答案为：(1+x)2=144．
患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=144即可．
考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
16.【答案】3
【解析】解：∵∠AED=∠B，∠A是公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴S△ADES△ABC=(AEAB)2，
∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，
∴△ABC的面积为9，
∵AE=2，
∴49=(2AB)2，
解得：AB=3．
故答案为：3．
由∠AED=∠B，∠A是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得S△ADES△ABC=(AEAB)2，然后由AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，即可求得AB的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方．
17.【答案】8
【解析】解：∵点P(6,4)，
∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为4，
代入反比例函数y=kx得，
点A的纵坐标为k6，点B的横坐标为k4，
即AM=k6，NB=k4，
∵S四边形OAPB=16，
即S矩形OMPN−S△OAM−S△NBO=16，
6×4−12×6×k6−12×4×k4=16，
解得：k=8．
故答案为：8．
根据点P(6,4)，可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为4，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为16，列出方程求出k的值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是根据点A、B的纵横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求解．
18.【答案】①③④
【解析】解：∵矩形ABCD中，O为AC的中点，
∴OB=OC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正确；
∵OB=CO，∠COB=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠OBE=90°−∠OBC=30°，
∵△FOB和△FCB关于FB对称，
∴∠FBC=∠OBM=30°，∠FOB=∠FCB=90°，
∴∠OBE=∠CBF，∠EOB=∠FCB=90°，
∴△BEO≌△BFC(ASA)，
故②错误；
∵BF垂直平分CO，
∴CM=12OC，
∵AO=OC=12AC，
∴CM=14AC，
∴CM MA=1：3，
故③正确；
∵BF⊥CO，
∴∠CMF=∠ADC=90°，
∵∠FCM=∠ACD，
∴△CFM∽△CAD，
故④正确；
∵DC//AB，
∴∠FCO=∠EAO，
∵∠FOC=∠AOE，OC=OA，
∴△COF≌△AOE(ASA)，
∴CF=AE，
∵∠DAE=∠BCF，AD=BC，
∴△DAE≌△BCF(SAS)，
∴△ADE的面积>△BCM的面积，
故⑤错误．
故正确的有①③④．
故答案为：①③④．
由线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，即可解决问题．
本题考查矩形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段的垂直平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19.【答案】解：(1)①x2=x+56，
x2−x−56=0，
(x−8)(x+7)=0，
x−8=0或x+7=0，
解得：x1=8，x2=−7；
②2x(x−2)=2−x，
整理得：2x(x−2)+x−2=0，
则(x−2)(2x+1)=0，
得：x−2=0或2x+1=0，
解得：x1=2，x2=−12；
(2)解：①∵关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实数根，
∴Δ=32−4×1×(k−2)≥0，
解得：k≤174，
即k的取值范围是：k≤174；
②∵方程x2+3x+k−2=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−3，x1x2=k−2，
∵(x1+1)(x2+1)=−3，
∴x1x2+(x1+x2)+1=−3，
∴k−2+(−3)+1=−3，
解得k=1，
即k的值是1．
【解析】(1)利用十字相乘法对①②进行求解较简便；
(2)①利用根的判别式进行求解即可；
②由根与系数的关系可得：x1+x2=−3，x1x2=k−2，再结合条件进行求解即可．
本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．
20.【答案】解：(1)①画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的有4种情况，
∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为：416=14；
②∵两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，
∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的为：816=12；
(2)∵先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，共有等可能的结果为：4×3=12(种)，且两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，
∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是：812=23．
【解析】(1)①首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到绿球，第二次摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
②首先由①求得两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
(2)由先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，共有等可能的结果为：4×3=12(种)，且两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)证明：∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+BAE=∠EAC+∠BAE，
∴∠DAE=∠CAB，
∵∠E=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=DE：BC，
∴AD⋅BC=AB⋅DE；
(2)解；∵△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=49，
∴DE6=23，
∴DE=4．
∴DE的长是4．
【解析】(1)由∠DAB=∠EAC，得到∠DAE=∠CAB，又∠E=∠C，推出△ADE∽△ABC，即可证明问题；
(2)由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出DE的长．
本题考查相似三角形，关键是掌握相似三角形的性质．
22.【答案】2t 10−t
【解析】解：(1)由题意BQ=2t，PB=10−t．
故答案为：2t，10−t；
(2)在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+(10−t)2=100，
解得：t=0或4；
(3)由题意，得2t(10−t)2=9，
解得：t1=1，t2=9(不符合题意，舍去)，
∴当t=1时，△PBQ的面积等于9cm2．
(1)根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP.再用AB−AP就可以求出PB的值．
(2)在Rt△PBQ中由(1)结论根据勾股定理就可以求出其值．
(3)利用(1)的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．
本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
23.【答案】解：(1)∵图象过点A(−2,1)，则1=k−2，
解得：k=−2，
∴反比例函数关系式为y=−2x，
当x=1时，y=−2，
∴B点坐标为(1,−2)，
设一次函数关系式为y=kx+b，
则−2k+b=1k+b=−2，解得：k=−1b=−1，
∴一次函数关系式为：y=−x−1；
(2)由图象得，当x